線性代數(shù)第四章矩陣的特征值

線性代數(shù)第四章矩陣的特征值第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六一矩陣的特征值二特征值與特征向量的基本性質(zhì)第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六一、特征值與特征向量的概念定義4.1Ａ為ｎ階方陣，λ為數(shù)，為ｎ維非零向量，若則λ稱為Ａ的特征值，稱為Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組①特征向量，特征值問題只針對方陣；有非零解的λ值，即滿足的λ都是方陣Ａ的特征值．第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六

定義4.2設(shè)A為n階矩陣,含有未知量λ的矩陣λI-A稱為A的特征矩陣,其行列式為λ的n次多項(xiàng)式,稱為A的特征多項(xiàng)式,稱為A的特征方程.求n階矩陣的特征值和特征向量的步驟:1.由矩陣A的特征方程求出A的特征值2.對于矩陣A的不同的特征值求出一個基礎(chǔ)解系則為矩陣A對應(yīng)特征值的特征向量.第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六例1.求矩陣的特征值和特征向量例2.求矩陣的特征值和特征向量第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí).求矩陣的特征值和特征向量例3.求矩陣的特征值和特征向量第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí).求矩陣的特征值和特征向量例3.求矩陣的特征值和特征向量的一個基礎(chǔ)解系為則矩陣對應(yīng)于的特征向量為的一個基礎(chǔ)解系為的特征向量為則矩陣對應(yīng)于第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí).求矩陣B的特征值和特征向量第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六二、特征值和特征向量的性質(zhì)定理4.1n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置有相同的特征值.有一個成立,則矩陣A的所有特征值的模小于1.即定理4.2n階矩陣A=(aij),若第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定理4.3互異特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量.對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量.則是線性無關(guān)的.第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六１、若λ＝２為可逆陣Ａ的特征值，則的一個特征值為（）２、證ｎ階方陣Ａ的滿足，則Ａ的特征值為０或１．３、三階方陣Ａ的三個特征值為１、２、０，則（）４、求下列方陣的特征值與特征向量第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六一相似矩陣及其性質(zhì)二n階矩陣與對角矩陣相似的條件第二節(jié)相似矩陣第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定義4.3設(shè)Ａ,Ｂ都是n階矩陣,若存在n階可逆矩陣P,使得則稱Ｂ是Ａ的相似矩陣，或者說矩陣稱為對Ａ進(jìn)行相似變換，對Ａ進(jìn)行運(yùn)算可逆矩陣Ｐ稱為把Ａ變成Ｂ的相似變換矩陣．Ａ與Ｂ相似．記作：Ａ∽Ｂ．則第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定理4.4(1)相似矩陣有相同的特征值.(2)相似矩陣有相同的秩(3)相似矩陣的行列式相同.(4)相似矩陣同時可逆或者同時不可逆.注(1)任何一個n階矩陣都有相似矩陣;(2)我們趕興趣的是一個n階矩陣是否能夠相似于一個對角矩陣?(3)若不是任何一個矩陣都能相似于一個對角矩陣,矩陣相似于對角矩陣需要什么條件?或者說什么樣的矩陣能相似于對角矩陣.第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定理4.5ｎ階矩陣Ａ與n階對角矩陣，相似的充要條件是矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量。(二)n階矩陣與對角矩陣相似的條件第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)存在Ｐ可逆，使得第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六于是有因?yàn)椋锌赡妫是沂牵恋模顐€線性無關(guān)的特征向量。充分性：若Ａ有ｎ個線性無關(guān)的特征向量對應(yīng)的特征值為即第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六令則P可逆，且所以即Ａ與對角矩陣Λ相似．第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定理的證明告訴我們，如果ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣Λ相似，則Λ的主對角線上的元素就是Ａ的全部特征值．相似矩陣P的列是對應(yīng)于Λ對角線上元素的特征向量。推論若ｎ階矩陣A有n個兩兩不同的特征值，則Ａ必與對角矩陣Λ相似第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六注意Ｐ中的列向量的排列順序要與的順序一致．（1）（2）是的基礎(chǔ)解系中的解向量，因的取法不是唯一的，故因此Ｐ也是不唯一的．

推論若ｎ階矩陣Ａ有n個特征值,則可相似對角化<==>Ａ的任ti重特征值有對應(yīng)ti個線性無關(guān)的特征向量．第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六n階矩陣A對角化的步驟：1.求出n階矩陣A的所有特征值2.求出矩陣A對應(yīng)于所有特征值的特征向量

特征值和特征向量的對應(yīng).

若A的特征值的個數(shù)小于n（重根按重數(shù)計(jì)算），則A不與對角矩陣相似。

若A有一個t重特征值，對應(yīng)的特征向量在線性無關(guān)的意義下小于t，則A不與對角矩陣相似。3.寫出對角矩陣和相似變換矩陣。第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六1.求出n階矩陣A的所有特征值2.求出矩陣A對應(yīng)于所有特征值的特征向量3.寫出對角矩陣和相似變換矩陣。的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為且第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量一內(nèi)積的定義和性質(zhì)三正交向量組二向量的長度與夾角四正交矩陣與正交變換五對稱矩陣的相似變換第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)定義4.5設(shè)ｎ維實(shí)向量稱實(shí)數(shù)為向量α與β的內(nèi)積，記作注：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式表示，有第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六２、性質(zhì)（1）對稱性：（2）線性性：（3）正定性：當(dāng)且僅當(dāng)時第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定義4.6對于n維列向量α,其長度為向量長度也叫向量的模或范數(shù).特別地,長度為１的向量稱為單位向量.第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六（1）正定性：（2）齊次性：（3）三角不等式：向量長度的性質(zhì)（4）柯西－施瓦茲（Cauchy－Schwarz）不等式:當(dāng)且僅當(dāng)α與β的線性相關(guān)時，等號成立.注①當(dāng)時，②由非零向量α得到單位向量是α的單位向量.稱為把α單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.的過程第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六二、正交向量組定義4.7若則稱α與β正交.注①若，則α與任何向量都正交.②

定義4.8若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組.第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定理4.8正交向量組是線性無關(guān)的.證明:若向量組下面證明是正交向量組,則對于任意對于任意的i,即由于是正交向量組,不包含0向量.因此由i的任意性可得,即正交向量組是線性無關(guān)的.第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六施密特（Schmidt）正交化法設(shè)是線性無關(guān)的,把它們化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的過程稱為標(biāo)準(zhǔn)正交化.這里我們討論施密特（Schmidt）正交化法.包括正交化和標(biāo)準(zhǔn)化兩個過程.1）正交化令第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六就得到Ｖ的一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.2）標(biāo)準(zhǔn)化令注則兩兩正交，且與等價.上述方法中的兩個向量組對任意的與是等價的.第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六例1證明：中，勾股定理成立的充要條件是正交.解所以成立的充要條件是即正交.已知三維向量空間中，例2正交，試求是三維向量空間的一個正交基.第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六解設(shè)則即例3已知向量求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.解設(shè)非零向量都于正交，即滿足方程或其基礎(chǔ)解系為第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六令1）正交化令2）標(biāo)準(zhǔn)化令第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第四章第三節(jié)(三)正交矩陣1、定義如果ｎ階矩陣滿足：則稱Ａ為正交矩陣.第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六正交矩陣的性質(zhì)1、正交矩陣行列式為1或者-1；2、若Q為正交矩陣，則Q可逆，且Q-1=QT;3、兩個正交矩陣的乘積為正交矩陣。

定理4.9設(shè)Q為n階矩陣，則Q為正交矩陣的充要條件為Q的行(列)向量組是單位正交向量組。第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六例:判斷下列矩陣是否為正交矩陣.第37頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六定理4.10對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).(四)實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量定理4.11對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交.結(jié)論：若ｎ階對稱陣Ａ的任重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量恰