年挑戰(zhàn)賽優(yōu)秀匯總2012第五屆二階段

數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)賽編號專用頁參賽隊伍的參賽隊號：（請各個參賽隊提前填寫好競賽統(tǒng)一編號（由競賽送至評委團(tuán)前編號競賽評閱編號（由競賽評委團(tuán)評閱前進(jìn)行編號2012年第五屆“認(rèn)證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)賽 基于網(wǎng)絡(luò)機(jī)制的新型奧運會商業(yè)模式研關(guān)鍵詞 社交網(wǎng)絡(luò)；網(wǎng)絡(luò)；SIR模型；微分方程“蒲公英”式模型；最優(yōu)化 要限的資源，同時高效的使公司信息在網(wǎng)絡(luò)中被的人得知并能夠進(jìn)一步推廣，是公司絡(luò)動力學(xué)中改進(jìn)的傳染病理論——SIR隨機(jī)理論，以及三級“蒲公英”式理論，（1了SR隨機(jī)模型和三級蒲公英式基于SR息知傳SR蒲公英式者不發(fā)生培訓(xùn)、不轉(zhuǎn)投到乙公司的情況下，網(wǎng)絡(luò)中不同時刻、不同初始推廣者情境下的對于問題（2），本文參考問題一中“蒲公英”式理論，建立軟件推廣的信息不轉(zhuǎn)投”和“培訓(xùn)，轉(zhuǎn)投”兩種情境下的0-1整數(shù)規(guī)劃模型，更好的同實際相結(jié)合。交網(wǎng)絡(luò)中的行為，同時在資源限制的約束下推動公司信息在網(wǎng)絡(luò)中更好的推廣。參 （ 參 （ 填寫所選題 C 要（選填BusinessBusinessadvocacyontheuseofSNS(socialnetworkservice)eabusinessmodelinfutureOlympicGames.Themajorcareofenterprisesishowefficienttheinformationwillspreadinthenetworkthatmorepeoplewillawareofandcanbefurtherpromoted.ThispaperfocusesoninformationdisseminationinSNS,fromtwopointsbuildsaSNSinformationdisseminationmodel——basedontheSIRRandomtheoryofnetworktransmissiondynamicsandthreeleveldandelionpropagation,simulatesinformationspreadinordertoexplorethebehavioralofthenodesinthenetwork.Forquestion(1),webuildSNSdynamicalevolutionequationsforthedisseminationofinformationbasedontheSIRRandommodelanddandelionpropagationDrawtheconclusionthatnetworkwillfinallyreachsteadystateandenlargep1willmakemorepeopletoForquestion(2),areferencetoquestiononeof"Dandelion"communicationtheory,buildsoftwaretopromoteinformationdisseminationmodel,wegettheconclusionthattheenterpriseshouldusesoftwaretopromoteinformationbetterthanhumanpromotionThisstudyhasshownthatthedynamicalevolutionofSNSdisseminationmodelarewithsocialnetworkingfeatures,andcontributetoadeeperunderstandingofthepropagationbehaviorinsocialnetworks,therebypromotingbetterpropagationoftheinformationinthe問題重 問題假 符號說 問題一模型的建立與求 問題一分 數(shù)據(jù)處理過 SIR隨機(jī)模 SIR隨機(jī)模型理論分 模型建 數(shù)值模擬及結(jié)論分 “蒲公英”式模 模型理論分 模型建 問題二模型的建立與求 問題二分 “蒲公英”模 模型建 數(shù)值模擬及結(jié)論分 模型的改進(jìn)方 模型假 改進(jìn)模型之一——“不跳槽，有培訓(xùn)”情 改進(jìn)模型之二——“跳槽，有培訓(xùn)”情 模型評 參考文 附 問題重從1984年的洛杉磯奧運會開始，奧運會就不在成為一個“非賣品”，它在向觀在每個行業(yè)中僅挑選一家奧運全球合作伙伴，這就是“Top贊助商”的前身。然而，昂貴比賽信息和網(wǎng)友的評論。這也為的公司提供了在奧運期間宣傳自己的機(jī)會。100500個粉絲，這些粉絲會把可以新增20個粉絲。20人，培訓(xùn)將占用專業(yè)推廣者的工作時間。甲公司現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)推廣20萬元，想利用網(wǎng)絡(luò)推廣擴(kuò)大產(chǎn)品的知名度。該公司20萬元的推廣，乙公司目前產(chǎn)品的市場占有率是甲公司的1.5倍。請建立合理的問題二：某公司研制了一個能夠自動添加粉絲的軟件，售價10000元，該軟100000個粉絲添加邀請，待添加的目標(biāo)用戶都是從社交網(wǎng)絡(luò)中按問題假假設(shè)1.在大規(guī)模的社交網(wǎng)絡(luò)中，不考慮節(jié)點的自然現(xiàn)象，即社交網(wǎng)絡(luò)上的用假設(shè)2.專業(yè)推廣者和推廣者因為任務(wù)要求，需要每天發(fā)布或者轉(zhuǎn)發(fā)含有公司假設(shè)3.期間，潛在用戶（潛在節(jié)點）都有同等機(jī)會接觸到推廣的消息假設(shè)5.只能從與其有聯(lián)系的其他處獲得信息，即宣傳推廣途徑僅限于社假設(shè)6.網(wǎng)絡(luò)中只有甲乙兩家公司發(fā)布各自的奧運公司信息，且專業(yè)推廣只能假設(shè)7.假設(shè)社交網(wǎng)絡(luò)中不同群體（推廣者、粉絲）內(nèi)的之間是均質(zhì)的；即為推廣者群體中不同推廣者的是一樣的，粉絲群體中不同粉絲的是一樣的符號說符 含 SS S類人群在t IR

I類人群在tR類人群在t S類人群容易被信息的概 C 甲公司雇傭的m1個人中，第ij 甲公司專業(yè)推廣者的平均工作率，定義g問題一模型的建立與求問題一分析社會性網(wǎng)絡(luò)服務(wù)(SocialNetwork SNS網(wǎng)絡(luò)中，一個人發(fā)布的消息會被其好友看到，并以一定的概率、。同時，若其好友對其內(nèi)容不感則成為“免疫者”且不會[1]。含有公司的奧運在社交網(wǎng)絡(luò)中的模型可以抽象為圖4.2所示，信息為含有公司信息的奧運。從而將信息直接推向其基礎(chǔ)粉絲（即普通網(wǎng)絡(luò)用戶粉絲，即由專業(yè)推廣者引起的，經(jīng)普通網(wǎng)民轉(zhuǎn)發(fā)信息，為間接過程。即專業(yè)推廣者----基礎(chǔ)粉絲→普通粉絲；專業(yè)推廣者新增粉絲→普通粉絲。由圖4.2所示，信息在網(wǎng)絡(luò)上的具有一定程度的復(fù)雜性，如何利用有限的成本有效的使公司推廣信息被的人看到并進(jìn)行進(jìn)一步推廣，同時在同其對手的競爭及“蒲公英式”信息模式，分別對社交網(wǎng)絡(luò)中的信息行為進(jìn)行詳細(xì)的理論建模和4.1

圖4.2社交網(wǎng)絡(luò)信息模數(shù)據(jù)處理過程附件中參考數(shù)據(jù)給出了社交用戶之間的關(guān)系，共有835436種follow關(guān)系，數(shù)據(jù)量龐大，因此，本文預(yù)先對此數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。其中我們視為第一列為進(jìn)行排序，得到前10名專業(yè)推廣者如表4.1所示。4.110擁有基礎(chǔ)粉絲數(shù)量（人擁有基礎(chǔ)粉絲數(shù)量（人00③通過觀察推廣者和粉絲數(shù)量的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)某一數(shù)量的粉絲會有多個專業(yè)推EXCEL中分類統(tǒng)計功能對粉絲數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計，得出每種數(shù)量的粉4.34.2為488人。

粉絲基數(shù)培訓(xùn)推廣者20人/天，且培訓(xùn)占用專業(yè)推廣者工作時間；推廣者：日工資50元/天，日新增粉絲35人/天，由于推廣者需要經(jīng)過SIR隨機(jī)模SIR隨機(jī)模型理論分本文將SNS網(wǎng)絡(luò)上的用戶定義為節(jié)點，之間的好友關(guān)系則可以抽象地用節(jié)點之間的邊來表示，信息只沿著邊傳播[2]。進(jìn)而基于流行 的動力學(xué)模型SIInfected-Recovered)模型進(jìn)行建到一個或多個處于態(tài)的節(jié)點，那么它們將以一定的概率被而成為狀態(tài)；同率去與它們存在相互聯(lián)系的[3]，同時，處于免疫狀態(tài)的節(jié)點將不會繼續(xù)往下傳播含有公司信息的奧運。基于SIR基本模型做進(jìn)一步深化，建立隨機(jī)性質(zhì)的SIR模型。 p1若社交網(wǎng)絡(luò)上的總用戶數(shù)為N未知節(jié)點、節(jié)點、免疫節(jié)點在 S(t)I(t)R(t)NdS(t)pNS(t)I

NdI(t)pNS(t)I(t)NI NdR(t)NI初始時刻未知者和者的比例分別為S0和I0，S(0)S0,I(0)綜上，將方程簡化后得到在任意t時刻SIR

S(t)I(t)R(t)dS p1S(t)I 模型自身推廣公司信息；2.培訓(xùn)推廣者；3.轉(zhuǎn)投到工資更高的乙公司。故本文首先討1.5倍，故對于更愿意接受并轉(zhuǎn)發(fā)乙公司的奧運信息，因此在期間，當(dāng)潛在用戶都有同等機(jī)會接觸到推廣的消息的情況下，乙公司信息被的概率為甲的1.5倍，即對于而言，p1乙=1.5p1甲

值，即系統(tǒng)會達(dá)到穩(wěn)態(tài)，因此需先借助甲乙公司各自的SIR隨機(jī)模型，通過數(shù)據(jù)模擬得SIR隨機(jī)模型如下所示：dS(t)pS(t)I

dS1.5pS(t)'I dI(t)pS(t)I(t)I 乙dI(t)'1.5pS(t)'I(t)'I 甲dd(t) I dR(t)' I 00 S(0)'S',I(0)'I00繼而通過數(shù)值模擬求得達(dá)到穩(wěn)態(tài)時甲需要n1天，乙需要n2需傭廣可的強(qiáng)時雇m1個專業(yè)推廣者，乙雇傭m2

minC500m1n1m1m210500mn201041500m2n2201m1m1m2n1n2

關(guān)系；(4.14)為變量取值約束?；赟IR隨機(jī)模型中，隨量p1為一個重要指標(biāo)，因此，我們選取三組不同的

I

4.3

II

圖 甲公司S-I關(guān) 圖4.5乙公司S-I關(guān)可見當(dāng)接觸并的概率越大時，信息越容易在短時間內(nèi)。并且由上表可見，4.4II I(t)達(dá) I(t)峰 圖4.6甲公司甲公司S-I關(guān) 圖4.7乙公司甲公司S-I關(guān)由上述數(shù)值模擬可以看出，當(dāng)接觸并的概率低于0.5時，甲的網(wǎng)絡(luò)在100天的p1相同（0.6）時，對于甲乙公司而言，甲公司的4.5 I

I

I(t達(dá)到

圖4.8甲公司甲公司S-I關(guān) 圖4.9乙公司甲公司S-I關(guān)當(dāng)甲公司需要86天而乙公司需要60天達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時候，又因為初始時刻我們給定甲I(0)甲=0.00004I(0)乙=0.000014倍，故算出在第一組數(shù)值模擬下甲公司需要專業(yè)推廣者4人，最小成本172000元?！捌压ⅰ笔侥ＤＰ屠碚摗捌压ⅰ笔绞且环N結(jié)合“中心式”和“關(guān)鍵點式”的較為復(fù)雜的模式,這些本身有一定的力,同時在二次或者三次轉(zhuǎn)發(fā)中,又有很多關(guān)鍵點幫助,最后往引人,得到了很多人的推薦,這樣的推廣具有強(qiáng)大的,而且的可靠性也非常高[4]4.104.10圖 多關(guān)鍵圖 三級“蒲公英”式模模型建不發(fā)生培訓(xùn)人員和跳槽的現(xiàn)象。現(xiàn)討論一個專業(yè)推廣者在k天中一共可以推廣的效果488個粉絲會以概率推廣信息，同時，基礎(chǔ)粉絲中已20個下級粉絲，這些粉絲同樣以概率推廣信息，故設(shè)由基礎(chǔ)粉絲引起的在第一天共推廣的人群數(shù)量記為A1，則A1488(488 500個粉絲，這些粉絲會以概率推廣信息，同時，推廣信息，故設(shè)由日增500粉絲引起的在當(dāng)日共推廣的人群數(shù)量記為B1，則B1500(500記第一天一共推廣的人群數(shù)量為T1T1A1T2T120同理，由T1人群所的在未來第 TkTk120

（4.16B2B120如此，在未來第k1天所帶來的新增人群Bk1Bk2如上所述，由一個專業(yè)推廣者所的k天中每日消息蔓延數(shù)量如下表所示表 一個專業(yè)推廣者所的k天中每日消息蔓延數(shù)

kT1A1BkBkBkk上表中，橫向求和為某一天的人群在未來的k天時間里由這些人群所引起的新增消息轉(zhuǎn)發(fā)者情況?？v向求和為某一天當(dāng)天時間內(nèi)所有新增消息轉(zhuǎn)發(fā)者情況，記為Cw,故由一個專業(yè)推廣者所的k天中消息蔓延總和為kTtotalk

發(fā)信息概率為1.5，1A'4881.5(4881.511B'5001.5(5001.51BT' 'B并按上述方法計算Ttotal

Bk'k1k k

競爭者的市場份額需大于100%，即甲公司的信息量與乙公司的信息量之比需100%。故建立的甲公司資本最小化模型為：

m1m210k500m2k20

mm 公司推廣不多于20萬元；式(4.28)要使k天中甲的推廣人數(shù)比乙多；式(4.29)為變問題二分析100000個粉絲添加邀請，待添加的目標(biāo)用100000個粉絲添加邀請所能的人群為105。而用軟件進(jìn)行信息“蒲公英”模模型為簡化模型，本問僅考慮由每天發(fā)出100000個粉絲添加邀請所能的人群故而每日產(chǎn)生的粉絲添加邀請所能的人群L1為 L1人群在第二天所能新的人數(shù)L（L20）20105 表5.1由軟件所的100天中每日消息蔓延數(shù)第天100況，記為Cw,故由軟件推廣所的100天中消息蔓延總和為Ttotal

對于粉絲愿意接受邀請的接受率設(shè)為定值0.1下面我們對不同的 擬。取從0.01到0.05，得到每日推廣人群趨勢如下圖所示：5.1際情況不符合，故探討從0.01到0.04的情況，趨勢如圖5.2所示。5.20.010.04又0.010.048100天共人58天以后得知甲公司信息的人群數(shù)量不會發(fā)生變化，模型的改進(jìn)方在問題一的“蒲公英”式模型中，我們僅考慮了甲公司所雇傭的所有專業(yè)推廣者全部推廣信息，不發(fā)生培訓(xùn)人員和跳槽的現(xiàn)象。下面，對模型進(jìn)行深化，模型假假設(shè)1.專業(yè)推廣人員在某一天不論培訓(xùn)推廣人員還是自行推廣信息，都將產(chǎn)500元的雇傭費用；此外，若是進(jìn)行培訓(xùn)，額外的培訓(xùn)費用將不予考慮；假設(shè)4.推廣者無基礎(chǔ)粉絲，推廣者在培訓(xùn)下一天才開始推廣，且推5.乙公司一直只雇傭?qū)I(yè)推廣者，乙公司推廣者只負(fù)責(zé)推廣信息，不會有培改進(jìn)模型之一設(shè)甲公司雇傭m1個專業(yè)推廣者，推廣者在某一天只有一種狀態(tài)：培訓(xùn)或推廣信息， xij 圖6.1基于三級“蒲公英”模式的推廣者信息方培訓(xùn)時推廣數(shù)量為Q1，則Q1記培訓(xùn)后第一天的推廣情況為 Q2=2035+（2035）20 在培訓(xùn)后的第二天時，系統(tǒng)中不僅包含前一天Q2人群在新一天每人增加的20個粉絲，同時初始的20個推廣者在當(dāng)天還會每人增加35個粉絲，故在第三天（即培訓(xùn)后的Q3Q220故第 QkQk120

以上為某一個專業(yè)推廣者從第1天起開始培訓(xùn)，第一天產(chǎn)生的20個推廣者從第二天到第k20個推廣者，一直培訓(xùn)到第j天為止，從第j1天起為專業(yè)推廣者自己推廣信息（所涉，6.1j天天k0Qj0QjQjQk0j0QkTk第j天天天k天天k到k天的時間里由這些人群所引起的新增消息轉(zhuǎn)發(fā)者情況。每一列縱向求和為某一天當(dāng)天時間內(nèi)所有新增消息轉(zhuǎn)發(fā)者情況，記為Cw,故由專業(yè)推廣者培訓(xùn)所的k天中消息蔓延總和為

則對于甲公司雇傭?qū)I(yè)推廣人員和推廣人員的費用C C=500m1k5020(k1)20(k2) 20(k

j j

(1j)j 500m1k5020kj i1j1 j j

minC500m1k5020kj m1m2jk

i1j1

500mk5020m1kj(1j)jx20

11i1j1

500m2k20 m1 i1j

i1j

total甲

xij0,1m1m2k,j10人；式（6.8）為某個專業(yè)推廣者用式(6.11)為k天中甲的推廣人數(shù)比乙多；式(6.12)為變量取值約束。改進(jìn)模型之二——“跳槽，有培訓(xùn)