水力學(xué)電子水靜力學(xué)

水力學(xué)電子課件水靜力學(xué)第1頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2-1靜水壓強(qiáng)及其特性§2-2液體平衡微分方程§2-3重力作用下靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律§2-4重力和慣性力同時(shí)作用下液體的相對(duì)平衡§2-5壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和量度單位、測(cè)量壓強(qiáng)的儀器§2-6靜水壓強(qiáng)分布圖§2-7作用在平面上的靜水總壓力§2-8作用在曲面上的靜水總壓力水靜力學(xué)的主要內(nèi)容第2頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六教學(xué)基本要求1、正確理解靜水壓強(qiáng)的兩個(gè)重要的特性和等壓面的性質(zhì)。2、掌握靜水壓強(qiáng)基本公式和物理意義，會(huì)用基本公式進(jìn)行靜水壓強(qiáng)計(jì)算。3、掌握靜水壓強(qiáng)的單位和三種表示方法：絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)和真空度；理解位置水頭、壓強(qiáng)水頭和測(cè)管水頭的物理意義和幾何意義。4、掌握靜水壓強(qiáng)的測(cè)量方法和計(jì)算。5、會(huì)畫靜水壓強(qiáng)分布圖，并熟練應(yīng)用圖解法和解析法計(jì)算作用在平面上的靜水總壓力。6、會(huì)正確繪制壓力體剖面圖，掌握曲面上靜水總壓力的計(jì)算。7、會(huì)計(jì)算液體的相對(duì)平衡第3頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、靜水壓強(qiáng)的兩個(gè)特性及有關(guān)基本概念。2、重力作用下靜水壓強(qiáng)基本公式和物理意義。3、靜水壓強(qiáng)的表示和計(jì)算。4、靜水壓強(qiáng)分布圖和平面上的流體總壓力的計(jì)算。5、壓力體的構(gòu)成和繪制以及曲面上靜水總壓力的計(jì)算。6、處于相對(duì)平衡狀態(tài)的液體中壓強(qiáng)的計(jì)算。第4頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2-1靜水壓強(qiáng)及其特性一、靜水壓強(qiáng)靜水壓力：是指液體內(nèi)部相鄰兩部分之間相互作用的力或指液體對(duì)固體壁面的作用力（或靜止液體對(duì)其接觸面上所作用的壓力）。其一般用符號(hào)p表示，單位是kN或Ｎ。1.平均靜水壓強(qiáng)如圖2-１所示它反映了受壓面ΔA上靜水壓強(qiáng)的平均值。２．點(diǎn)壓強(qiáng)圖2-1FpFpFp第5頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、靜水壓強(qiáng)的特性．靜水壓強(qiáng)的方垂直指向受壓面或沿受壓面的內(nèi)法線方向

這一特性可由反證法給予證明，如下圖所示。αpF切向應(yīng)力作用力法向壓強(qiáng)dFpdFpndFp第6頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六２．靜止液體中作用于同一點(diǎn)各個(gè)方向的靜水壓強(qiáng)都相等。證明如下:在靜止流體中任取一微元四面體,對(duì)其進(jìn)行受力分析.pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜水壓強(qiáng)作用在ABC面的流體靜水壓強(qiáng)作用在BCD面的靜水壓強(qiáng)、作用在ABD和上的靜水壓強(qiáng)圖微元四面體受力分析FpzFpxFpyFpn第7頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六①表面力：（只有各面上的垂直壓力即周圍液體的靜水壓力）dFpzdFpxdFpydFpn第8頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六②質(zhì)量力：（只有重力、靜止）如圖所示其質(zhì)量為，單位質(zhì)量力在各方向上的分別為fx、fy、fz，則質(zhì)量力在各方向上的分量為以X方向?yàn)槔篺xfyfzfx第9頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六因?yàn)榇肷鲜降茫寒?dāng)四面體無限地縮小到0點(diǎn)時(shí)，上述方程中最后一項(xiàng)近于零，取極限得,即

上式說明，在靜止液體中，任一點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)，但液體中不同點(diǎn)上的靜水壓強(qiáng)可以不等，因此，靜水壓強(qiáng)是空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)，即：（2-2）fx第10頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2-2液體平衡微分方程一、液體平衡微分方程式在靜止流體中任取一邊長為dx，dy和dz的微元平行六面體的流體微團(tuán)，如圖所示?，F(xiàn)在來分析作用在這流體微團(tuán)上外力的平衡條件。由上節(jié)所述流體靜壓力的特性知，作用在微元平行六面體的表面力只有靜壓力。設(shè)微元平行六面體中心點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)為p，則作用在六個(gè)平面中心點(diǎn)上的靜壓強(qiáng)可按泰勒（G.I.Taylor）級(jí)數(shù)展開，例如：在垂直于X軸的左、右兩個(gè)平面中心點(diǎn)上的靜壓強(qiáng)分別為：第11頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六p圖微元平行六面體x方向的受力分析第12頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六略去二階以上無窮小量后，分別等于

垂直于x軸的左、右兩微元面上的總壓力分別為：

同理，可得到垂直于y軸與z軸的微元面上的總壓力分別為：

第13頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六作用在流體微團(tuán)上的外力除靜壓強(qiáng)外，還有質(zhì)量力。若流體微團(tuán)的平均密度為ρ，則質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量為：

處于靜止?fàn)顟B(tài)下的微元平行六面體的流體微團(tuán)的平衡條件是：作用在其上的外力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分力之和都等與零。例如，對(duì)于x軸，則為整理上式，并把各項(xiàng)都除以微元平行六面體的質(zhì)量ρdxdydz則得ffff第14頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六同理得

這就是流體平衡微分方程式，是在1755年由歐拉（Euler）首先推導(dǎo)出來的，所以又稱歐拉平衡微分方程式。此方程的物理意義是：平衡液體中，靜水壓強(qiáng)沿某一方向的變化率與該方向上單位體積的質(zhì)量力相等。fX,fY,fZ為單位質(zhì)量力在各方向上的分力ff第15頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六把上式兩邊分別乘以dx，dy，dz，然后相加，得流體靜壓強(qiáng)是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即，它的全微分為

所以

此式稱為壓強(qiáng)差公式。它表明：在靜止流體中，空間點(diǎn)的坐標(biāo)增量為dx、dy、dz時(shí)，相應(yīng)的流體靜壓強(qiáng)增加dp，壓強(qiáng)的增量取決于質(zhì)量力。第16頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

三、等壓面在流體中，壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面稱為等壓面。1.等壓面方程2.等壓面特性①等壓面就是等勢(shì)面。②作用在靜止流體中任一點(diǎn)的質(zhì)量力必然垂直于通過該點(diǎn)的等壓面。③等壓面不能相交④絕對(duì)靜止流體的等壓面是水平面⑤兩種互不相混的靜止流體的分界面必為等壓面結(jié)論：同一種靜止相連通的流體的等壓面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流體的交界面都是等壓面。

第17頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2-3重力作用下靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律壓強(qiáng)由兩部分組成：靜水壓強(qiáng)的基本方程液面上的氣體壓強(qiáng)p0高度為h的水柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)ρgh在質(zhì)量力只有重力的情況下,靜止液體中的壓強(qiáng)符合如下規(guī)律:第18頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六靜水壓強(qiáng)的基本方程也可寫成如下形式:式中c為積分常數(shù)，由邊界條件確定。靜水壓強(qiáng)基本方程的適用范圍是:重力場(chǎng)中連續(xù)、均質(zhì)、不可壓縮流體。第19頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六若在靜止液體中任取兩點(diǎn)l和2，點(diǎn)1和點(diǎn)2壓強(qiáng)各為p1和p2，位置坐標(biāo)各為z1和z2，則可把式改寫成另一表達(dá)式，即：

靜壓強(qiáng)基本方程的幾何意義和物理意義00第20頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六為了進(jìn)一步理解靜水壓強(qiáng)基本方程式，現(xiàn)在來討論該方程的物理意義和幾何意義1.物理意義式中：

z的物理意義表示為單位重量流體對(duì)某一基準(zhǔn)面的位置勢(shì)能。式中的表示單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能。

第21頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六這可說明如下：如圖所示，容器離基準(zhǔn)面z處開一個(gè)小孔，接一個(gè)頂端封閉的玻璃管(稱為測(cè)壓管)，并把其內(nèi)空氣抽出，形成完全真空(p=0)，在開孔處流體靜壓強(qiáng)p的作用下，流體進(jìn)入測(cè)壓管，上升的高度h=p/ρg稱為單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能。位勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能之和稱為單位重量流體的總勢(shì)能。所以靜水壓強(qiáng)基本方程表示在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢(shì)能是相等的。這就是靜止液體中的能量守恒定律。第22頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.幾何意義單位重量流體所具有的能量也可以用液柱高度來表示，并稱為水頭。式中：

z具有長度單位，如圖所示，z是流體質(zhì)點(diǎn)離基準(zhǔn)面的高度，所以z的幾何意義表示為單位重量流體的位置高度或位置水頭。也是長度單位，它的幾何意義表示為單位重量流體的壓強(qiáng)水頭。位置水頭和壓強(qiáng)水頭之和稱為靜水頭。所以該式也表示在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的靜水頭都相等。在實(shí)際工程中，常需計(jì)算有自由液面的靜止液體中任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)。第23頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六xzyp0AZ第24頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

如圖所示，在一密閉容器中盛有密度為ρ的液體，若自由液面上的壓強(qiáng)為p0、位置坐標(biāo)為z0，則在液體中位置坐標(biāo)為z的任意一點(diǎn)A的壓強(qiáng)p可由該式得到，即或

式中h=z0-z是靜止流體中任意點(diǎn)在自由液面下的深度。上式是重力作用下流體液體方程的又一重要形式。由它可得到三個(gè)重要結(jié)論：(1)在重力作用下的靜止液體中，靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強(qiáng)值成正比增大。(2)在靜止液體中，任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：一部分是自由液面上的壓強(qiáng)p0；另一部分是該點(diǎn)到自由液面的單位面積上的液柱重量

。(3)在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數(shù))的各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)相等，即任一水平面都是等壓面。第25頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六Z0p0AhxzyZ第26頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六p0=pa[例題]已知：p0=98kN/m2，h=1m，求：該點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)h解：ppa在容器壁面上同水深處的一點(diǎn)所受到的壓強(qiáng)有多大？該點(diǎn)所受到的有效作用力有多大？？第27頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

一、壓強(qiáng)的表示1.計(jì)算基準(zhǔn)絕對(duì)壓強(qiáng)：以完全真空時(shí)的絕對(duì)零壓強(qiáng)(p＝0)為基準(zhǔn)來計(jì)量的壓強(qiáng)稱為絕對(duì)壓強(qiáng)；相對(duì)壓強(qiáng)：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)來計(jì)量的壓強(qiáng)稱為相對(duì)壓強(qiáng)。絕對(duì)壓強(qiáng)與相對(duì)壓強(qiáng)之間的關(guān)系可在下面導(dǎo)出。當(dāng)自由液面上的壓強(qiáng)是當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)pa時(shí)，則液體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)可寫成

因?yàn)閜可以由壓強(qiáng)表直接測(cè)得，所以又稱計(jì)示壓強(qiáng)?！?-3壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和量度單位第28頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

當(dāng)流體的絕對(duì)壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)時(shí)，就說該流體處于真空狀態(tài)。例如水泵和風(fēng)機(jī)的吸入管中，凝汽器、鍋爐爐膛以及煙囪的底部等處的絕對(duì)壓強(qiáng)都低于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，這些地方的計(jì)示壓強(qiáng)都是負(fù)值，稱為真空或負(fù)壓強(qiáng)，用符號(hào)pv表示，則

為了正確區(qū)別和理解絕對(duì)壓強(qiáng)、計(jì)示壓強(qiáng)和真空之間的關(guān)系，可用圖來說明。

第29頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六真空絕對(duì)壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)圖絕對(duì)壓強(qiáng)、計(jì)示壓強(qiáng)和真空之間的關(guān)系第30頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

流體靜壓強(qiáng)的量度單位主要有三種:應(yīng)力單位,大氣壓的倍數(shù)和液注高度。為了便于換算，現(xiàn)將常遇到的幾種壓強(qiáng)單位及其換算系數(shù)列于表中。表壓強(qiáng)的單位及其換算表第31頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)在沒有特別說明情況下，一般以1個(gè)工程大氣壓強(qiáng)計(jì)。故[例題]封閉盛水容器中的玻璃管兩端開口，如圖所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m時(shí)，既無空氣通過玻璃管進(jìn)入容器，又無水進(jìn)入玻璃管。試求此時(shí)容器內(nèi)水面上的絕對(duì)壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)。[解]容器內(nèi)水面上任一點(diǎn)和玻璃管底部上的壓強(qiáng)間有如下關(guān)系:由式（2—26）求得h例題圖第32頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六[例題]：如圖已知，p0=98kN/m2，h=1m，求：該點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)及相對(duì)壓強(qiáng)p0=pah解：例2：如圖已知，p0=50kN/m2，h=1m，求：該點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)及相對(duì)壓強(qiáng)p0h解：pa相對(duì)壓強(qiáng)為什么是負(fù)值？什么位置處相對(duì)壓強(qiáng)為零？？第33頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2.4測(cè)量壓強(qiáng)的儀器測(cè)壓管U型管測(cè)壓計(jì)差壓計(jì)微壓計(jì)第34頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六如圖可測(cè)水中大于大氣壓的相對(duì)壓強(qiáng)1、測(cè)壓管測(cè)壓管第35頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2、U

形管測(cè)壓計(jì)由于U形管1、2兩點(diǎn)在同一等壓面上，，由此可得A點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)當(dāng)被測(cè)流體為氣體時(shí)，由于氣體的密度比較小，上式最后一項(xiàng)可以忽略不計(jì)。當(dāng)被測(cè)流體壓強(qiáng)較大時(shí)，常采用圖所示的U形管測(cè)壓計(jì)在連續(xù)靜止的汞中讀出、。則有第36頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】已知密閉水箱中的液面高度h4=60mm，測(cè)壓管中的液面高度h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介質(zhì)高度，如圖所示。試求Ｕ形管中左端工作介質(zhì)高度h3為多少？

【解】列1—1截面等壓面方程，則

（a）列2—2截面等壓面方程，則（b）把式（a）代入式（b）中

=0.1365(m)=136.5(mm)第37頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例題圖示第38頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】用雙Ｕ形管測(cè)壓計(jì)測(cè)量兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差，如圖所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000㎏/m3，ρ2=800㎏/m3，ρ3=13598㎏/m3，試確定Ａ和Ｂ兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差?！窘狻扛鶕?jù)等壓面條件，圖中1—1，2—2，3—3均為等壓面?？蓱?yīng)用流體靜力學(xué)基本方程式逐步推算。P1=p2+ρ1gh1p2=p1-ρ3gh2

p3=p2+ρ2gh3p4=p3-ρ3gh4

pB=p4-ρ1g(h5-h4)第39頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六逐個(gè)將式子代入下一個(gè)式子，則pB=pA+ρ1gh1-ρ3gh2+ρ2gh3-ρ3gh4-ρ1g(h5-h4)所以pA-pB=ρ1g(h5-h4)+ρ3gh4+ρ3gh2-ρ2gh3

-ρ1gh1=9.806×1000×（0.5-0.3）+133400×0.3-7850×0.2+133400×0.25-9.806×1000×0.6=67876（Pa）第40頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六3、差壓計(jì)

定義：管道上部為倒U形管式水柱差計(jì)，忽略空氣密度，則計(jì)算公式為：測(cè)量兩點(diǎn)壓強(qiáng)差的儀器叫做壓差計(jì)。如圖所示。水管下部為U形管式汞差壓計(jì)，它的計(jì)算公式為：差壓計(jì)原理圖第41頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六4、微壓計(jì)測(cè)量較小壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差的儀器叫做微壓計(jì)。如圖所示就是其中一種。定義：傾斜式微壓計(jì)原理圖第42頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六因此，根據(jù)靜水壓強(qiáng)基本方程可得傾斜式微壓計(jì)是由一根傾角可調(diào)的玻璃管（橫截面面積為）和一個(gè)盛液體的小容器（橫截面面積為）組成。如果斜管入口壓強(qiáng)和容器入口壓強(qiáng)相等，則容器內(nèi)液面與斜管中的液面齊平；當(dāng)和不相等時(shí)，例如，則斜管中液面將上升，容器內(nèi)液面下降。由于容器內(nèi)液面下降的體積與斜管中液面上升的體積相等，即有又整理得第43頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例2-1】如圖所示為雙杯雙液微壓計(jì)，杯內(nèi)和Ｕ形管內(nèi)分別裝有密度ρ1=lOOOkg/m3和密度ρ2=13600kg/m3的兩種不同液體，大截面杯的直徑Ｄ＝100mm，Ｕ形管的直徑d=10mm，測(cè)得h=30mm，計(jì)算兩杯內(nèi)的壓強(qiáng)差為多少?【解】列1—2截面上的等壓面方程由于兩邊密度為ρ1的液體容量相等，所以D2h2=d2h，代入上式得

=3709.6(pa)第44頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六圖2-17第45頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2.5靜水壓強(qiáng)分布圖即表示受壓面上各點(diǎn)壓強(qiáng)（大小和方向）分布的圖形，簡(jiǎn)稱靜水壓強(qiáng)圖。繪制規(guī)則：１．按一定的比例尺，用一定長度的線段代表流體靜壓強(qiáng)的大小。２．用箭頭表示流體靜壓強(qiáng)的方向，并與該處作用面相垂直。在水利工程中，一般只需計(jì)算相對(duì)壓強(qiáng)，所以只需繪制相對(duì)壓強(qiáng)分布圖，當(dāng)流體的表面壓強(qiáng)為時(shí)，即p與h呈線性關(guān)系，據(jù)此繪制流體靜壓強(qiáng)圖。第46頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六ABCPP壓強(qiáng)分布示意圖第47頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六靜水壓強(qiáng)分布示意圖第48頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六靜水壓強(qiáng)分布圖實(shí)例第49頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六ABpaPa+ρgh畫出下列AB或ABC面上的靜水壓強(qiáng)分布圖相對(duì)壓強(qiáng)分布圖ABρghBABCABAB第50頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六畫出下列容器左側(cè)壁面上的壓強(qiáng)分布圖第51頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2.6作用于平面壁上的靜水總壓力圖解法解析法——適用于任意形狀平面——適用于矩形平面第52頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六圖解法——作用于矩形平面上的靜水總壓力的計(jì)算靜水壓強(qiáng)分布圖把某一受壓面上壓強(qiáng)隨水深變化的函數(shù)關(guān)系表示成圖形，稱為靜水壓強(qiáng)分布圖。的繪制規(guī)則：1.按一定比例,用線段長度代表該點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大小2.用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方向,并與作用面垂直靜水總壓力的大小:其中b為矩形受壓面的寬度；Ω為靜水壓強(qiáng)分布圖形的面積；靜水總壓力的方向：垂直并指向受壓面靜水總壓力的作用點(diǎn)（壓力中心或壓心）：通過壓強(qiáng)分布體的重心（或在矩形平面的縱對(duì)稱軸上，且應(yīng)通過壓強(qiáng)分布圖的形心點(diǎn)）舉例第53頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】如圖所示，某擋水矩形閘門，門寬b=2m，一側(cè)水深h1=4m，另一側(cè)水深h2=2m，試用圖解法求該閘門上所受到的靜水總壓力。h1h2解法一：首先分別求出兩側(cè)的水壓力，然后求合力。h1/3h2/3方向向右→e依力矩定理：可解得：e=1.56m答:該閘門上所受的靜水總壓力大小為117.6kN，方向向右，作用點(diǎn)距門底1.56m處。合力對(duì)任一軸的力矩等于各分力對(duì)該軸力矩的代數(shù)和。第54頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六解析法——作用于任意形狀平面上的靜水總壓力αhcCbCLCLO（b）M（b，L）dAhdFP其中為平面對(duì)Ob軸的面積矩所以靜水總壓力的大小為其中pc為受壓面形心點(diǎn)的壓強(qiáng)；

A為受壓面的面積。依力矩定理，F(xiàn)PDD其中為平面對(duì)Ob軸的面積慣性矩，記為整理可得靜水總壓力的壓心位置：其中Ic表示平面對(duì)于通過其形心點(diǎn)且與Ob軸平行的軸線的面積慣性矩。舉例第55頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】一垂直放置的圓形平板閘門如圖所示，已知閘門半徑R=1m，形心在水下的淹沒深度hc=8m，試用解析法計(jì)算作用于閘門上的靜水總壓力。hchDFP解：LO答：該閘門上所受靜水總壓力的大小為246kN，方向向右，在水面下8.03m處。第56頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】某泄洪隧洞，在進(jìn)口傾斜設(shè)置一矩形平板閘門（如圖），傾角α=60,門寬b=4m，門長L=6m，門頂?shù)难蜕頷1=10m,若不計(jì)閘門自重時(shí)，問：①沿斜面拖動(dòng)閘門所需的拉力T為多少？（已知閘門與門之間摩擦系數(shù)f=0.25）②門上靜水總壓力的作用點(diǎn)在哪里？解：當(dāng)不計(jì)門重時(shí)，T至少需克服閘門與門之間的摩擦力，故T=P·f為此，需求出P。用圖解法求P及其作用點(diǎn)。如圖畫出其壓力分布圖，則P=A·b=1/2(γh1+γh2)·L·b=2964KN作用點(diǎn)距閘門底部的斜距（h1=10，h2=10+6sinα）

P距平面的斜距

（也可用解析法求解）第57頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例題圖示第58頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】下圖表示一個(gè)兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點(diǎn)的位置。【解】淹沒在自由液面下h1深的矩形水閘的形心yc=hc=h1/2每米寬水閘左邊的總壓力為

由壓力中心公式確定的作用點(diǎn)F1位置

第59頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例題圖示第60頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

其中通過形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以即即F1的作用點(diǎn)位置在離底1/3h=2/3m處。淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為（Ｎ）

同理F2作用點(diǎn)的位置在離底1/3h2=2/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假設(shè)凈總壓力的作用點(diǎn)離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應(yīng)該平衡，即

（m)

第61頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六§2-7作用在曲面上的靜水總壓力實(shí)際工程中有許多承受液體總壓力的曲面，主要是圓柱體曲面，如鍋爐汽包、除氧器水箱、油罐和弧形閥門等。由于靜止液體作用在曲面上各點(diǎn)的壓強(qiáng)方向都垂直于曲面各點(diǎn)的切線方向，各點(diǎn)壓強(qiáng)大小的連線不是直線，所以計(jì)算作用在曲面上靜止液體的總壓力的方法與平面不同。

第62頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六一、總壓力的大小和方向圖a和圖b所示為一圓柱形開口容器中某一部分曲面AB上承受液體靜止壓強(qiáng)的情況。設(shè)曲面的寬度為b，在A處取一微小弧段ds，則作用在寬度為b、長度為ds的弧面dA上僅由液體產(chǎn)生的總壓力為第63頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六CDBAxHhdPdPxdPzdsΘ圖a)作用在圓柱體曲面上的總壓力第64頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六圖b)作用在圓柱體曲面上的總壓力第65頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六這一總壓力在OX軸與OZ軸方向的分力為：（a）（b）

1．水平分力由圖a和圖b可知，，代入到式(a)，則因此，靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OX軸方向的分力，即水平分力為（c）式中為曲面面積在垂直平面（OYZ坐標(biāo)面）上的投影面積AX對(duì)OY軸的面積矩，它等于投影面積的形心到OY軸的距離與投影面積的乘積，即。第66頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六該圓柱形曲面在垂直平面上的投影面積Ax=bH，其形心hc=H/2，則

由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的水平分力等于作用在這一曲面的垂直投影面上的總壓力。Px作用線的位置位于自由液面下2/3H處。2．垂直分力由圖a和圖b可知，代入到式（b），則因此靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OZ軸方向的分力，即垂直分力為

第67頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

式中是曲面AB與自由液面間的柱體體積，在圖a上就是面積OAB乘以曲面的寬度b，這個(gè)體積稱為壓力體。由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重量，Px的作用線通過壓力體的重心。

3．總壓力的大小和方向求得了靜止液體作用在曲面上水平分力Fx和垂直分力Fz后，就可確定靜止液體作用在曲面上的總壓力，即

總壓力與垂線間夾角的正切為

第68頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

二、總壓力的作用點(diǎn)總壓力的作用線通過Ｏ點(diǎn)px和pz與作用線的交點(diǎn)?？倝毫ψ饔镁€與曲面的交點(diǎn)就是總壓力在曲面上的作用點(diǎn)，即壓力中心。第69頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六三、壓力體

壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。它的計(jì)算式是一個(gè)純數(shù)學(xué)體積計(jì)算式。作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內(nèi)液體的重量，并且與壓力體內(nèi)是否充滿液體無關(guān)。為了說明這一點(diǎn)，作圖c，它表示由兩個(gè)形狀、尺寸和淹深完全相同的曲面ab和a’b’所構(gòu)成的容器，容器內(nèi)盛有某種液體。曲面ab的壓力體是過曲面的a和b兩點(diǎn)引垂線到液面所得abcd與容器的寬度構(gòu)成的。曲面a’b’的壓力體是過a’和b’第70頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六hdd’c’m’mcPz圖c壓力體的概念圖Pz第71頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六通常將液體和壓力體處于受壓曲面同側(cè)的壓力體稱為實(shí)壓力體或正壓力體，如abcd，實(shí)壓力體的方向向下；將液體和壓力體分布處于受壓曲面異側(cè)的壓力體稱為虛壓力體或負(fù)壓力體，如a’b’c’d’，方向向上。

舉例第72頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六壓力體應(yīng)由下列周界面所圍成：（1）受壓曲面本身（2）自由液面或液面的延長面（3）通過曲面的四個(gè)邊緣向液面或液面的延長面所作的鉛垂平面ABABABC第73頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第74頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計(jì)算程序

(1)將總壓力分解為水平分力Px和垂直分力Pz。(2)水平分力的計(jì)算，（如圖c）。(3)確定壓力體的體積。(4)垂直分力的計(jì)算，方向由虛、實(shí)壓力體（如圖d）確定。(5)總壓力的計(jì)算，。(6)總壓力方向的確定，。(7)作用點(diǎn)的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點(diǎn)即是。第75頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】求圖e所示流體施加到水平放置的單位長度圓柱體上的水平分力和垂直分力：（a）如果圓柱體左側(cè)的流體是一種計(jì)示壓強(qiáng)為35kPa被密封的箱內(nèi)的氣體；（b）如果圓柱體左側(cè)的流體是水，水面與圓柱體最高部分平齊，水箱開口通大氣?！窘狻浚╝）圓柱體表面所研究部分的凈垂直投影為則35kPa計(jì)示壓強(qiáng)的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Az=[4-2(1-cos300)]×1則35kPa計(jì)示壓強(qiáng)的氣體作用在單位長度圓柱體上的水平分力為Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)]×1=353.75=130.5(kN)

圓柱體表面所研究部分的凈水平投影為Ax=2sin300×1第76頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六則氣體作用在單位長度圓柱體上的垂直分力為Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)（b）Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73)×(3.73×1)×1000=68.1（kN）Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2)×1=100.5(KN)

第77頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】一弧形閘門如圖所示，閘門寬度b=4m，圓心角φ=45°，半徑R=2m，閘門旋轉(zhuǎn)軸恰與水面齊平。求水對(duì)閘門的靜水總壓力。解：閘門前水深為ABφhOR水平分力：鉛直分力：靜水總壓力的大?。红o水總壓力與水平方向的夾角：α靜水總壓力的作用點(diǎn)：ZDD答：略。第78頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六【例題】圖f所示為一水箱，左端為一半球形端蓋，右端為一平板端蓋。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，試求兩端蓋所受的總壓力及方向?！窘狻浚?）右端蓋是一圓平面，面積為A右=πR2其上作用的總壓力有F右=ρg(h+R)A右=ρg(h+R)πR2=103×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520（N）方向垂直于端蓋水平向右（2）左端蓋是一半球面，分解為水平方向分力Fx左和第79頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六垂直方向分力Fz左。Fx左=ρg(h+R)Ax=ρg(h+R)πR2=103×9.806×(0.6+0.15)×3.14×0.152=520（N）方向水平向左垂直方向分力由壓力體來求，將半球面分成AB、BE兩部分，AB部分壓力體為ABCDEOA，即圖中左斜線部分，記為VABCDEOA，它為實(shí)壓力體，方向向下；BE部分壓力體為BCDEB，即圖中右斜線部分，記為VBCDEB，它為虛壓力體，方向向上。因此總壓力體為它們的代數(shù)和。Vp=VABCDEOA-VBCDEB=VABEOA第80頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六Vp正好為半球的體積，所以Vp=1/2×4/3×πR3Pz左=ρgVp=ρg2/3πR3=103×9.806×2/3×3.14×0.153=69.3(N)方向垂直向下總作用力為（N）合力通過球心與水平方向夾角為第81頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六圖f第82頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

下面以流體平衡微分方程式為基礎(chǔ)，討論質(zhì)量力除重力外，還有牽連慣性力同時(shí)作用的液體平衡規(guī)律。在這種情況下，液體相對(duì)于地球雖然是運(yùn)動(dòng)的，但液體質(zhì)點(diǎn)之間、質(zhì)點(diǎn)與器壁之間都沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所