河北省滄州市東光縣等三縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月清北班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及參考答案

～2023學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)4月份月考數(shù) 學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第六章～第七章第1節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若3名學(xué)生報(bào)名參加天文、計(jì)算機(jī)、文學(xué)、美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選報(bào)1組，則不同的報(bào)名方式有A．6種 B．24種 C．27種 D．64種2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則A．155 B．165 C．290 D．3103．小明每天上學(xué)途中必須經(jīng)過2個(gè)紅綠燈，經(jīng)過一段時(shí)間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的概率是，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是，則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為A． B． C． D．4．已知m，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B．C． D．5．若函數(shù)在R上存在極值，則正整數(shù)a的最小值為．A．4 B．5 C．6 D．76．中國(guó)空間站已經(jīng)進(jìn)入正式建造階段，天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙將在2022年全部對(duì)接，形成“T”字結(jié)構(gòu)．在中國(guó)空間站建造階段，有6名航天員共同停留在空間站．預(yù)計(jì)在某項(xiàng)建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙這三個(gè)艙內(nèi)同時(shí)進(jìn)行工作，由于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有A．360種 B．180種 C．720種 D．450種7．已知等比數(shù)列的公比為，其前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若對(duì)任意的，均有恒成立，則的最小值為A．2 B． C． D．8．已知a，，且，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則下列說法正確的是A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在處取得極小值 D．在處取得極大值10．若，則A． B．C． D．11．設(shè)M，N為隨機(jī)事件，且，，則下列說法正確的是A．若，則M，N可能不相互獨(dú)立B．若，則C．若，則D．若，，則12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．的極小值點(diǎn)為1B．的最小值為3C．過原點(diǎn)且與曲線相切的直線有2條D．若，，且，則的最小值為128三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班從5名男同學(xué)和4名女同學(xué)中選取4人參加學(xué)校的“辯論大賽”，要求男、女生都有，則不同的選法共有種．14．某防空導(dǎo)彈系統(tǒng)包含3輛防空導(dǎo)彈發(fā)射車，其中8聯(lián)裝，6聯(lián)裝，4聯(lián)裝防空導(dǎo)彈發(fā)射車各1輛，當(dāng)警戒雷達(dá)車發(fā)現(xiàn)敵機(jī)后通知指揮車，指揮車指揮防空導(dǎo)彈發(fā)射車發(fā)射導(dǎo)彈，每次只選擇1輛防空導(dǎo)彈發(fā)射車．已知指揮車指揮8聯(lián)裝，6聯(lián)裝，4聯(lián)裝防空導(dǎo)彈發(fā)射車發(fā)射導(dǎo)彈的概率分別為0.5，0.3，0.2，且8聯(lián)裝，6聯(lián)裝，4聯(lián)裝防空導(dǎo)彈發(fā)射車命中敵機(jī)的概率分別為0.8，0.6，0.4．在某次演習(xí)中警戒雷達(dá)車發(fā)現(xiàn)一架敵機(jī)，則此防空導(dǎo)彈系統(tǒng)發(fā)射導(dǎo)彈命中敵機(jī)的概率為．15．已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．對(duì)于函數(shù)，若存在，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”．若時(shí)，函數(shù)的圖象上只有1對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為37．（1）求n；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．19．（本小題滿分12分）某校舉辦元旦晚會(huì)，現(xiàn)有4首歌曲和3個(gè)舞蹈需要安排出場(chǎng)順序．（結(jié)果用數(shù)字作答）（1）如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？（2）如果3個(gè)舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？（3）如果歌曲甲不在第一個(gè)出場(chǎng)，舞蹈乙不在最后一個(gè)出場(chǎng)，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，在和之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若，求證：22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)4月份月考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．D由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的報(bào)名方式有（種）．故選D．2．A因?yàn)?，，則，公差，所以．故選A．3．C設(shè)“小明在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈”為事件A，“小明在第二個(gè)紅綠燈處遇到紅燈”為事件B，則由題意可得，則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為．故選C．4．B對(duì)于A，因?yàn)?，所以成立，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，所以，D正確．故選B．5．B，由函數(shù)在R上存在極值，得，解得或，又a為正整數(shù)，所以a的最小值為5．故選B．6．D方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案．所以共有（種）不同的安排方案．故選D．7．B因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，解得，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，易得單調(diào)遞減，且，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，易得單調(diào)遞增，且，所以．所以的最大值與最小值分別為2，．函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．．所以的最小值．故選B．8．C由，得，即，令，則．，所以在上單調(diào)遞增，又2a，，，所以．故選C．9．ACD當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故C正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故D正確．故選ACD．10．BD由題意，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以B正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，D正確．故選BD．11．BCD根據(jù)條件概率公式及，得，即，所以M，N相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；由A知當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；由，得，所以，故C正確；，，所以a＝b，故D正確．故選BCD．12．AD函數(shù)的定義域是，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的極小值點(diǎn)為1，故A正確；，故B錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，又切線過原點(diǎn)，則有，即，無解，即過原點(diǎn)且與曲線相切的直線不存在，故C錯(cuò)誤；由，得，即，又，，且，所以，又，所以，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為128，故D正確．故選AD．13．120從9名同學(xué)中選取4人，有種不同的選法，其中全為男生，全為女生的情況分別有種，種，所以男、女生都有的不同的選法共有（種）．14．0.66由全概率公式，得此防空導(dǎo)彈系統(tǒng)發(fā)射導(dǎo)彈命中敵機(jī)的概率為．15．由，得，，…，（），以上各式相乘，得（），又，所以（），當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，，所以．16．e關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上只有1對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，所以與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取最大值．分別作出與的圖象（如圖所示）．若與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，則，即，解得．17．解：（1）因?yàn)榈恼归_式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是，，，所以，即，解得或（舍去）．（2）的展開式中通項(xiàng)為（，），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．18．解：（1），所以，解得．所以，，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由，得，令，得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?9．解：（1）先將4首歌曲捆綁，有種情況，再將捆綁好的4首歌曲與3個(gè)舞蹈排序，有種情況，所以有（種）不同的出場(chǎng)順序．（2）先將4首歌曲排好，有種情況，再將3個(gè)舞蹈排入4首歌曲隔開的5個(gè)空中，有種情況，所以有（種）不同的出場(chǎng)順序．（3）方法一：歌曲甲在最后一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，其他節(jié)目可全排，有種情況；歌曲甲不在最后一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，可從余下的5個(gè)位置任選一個(gè)，有種情況，而舞蹈乙可排在除去最后一個(gè)位置后剩下的5個(gè)位置中，有種情況，其余節(jié)目全排列，有種情況，共有（種）不同的出場(chǎng)順序．方法二：7個(gè)節(jié)目全排列，有種情況，其中歌曲甲在第一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，有種情況，舞蹈乙在最后一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，有種情況，其中都包含了歌曲甲在第一個(gè)出場(chǎng)且舞蹈乙在最后一個(gè)出場(chǎng)的情況，有種情況，故共有（種）不同的出場(chǎng)順序20．解：（1）當(dāng)時(shí)，得，由，①得時(shí)，，②由①－②得所以，也適合此式，所以．（2）由（1）得，，則，所以，所以，兩式相減得，所以．21．（1）解：，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以a的取值范圍是．（2）證明：因?yàn)?，，所以要證，只需證，令，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以時(shí)，取極小值，也是最小值，則，所以時(shí)，，因此．所以．22．解：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)镽，且，令，則