線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述第1頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.2傳遞函數(shù)矩陣及有關(guān)定義第2頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第3頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2.1狀態(tài)與狀態(tài)空間定義2.2.1完全地表征系統(tǒng)時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)。組成這個(gè)變量組的變量

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其中

為初始時(shí)刻。由狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，簡(jiǎn)稱為狀態(tài)。狀態(tài)向量取值的向量空間稱為狀態(tài)空間。第4頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六命題2.2.1一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的任意選取的兩個(gè)狀態(tài)變量組之間為線性非奇異變換的關(guān)系。1.狀態(tài)變量組可以完全表征系統(tǒng)行為;2.狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn);3.狀態(tài)變量組在數(shù)學(xué)上的特征體現(xiàn);4.狀態(tài)變量組包含了系統(tǒng)的物理特征.第5頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.2.2動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第6頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第7頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第8頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第9頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.2.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

與相關(guān)概念第10頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義2.2.2

對(duì)于系統(tǒng)的為系統(tǒng)的輸入解耦零點(diǎn)；

稱滿足

的為系統(tǒng)的輸出解耦零點(diǎn)；

稱滿足稱滿足

的為系統(tǒng)的傳輸零點(diǎn)。第11頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六，輸出變量取為電阻的端電壓。例2.2.1考查圖2.2.2所示的簡(jiǎn)單電路，電路各組成元件的參數(shù)值未已知，輸入變量取為電壓源第12頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六和流經(jīng)電感的電流iL作為電路的

狀態(tài)變量。第二步：列出原始電路方程運(yùn)用電路定律，可列出圖中左、右兩個(gè)回路的電路方程為第一步：確定狀態(tài)變量根據(jù)電路理論可知，此電路最多有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的變量；因此，可選取獨(dú)立儲(chǔ)能元件的變量，即電容端電壓第13頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六，所以可將上述方程改寫為只包含未知變量和考慮到規(guī)定為狀態(tài)變量，并有和的方程組和第14頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三步：導(dǎo)出狀態(tài)方程首先，以和為待定變量求解上述聯(lián)立方程，得到第15頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六進(jìn)而，將其表為向量方程的形式，就導(dǎo)出了此電路的狀態(tài)方程第四步：導(dǎo)出輸出方程根據(jù)電路的關(guān)系式，有將其改寫后即可得到此電路的輸出方程第16頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.3兩種描述形式的比較及相互轉(zhuǎn)換2.3.1兩種描述形式的比較1.使用的數(shù)學(xué)方法不同;2.對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng):用系統(tǒng)辨識(shí)方法容易系統(tǒng)的傳遞函數(shù),而辨識(shí)系統(tǒng)完整的狀態(tài)方程各測(cè)量方程有時(shí)做不到;3.傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論實(shí)現(xiàn)分析和綜合的基礎(chǔ),狀態(tài)空間方法是現(xiàn)代控制理論中系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。傳遞函數(shù)僅描述輸入-輸出關(guān)系（外部特性）。第17頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第18頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六，由點(diǎn)A到點(diǎn)B之間平行板電容的兩端電壓為例2.3.1對(duì)于圖2.3.1所示的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的輸入電流為，輸出電壓為。由點(diǎn)C到D之間平行板電容的兩端電壓為流經(jīng)電阻電感的電流為。顯然，。由Kirchhoff電流定律得出再由Kirchhoff電壓定律得第19頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是得到系統(tǒng)得狀態(tài)方程和量測(cè)方程為由此看出，它是一個(gè)三階系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)的特征方程為第20頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六另一方面，我們?nèi)菀浊蟮迷撓到y(tǒng)得傳遞函數(shù)為它所代表得是一個(gè)穩(wěn)定得二階系統(tǒng)。第21頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.3.2化輸入-輸出描述為

狀態(tài)空間描述第22頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第23頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2.3.2給定系統(tǒng)得輸入—輸出描述為則利用式第24頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六即可定出相應(yīng)得一個(gè)狀態(tài)空間描述為第25頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第26頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第27頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2.3.3給定系統(tǒng)得輸入—輸出描述為則利用式第28頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六即可定出其相應(yīng)得一個(gè)狀態(tài)空間描述為第29頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2.3.4給定系統(tǒng)得輸入—輸出描述為先利用式定出第30頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六從而由式即可導(dǎo)出相應(yīng)得狀態(tài)空間描述為第31頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.3.3化狀態(tài)空間描述為傳遞函數(shù)描述定理2.3.1線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

并且，當(dāng)時(shí)為真的，當(dāng)時(shí)為嚴(yán)格真的，且有

第32頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.4線性系統(tǒng)的代數(shù)等價(jià)性定義2.4.1已知兩個(gè)同維的由式：和式：表示的線性定常系統(tǒng)如果存在一個(gè)適當(dāng)階的定?？赡婢仃嘝，使得的系統(tǒng)參數(shù)矩陣滿足式則稱系統(tǒng)為代數(shù)等價(jià)的。第33頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六命題2.4.1同一線性定常系統(tǒng)的兩個(gè)不同的狀態(tài)空間描述為代數(shù)等價(jià)的。2.4.2代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)的公有屬性命題2.4.2

相互代數(shù)等價(jià)的線性定常系統(tǒng)具有相同的特征多項(xiàng)式，特征方程和極點(diǎn)。命題2.4.3

相互代數(shù)等價(jià)的線性定常系統(tǒng)具有相同的輸入解耦零點(diǎn)，輸出解耦零點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)。命題2.4.4

相互代數(shù)等價(jià)的線性定常系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)

第34頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.5復(fù)合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.5.1子系統(tǒng)并聯(lián)的情形第35頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第36頁(yè)，共40頁(yè)，202