矢量場和梯度算子

矢量場和梯度算子第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23什么是矢量？2坐標(biāo)變換坐標(biāo)系Oxyz任一點(diǎn)P的坐標(biāo)：坐標(biāo)系Ox’y’z’任一點(diǎn)P的坐標(biāo)：坐標(biāo)變換第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23什么是矢量？3標(biāo)量與矢量的定義定義：如果某個量在任一坐標(biāo)系中僅需一個數(shù)（分量）描述，并且在坐標(biāo)變換下其分量是不變的，則稱其為標(biāo)量推論：如果a和b是兩個標(biāo)量，則a+b和ab也都是標(biāo)量。例子：質(zhì)量m、電荷q、溫度、

Newton時間t，etc.定義：如果某個量在任一坐標(biāo)系中需三個數(shù)（分量）描述，并且在坐標(biāo)變換下其分量與坐標(biāo)的變換規(guī)律一樣，

則稱其為矢量。即推論：位矢是一個矢量矢量的表示:第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23矢量運(yùn)算4標(biāo)量與矢量運(yùn)算如何由給定的標(biāo)量和矢量得到新的標(biāo)量和矢量。設(shè)a、b為標(biāo)量，推論:位移、速度、加速度、動量等物理量是矢量其分量定義為矢量的線性組合仍然是矢量力為矢量是一個物理的假設(shè)，而不是數(shù)學(xué)的推論為矢量。數(shù)乘：其分量定義為矢量和：第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23矢量運(yùn)算5標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))推論：動能標(biāo)量積：矢量的長度：證明：如果對于任意矢量、功是標(biāo)量是一個標(biāo)量，則必是某個矢量的分量。第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23矢量運(yùn)算6標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))矢量積：證明：推論：角動量、力矩是（贗）矢量。第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23矢量運(yùn)算7標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))標(biāo)量積的幾何意義：證明：矢量積的幾何意義：大小為，即兩個矢量張成的平行四邊形的面積，方向滿足右手法則。θ為兩個矢量之間的夾角：第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23矢量運(yùn)算8單位基矢單位基矢：“完整”的矢量指定了坐標(biāo)系并且給出了矢量分量的含義突出了矢量是坐標(biāo)變換下得不變量單位基矢的變換：第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23矢量運(yùn)算9矢量的混合積的大小為三個矢量所張成的平行六面體的體積，正負(fù)取決于這三個矢量是否滿足右手法則確定。第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23什么是場？10標(biāo)量場及其幾何表示標(biāo)量場：標(biāo)量在空間的分布，對于空間任一點(diǎn)都指定或者賦

予某個唯一的標(biāo)量（數(shù)）代數(shù)表示：函數(shù)幾何表示：等值面、等值線-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+q-q+q第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23什么是場？11矢量及其幾何表示矢量場：矢量在空間的分布，對于空間任一點(diǎn)都指定或者賦予某個唯一的矢量代數(shù)表示：函數(shù)幾何表示：箭頭、場線第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子12場在空間某個方向上的變化率在每一點(diǎn)處的數(shù)值都滿足矢量分量的變換規(guī)律φ在方向上的變化率

方向?qū)?shù)第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子13場在空間某個方向上的變化率(續(xù))是一個矢量場的三個分量梯度算子φ在方向上的方向?qū)?shù)第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子14梯度算子梯度算子▽是一個矢量算子標(biāo)量場梯度是一個矢量場：矢量場散度是一個標(biāo)量場：矢量場旋度是一個矢量場：梯度算子是一個矢量微分算符：作為矢量，滿足通常矢量點(diǎn)乘和叉乘運(yùn)算法則作為算符，需作用于表達(dá)式中的所有對象第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子15與位置有關(guān)的矢量微分公式證明：第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子16與梯度算子有關(guān)的一些矢量恒等式第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子17關(guān)于梯度算子恒等式的符號法證明例:用符號法證明證(1)視為“算符”，分別作用

φ

和ψ（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視φ矢和ψ

為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子18梯度算子補(bǔ)例:用符號法證明證(1)視為“算符”，分別作用

φ

和（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視φ

矢和A

為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子19梯度算子補(bǔ)例:用符號法證明證(1)視為“算符”，分別作用

A和

B（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視A矢和B

為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子20梯度算子補(bǔ)例:用符號法證明證(1)視為“算符”，分別作用

A和

B（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視A矢和B

為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2023/4/23梯度算子21場隨空間的二階變化標(biāo)量場梯度是矢量場：矢量場散度是標(biāo)量場：矢量場旋度是矢量場：Laplace(標(biāo)量)算符是一個矢量場，其分量為①②③④⑤④第21頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六