打破高中數(shù)學(xué)解題思維障礙的策略研究

打破高中數(shù)學(xué)解題思維障礙的策略研究

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》強調(diào)：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程.這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，因此，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該加強學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練，尤其要善于引導(dǎo)學(xué)生克服數(shù)學(xué)解題過程的思維障礙，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.鑒于此，本文總結(jié)了幾種打破高中數(shù)學(xué)解題思維障礙的實用策略，供大家參考.一、逆向思維策略在數(shù)學(xué)解題的過程中，有些問題直接求解會遇到較多思維障礙，這時可考慮改變思維的方向，逆向而行，即從結(jié)論著手，通過對結(jié)論的分析，執(zhí)果索因，尋找解題途徑.問題1：（2011年廣東省廣州市第二次高考模擬理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3.（Ⅰ）求實數(shù)a的值；（Ⅱ）若k∈Z，且對任意x>1恒成立，求k的最大值；（Ⅲ）當(dāng)n>m≥4時，證明：解：（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）k的最大值為3.（過程略）障礙分析：一是觀察不出第（Ⅲ）問與第（Ⅰ）、（Ⅱ）問有何關(guān)系；二是直接證明不知如何下手，毫無頭緒，大部分學(xué)生直接放棄.破障策略：利用逆向思維策略，變換視角，從待證結(jié)論出發(fā)，順次尋找結(jié)論成立的充分（充要）條件，直至題設(shè)或出現(xiàn)顯然的數(shù)學(xué)事實.評注：除逆向分析法外，當(dāng)遇到一些難度較大的探索型開放題，如存在性問題，可采用逆向推理法，即從問題結(jié)論出發(fā)，假設(shè)問題結(jié)論存在（成立），結(jié)合題設(shè)條件，逆向推理或演算，找到確切的數(shù)值或明顯的矛盾，使問題獲解；當(dāng)遇到結(jié)論的正面不易證明時，可采用反證法；當(dāng)結(jié)論的正面比較復(fù)雜，而反面比較簡單時，可采用反面求補法，即求結(jié)論的補集.二、模式識別策略問題2：（2011年廣東省湛江市第二次高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=，其中k>0，若函數(shù)q（x）=f（x）-g（x）-在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)，求k的取值范圍.障礙分析：不清楚“不單調(diào)”與求單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系，不明確“不單調(diào)”的含義是什么.破障策略：利用模式識別策略，檢索“函數(shù)q（x）在區(qū)間上不單調(diào)”這句話是否在以往解題過程中出現(xiàn)過，在以往的解題中，我們研究過“三次函數(shù)存在極值”的有關(guān)問題，毫無疑問，這兩者之間有某種等價關(guān)系.于是就實現(xiàn)了模式識別，即意味著q'（x）在區(qū)間（1，2）上有解且無重根.這是第一步的模式識別，也是解題的關(guān)鍵.進(jìn)一步，q'（x）=，也即-kx+1=0，x∈（1，2），這個含參的二次方程有解且無重根.對于“含參二次方程有解”問題，又需要新的模式識別——方程與根的關(guān)系，或者說涉及“方程根存在”的問題，這是一個在復(fù)習(xí)中必須重點關(guān)注的問題.解法1：令h（x）=-kx+1，于是可以分三種情況：（1）h（x）=0在（1，2）上有唯一解，則h（1）·h（2）＜0，解得2＜k＜；（2）若h（1）=0或h（2）=0，沒有滿足題設(shè)條件的k；（3）若h（x）=0在（1，2）上有兩個不等實數(shù)解，則h（1）>0，h（2）>0，1＜＜2且Δ=-4>0同時成立，顯然無解.綜上可得，k的取值范圍為（2，）.進(jìn)一步思考，這里的模式識別為問題的解決提供了重要的指向性支撐.當(dāng)然，不同的學(xué)生的模式識別是不一樣的，這也是對數(shù)學(xué)解題注重解答多樣性與能力關(guān)系最好的注解.事實上，對于本題，有的學(xué)生注意到了目標(biāo)方程“-概+1=0的兩根之積為1”，這時的模式識別就是利用零點存在性定理求k（無疑這是一種數(shù)式感受能力的反映），如此一來避免了繁復(fù)的分類討論.也有的學(xué)生模式識別為“分離參變量，化歸為求函數(shù)的值域”，得到如下解法.評注：“模式識別”就是將新的問題化歸為已經(jīng)解決的問題.有兩個具體的途徑：（1）化歸為課堂上已經(jīng)解過的題.因為課堂和課本是學(xué)生知識資源的基本來源，是學(xué)生解題依據(jù)、解題方法獲得的主要途徑，也是學(xué)生解題體驗的主要引導(dǎo).（2）化歸為往年的高考題（或其變形）.通過上述解答可以看到，模式識別既可以產(chǎn)生于問題解決之初的審題階段，也可以產(chǎn)生于解題的過程中間，關(guān)鍵是在解題的過程中不斷地溝通目標(biāo)結(jié)論或結(jié)構(gòu)與已有知識結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而識別，改進(jìn)，以至于推進(jìn).三、情境轉(zhuǎn)換策略問題3：（2010年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試題）已知函數(shù)f（x）=a+b-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0.（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.（第（Ⅰ）問的解決需要的僅僅是求切線的基本方法的模式識別，不難得到f（x）=-3x）障礙分析：不理解“過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線”是什么意思？從而不知如何解答.評注：情境轉(zhuǎn)換策略就是將原情境進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換到熟悉的領(lǐng)域.常見的轉(zhuǎn)換途徑有：（1）把一個領(lǐng)域的問題用另一個領(lǐng)域中的方法來解決.如代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化、正與反的轉(zhuǎn)換、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換、整體與局部的轉(zhuǎn)換、常量與變量的轉(zhuǎn)換等；（2）換一個說法，如語言的轉(zhuǎn)換，即將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換到熟知的語言領(lǐng)域來解決，如方程有解問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)零點問題，函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)圖象交點問題等.四、聯(lián)想遷移策略問題4：如下頁圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，點之間的線段表示它們的網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）.A.26B.24C.20D.19障礙分析：這是一道頗具時代氣息的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題，屬線性規(guī)劃范疇，很多考生讀不懂題意.破障策略：利用聯(lián)想遷移策略，轉(zhuǎn)換思維角度，將信息傳遞聯(lián)想為水的流動，構(gòu)造一條虛擬的河，化生為熟，立即明白最大流量就是每條線路的最小流量和，從而輕松地獲得正確答案為D.評注：聯(lián)想遷移策略就是將條件和結(jié)論與數(shù)學(xué)各分支中不同的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法乃至各相關(guān)學(xué)科或現(xiàn)實生活中的其他知識，通過充分展開接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對比聯(lián)想，有效地使思路暢通，甚至誘發(fā)直覺、頓悟，激發(fā)靈感，獲得創(chuàng)造性的解法.五、精準(zhǔn)審題策略如何精準(zhǔn)審題？關(guān)鍵是弄清兩個問題：審題審什么和怎樣審題.題目的條件和結(jié)論是“怎樣解這道題”的兩個信息源，審題的實質(zhì)就是從題目本身去獲取突破口與前進(jìn)方向.那么，怎樣審題呢？具體有如下四步：（1）弄清已知條件和結(jié)論；（2）注意題目的隱含條件；（3）弄清已知條件之間的相互關(guān)系以及已知條件與結(jié)論之間的相互關(guān)系；（4）思考所求解的題目與以前曾做過的題目有哪些相類似，即這個題目是否見過.為了有效地認(rèn)識這個問題，下面以一道經(jīng)典的高考題為例.問題5：（2009年高考數(shù)學(xué)廣東卷理科第20題）已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）.設(shè)f（x）=.（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，2）的距離的最小值為，求m的值；（Ⅱ）略.障礙分析：首先要求出f（x）的解析式，求解析式的過程比較單一，學(xué)生的解法主要的差別在于后面如何運用“曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，2）的距離的最小值為”的這個條件求出m的值.由于審題缺乏精準(zhǔn)性，大部分學(xué)生無法將|PQ|表示為關(guān)于x的函數(shù)，從而無法求最值.破障策略：精準(zhǔn)審題，在準(zhǔn)確定位已知與結(jié)論的聯(lián)系的同時，注意題目的隱含條件.審題第二步：注意題目的隱含條件.條件（2）還可以圖形化，由圖可知，二次函數(shù)是單峰函數(shù)，函數(shù)的極小值點就是最小值點，在條件（1）的前提下，可得到y(tǒng)=g（x）=