剛體和質(zhì)點(diǎn)組誤建為質(zhì)點(diǎn)模型探析

剛體和質(zhì)點(diǎn)組誤建為質(zhì)點(diǎn)模型探析

面對(duì)復(fù)雜具體的物體，研究他們形形色色的運(yùn)動(dòng)，如果不采取突出本質(zhì)的主要矛盾，忽略非本質(zhì)的次要因素的科學(xué)思維方法，人們便不能擺脫浩如煙海、紛亂復(fù)雜現(xiàn)象的糾纏，理不出清晰的物理概念和規(guī)律，物理學(xué)理論大廈無(wú)法建立。物理學(xué)中的各種模型便是這種科學(xué)方法的具體應(yīng)用。質(zhì)點(diǎn)模型無(wú)疑是理想化模型中最典型的，如果物體的大小、形狀對(duì)所研究問(wèn)題的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，可視物體為質(zhì)點(diǎn)。同樣的物體，研究的問(wèn)題不同，可能建立的模型是不同的。在一些問(wèn)題中，研究對(duì)象已不能看成質(zhì)點(diǎn)，而應(yīng)看成剛體或質(zhì)點(diǎn)組。但中學(xué)階段研究的問(wèn)題絕大多數(shù)是可視為質(zhì)點(diǎn)的，這容易造成學(xué)生思維定勢(shì)，不利于學(xué)生能力的發(fā)展，這種常法定式容易誤導(dǎo)學(xué)生闖入質(zhì)點(diǎn)模型建立的紅燈區(qū)。一、討論人、車(chē)轉(zhuǎn)彎（或物體有轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)）問(wèn)題時(shí)，因?yàn)樘峁┑南蛐牧Σ⒉贿^(guò)質(zhì)心，人、車(chē)或物體的大小已不是次要因素，模型一般不能建立為質(zhì)點(diǎn)而應(yīng)是剛體人滑冰轉(zhuǎn)彎時(shí)還能把人看成質(zhì)點(diǎn)嗎？摩擦力的作用點(diǎn)一定能畫(huà)在質(zhì)心嗎？帶著疑問(wèn)我們從下面的例題談起。例1北京時(shí)間2006年2月24日凌晨，都靈奧運(yùn)會(huì)花樣滑冰女子單人滑的比賽結(jié)束，最終日本名將荒川靜香力挫美國(guó)名將科恩和俄羅斯老將斯魯茨卡亞獲得冠軍，圖1為例羅斯老將斯魯茨卡亞在滑冰過(guò)程中美麗的倩影。假設(shè)圖中斯魯茨卡亞在沿弧形運(yùn)動(dòng)。若已知該運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量在60kg左右，除此之外，根據(jù)圖中的信息和你所學(xué)的物理知識(shí)，你能估測(cè)的物理量是()圖1A.地面對(duì)冰鞋摩擦力的大小B.運(yùn)動(dòng)員的滑行速度C.運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心加速度D.地面對(duì)人的支持力【錯(cuò)解】圖1中的運(yùn)動(dòng)員受到三個(gè)力的作用，在豎直方向重力和支持力平衡，因此地面對(duì)人的支持力等于重力。在水平方向運(yùn)動(dòng)員受到的靜摩擦力提供所需的向心力，方向指向圓弧形的曲率中心，則由于，且、v、R均未知，因此A、B、C項(xiàng)無(wú)法估測(cè)，綜合選D。【錯(cuò)解分析】能不能把人看成質(zhì)點(diǎn)，是由問(wèn)題的性質(zhì)決定的。本題中，運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎時(shí)需要傾斜，而且速度越大傾斜越厲害，這是不爭(zhēng)的事實(shí)。如果把人看成質(zhì)點(diǎn)，就無(wú)法解釋上述現(xiàn)象。其實(shí)這類(lèi)問(wèn)題中應(yīng)把人看成剛體，靜摩擦力作用于腳底面已不能簡(jiǎn)單的平移在人的質(zhì)心處而提供所需的向心力，也就是說(shuō)人的大小已經(jīng)是問(wèn)題的主要因素。如圖2所示，了一個(gè)順時(shí)針的力偶矩，為了不使運(yùn)動(dòng)員向外翻例，只有當(dāng)運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)傾斜時(shí)即重力產(chǎn)生一個(gè)逆時(shí)針力矩才能使轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，這種方法稱為等效平移力法。[1]圖2【正確解法】為了便于研究，把運(yùn)動(dòng)員簡(jiǎn)化成如圖2所示的剛體模型，運(yùn)動(dòng)員所受的力有：重力作用在質(zhì)心，方向豎直向下，支持力作用在腳底面方向豎直向上，沿法向方向的靜摩擦力作用在腳底面，方向指向圓弧形軌跡曲率中心，設(shè)曲率半徑為r，運(yùn)動(dòng)員此時(shí)沿切線方向上的速度為v。提供運(yùn)動(dòng)員做曲線運(yùn)動(dòng)的向心力，即例2一載重農(nóng)用車(chē)總質(zhì)量為M=5t，重心離地面高A=1.5m，兩輪胎之間的寬度為L(zhǎng)=1.2m，輪胎與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。當(dāng)農(nóng)用車(chē)通過(guò)一半徑為R=100m的水平彎道時(shí)，最大速度不能超過(guò)多少才是安全的？（最大靜摩擦力按滑動(dòng)摩擦力計(jì)算，g?。惧e(cuò)解】如圖3所示，農(nóng)用車(chē)在豎直方向受到重力和支持力，農(nóng)用車(chē)沿曲率中心的靜摩擦力提供所需要的向心力。設(shè)農(nóng)用車(chē)轉(zhuǎn)過(guò)水平彎道的速度為v時(shí)，即將沿法向方向滑出，則【錯(cuò)解分析】錯(cuò)解的原因仍然是簡(jiǎn)單地把農(nóng)用車(chē)看成質(zhì)點(diǎn)造成的。農(nóng)用車(chē)在轉(zhuǎn)彎處的安全隱患是滑出還是翻倒是未知的，若是滑出，是平動(dòng)問(wèn)題，農(nóng)用車(chē)可以看成質(zhì)點(diǎn)；若是翻倒，是轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，農(nóng)用車(chē)的大小也是主要因素，已不能看成質(zhì)點(diǎn)，摩擦力的作用點(diǎn)不能簡(jiǎn)單地畫(huà)在質(zhì)心上，而應(yīng)把農(nóng)用車(chē)看成剛體按有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平衡問(wèn)題來(lái)分析。【正確解法】先由靜摩擦力提供向心力計(jì)算。【反思】限于中學(xué)生所做的這方面試題絕大多數(shù)可視為是質(zhì)點(diǎn)而不是剛體模型，這容易造成思維的固定模型，像前面討論的人滑冰轉(zhuǎn)彎、人騎車(chē)轉(zhuǎn)彎、汽車(chē)轉(zhuǎn)彎等很實(shí)際的問(wèn)題，我們有必要讓學(xué)生明白，這類(lèi)問(wèn)題已不能把它們看做質(zhì)點(diǎn)，物體的形狀、大小往往也起主要作用而不能忽略，當(dāng)然我們也忽略了一些次要因素。如人的雙臂擺動(dòng)、雙腿交替運(yùn)動(dòng)、身體的晃動(dòng)、內(nèi)臟的運(yùn)動(dòng)等。中學(xué)教學(xué)中，遇到的這類(lèi)問(wèn)題不是很多，我們要善于抓住時(shí)機(jī)，利用很少的時(shí)間幫助學(xué)生理解模型的建立要根據(jù)具體問(wèn)題而決定，而不是避而不談，甚至錯(cuò)誤作答。[2]二、討論人、機(jī)車(chē)的功能（或物體間的碰撞）問(wèn)題時(shí)，因?yàn)橛袃?nèi)力參與做功，模型一般不能建立為質(zhì)點(diǎn)而應(yīng)是質(zhì)點(diǎn)組對(duì)涉及人和機(jī)車(chē)的做功問(wèn)題時(shí)還能用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理嗎？物體間（系統(tǒng)）的碰撞問(wèn)題我們所列的動(dòng)能方程是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理嗎？下面以兩個(gè)例題為引子做一深入的探究。例3如圖4所示，平板車(chē)放在光滑的水平面上，一個(gè)人從左端加速向右端跑動(dòng)。設(shè)人受到的摩擦力為F，平板車(chē)受到的摩擦力為F′。下列說(shuō)法中正確的是()圖4A.F和F′均做負(fù)功B.F和F′均做正功C.F做正功F′做負(fù)功D.F和F′做的總功為零【錯(cuò)解】人從車(chē)的左端加速向右端跑動(dòng)時(shí)，人相對(duì)地向右運(yùn)動(dòng)，人所受的摩擦力方向也向右，則F做正功；平板車(chē)相對(duì)地面向左運(yùn)動(dòng)，它受到的摩擦力也向左，則F'也做正功，所以選項(xiàng)B正確?！惧e(cuò)解分析】上述錯(cuò)解中，人和平板車(chē)所受靜摩擦力的方向及摩擦力對(duì)平板車(chē)做正功的分析都是正確的，錯(cuò)誤出現(xiàn)在靜摩擦力F對(duì)人做正功的分析上。學(xué)生做此題時(shí)認(rèn)為，人受靜摩擦力方向向右，并且人向右運(yùn)動(dòng)，根據(jù)功的定義“一個(gè)物體在力的作用下移動(dòng)，力對(duì)物體做的功等于力和物體沿力方向位移的乘積”，因此摩擦力對(duì)人做正功。這是把人看做質(zhì)點(diǎn)得出的結(jié)論，其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題中人已經(jīng)不能看做質(zhì)點(diǎn)，而應(yīng)看成質(zhì)點(diǎn)組。難道中學(xué)就只能把人看成質(zhì)點(diǎn)嗎？若是把人看成質(zhì)點(diǎn)分析得出的答案B與我們交代給學(xué)生的二級(jí)結(jié)論“一對(duì)靜摩擦力做的總功為零”是相矛盾的，并且人和車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)能增加也是無(wú)法解釋的，可見(jiàn)這不是簡(jiǎn)單的可回避的問(wèn)題。[3]【正確解法】人應(yīng)看做質(zhì)點(diǎn)組，人向右跑動(dòng)時(shí)，人體的各部分運(yùn)動(dòng)情況不一樣，人體整體看來(lái)向右運(yùn)動(dòng)，但后腳隨著后腿由彎曲變?yōu)樯煺沟倪^(guò)程中，隨著平板車(chē)一起向左運(yùn)動(dòng)，由于后腳受到的靜摩擦力方向向右，所以F對(duì)人做負(fù)功。當(dāng)后腳抬起并且向前運(yùn)動(dòng)變?yōu)榍澳_時(shí)，原來(lái)的前腳就開(kāi)始變?yōu)楹竽_重復(fù)著上面的過(guò)程，每次的后腳蹬著平板車(chē)向左運(yùn)動(dòng)，后腳和平板車(chē)的位移是相等的，因此F和F′做的總功為零。正確答案是D。例4一質(zhì)量分布均勻的鐵鏈，質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)，靜止在水平面上，若用一豎直向上的恒力F作用于鐵鏈的一端，則當(dāng)鐵鏈剛好全部離開(kāi)地面時(shí)，其速度有多大？【錯(cuò)解分析】上面的解法中套用了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，然而上面的鐵鏈在這類(lèi)問(wèn)題中是不能視為質(zhì)點(diǎn)的，必須看做質(zhì)點(diǎn)組。這樣就涉及內(nèi)力做功的問(wèn)題，在鐵鏈不斷上升的過(guò)程中，原來(lái)靜止在地面上的鐵鏈微元dm不斷地與獲得速度的鐵鏈主體m結(jié)合為一體，鐵鏈的上升過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是已離地的m與靜止的dm的一連串連續(xù)的碰撞過(guò)程，m與dm間相互作用的一對(duì)內(nèi)力做功之和并不為零，碰撞中有能量損失。其實(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)組，動(dòng)能定理應(yīng)寫(xiě)為為非保守內(nèi)力所做的功。【反思】人和車(chē)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中，限于中學(xué)生的知識(shí)局限，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤比較多，例如人和車(chē)在地面上運(yùn)動(dòng)，是地面摩擦力對(duì)人或車(chē)做正功的緣故；又如人從地面上跳起是地面支持力對(duì)人做功的結(jié)果；再如人在蕩秋千的過(guò)程中（忽略各種阻力）機(jī)械能守恒等。要幫助學(xué)生理解這類(lèi)問(wèn)題中人或車(chē)已不能看成質(zhì)點(diǎn)或剛體，而應(yīng)看成質(zhì)點(diǎn)組，由于質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間存在著相互作用力，內(nèi)力雖然不能改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量，但可以改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能。無(wú)論是人體內(nèi)，還是各類(lèi)機(jī)械中，因內(nèi)力的產(chǎn)生隨時(shí)間、位移的變化十分復(fù)雜，以至于通常難以用一個(gè)定量的函數(shù)式對(duì)它進(jìn)行描述，所以內(nèi)力功雖然具備功的因素卻難以定量表示，其大小只能間接用機(jī)械能或其他形式能的增量進(jìn)行粗略的估算。物體之間的碰撞問(wèn)題，由于一些過(guò)程時(shí)間短，隱藏性強(qiáng)，中學(xué)生也