數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

5.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法

數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分。數(shù)字濾波實際上是一種運算過程，其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設備。數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實現(xiàn)：1)根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設備，構(gòu)成專用的信號處理機；2)直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序讓計算機來執(zhí)行，即用軟件來實現(xiàn)數(shù)字濾波器?，F(xiàn)在是1頁\一共有44頁\編輯于星期六

數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡可以用差分方程、單位脈沖響應以及系統(tǒng)函數(shù)進行描述。如果一個數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為(5-1)則描述系統(tǒng)輸入、輸出關系的N階常系數(shù)差分方程為(5-2)現(xiàn)在是2頁\一共有44頁\編輯于星期六對于同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對應于一種不同的運算結(jié)構(gòu)（網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)）。對應于每一種不同的運算結(jié)構(gòu)，都可用三種基本的運算單元來實現(xiàn)：1）乘法器；2）加法器；3）單位延時。例：

基本運算單元常用兩種表示方法表示：1）方框圖法；2）信號流圖法。現(xiàn)在是3頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-1基本運算的方框圖表示及信號流圖表示

方框圖表示法信號流圖表示法現(xiàn)在是4頁\一共有44頁\編輯于星期六二階數(shù)字濾波器：信號流圖是一種有向圖，它用箭頭的有向線段來代表一條支路，箭頭的方向代表信號流動的方向，有向線段上標注出支路的傳輸值。源節(jié)點或輸入節(jié)點

阱節(jié)點或輸出節(jié)點

加法器

分支節(jié)點

●

輸入支路的信號值等于這一支路起點處節(jié)點信號值乘以支路上的傳輸系數(shù)。如果支路上不標傳輸系數(shù)值，則認為其傳輸系數(shù)為1，而延遲支路則用延遲算子z-1表示，它表示單位延時?，F(xiàn)在是5頁\一共有44頁\編輯于星期六5.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

①單位沖激響應h(n)是無限長的；②系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（）上有極點;③結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋,即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的.無限長單位沖激響應濾波器有如下幾個特點：IIR濾波器的結(jié)構(gòu)分類：直接Ⅰ型直接Ⅱ型級聯(lián)型并聯(lián)型

現(xiàn)在是6頁\一共有44頁\編輯于星期六一、直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)N階的IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和常系數(shù)差分方程為系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成：第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結(jié)構(gòu)，每階延時抽頭后加權(quán)相加，構(gòu)成一個橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡。第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡。由這兩部分相加構(gòu)成輸出y(n)，其結(jié)構(gòu)圖如圖5-4?，F(xiàn)在是7頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-4實現(xiàn)N階差分方程的直接I型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)零點實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)極點共（M+N）個延時單元現(xiàn)在是8頁\一共有44頁\編輯于星期六一個線性移不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，即總的輸入輸出關系不改變。二、直接Ⅱ型（典范型、正準型）結(jié)構(gòu)實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)極點實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)零點圖5-5直接I型的變型

現(xiàn)在是9頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-6直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖5-5中有兩條完全相同的對中間變量y2(n)進行延遲的延時鏈,可以合并這兩條延時鏈,得到直接Ⅱ型結(jié)構(gòu).只需N個延時單元現(xiàn)在是10頁\一共有44頁\編輯于星期六1）直接Ⅱ型比直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)延時單元少，用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接Ⅰ型經(jīng)濟；若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。2）對于高階系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)都存在調(diào)整零、極點困難，對系數(shù)量化效應敏感度高等缺點。直接Ⅰ型與直接Ⅱ型的比較現(xiàn)在是11頁\一共有44頁\編輯于星期六三、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)（※）

1．級聯(lián)型結(jié)構(gòu)極點零點實極點實零點復共軛零點復共軛極點M=M1+2M2N=N1+2N2現(xiàn)在是12頁\一共有44頁\編輯于星期六（把共軛因子組合成實系數(shù)的二階因子）（將實系數(shù)的兩個一階因子組合成二階因子）二階基本節(jié)（用典范型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)）級聯(lián)的節(jié)數(shù)：當M＝N時，共有節(jié)。表示取整.如果有奇數(shù)個實零點，則有一個系數(shù)等于零；如果有奇數(shù)個實極點，則有一個系數(shù)等于零?，F(xiàn)在是13頁\一共有44頁\編輯于星期六H1(z)H2(z)圖5-7級聯(lián)結(jié)構(gòu)的一階基本節(jié)和二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)圖5-8級聯(lián)結(jié)構(gòu)（M=N）現(xiàn)在是14頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-9六階IIR濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)2．級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點調(diào)整系數(shù)就能單獨調(diào)整濾波器的第k對零點，對其他零極點并無影響；同樣,調(diào)整系數(shù)也只單獨調(diào)整了第k對極點，而不影響其它零極點。因此，與直接型結(jié)構(gòu)相比，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準確地實現(xiàn)濾波器零、極點，因而便于調(diào)整濾波器的頻率響應性能?，F(xiàn)在是15頁\一共有44頁\編輯于星期六1．并聯(lián)型結(jié)構(gòu)(4-6)四、并聯(lián)型結(jié)構(gòu)（※）

把系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成部分分式之和的形式，就可以得到IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：實數(shù)共軛復數(shù)N=N1+2N2當M<N時，當M=N時，

一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)延時加權(quán)單元現(xiàn)在是16頁\一共有44頁\編輯于星期六以M＝N時為例進行研究，將共軛復根部分，成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，此時H(z)可表示為（將一階實極點組合成實系數(shù)二階多項式)

當N為奇數(shù)時，包含有一個一階環(huán)節(jié)，即有一節(jié)的。

現(xiàn)在是17頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-10并聯(lián)結(jié)構(gòu)（M=N）

圖5-11并聯(lián)結(jié)構(gòu)的一階、二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在是18頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-12三階IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)現(xiàn)在是19頁\一共有44頁\編輯于星期六并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以用調(diào)整的辦法單獨調(diào)整一對極點的位置，但對于零點的調(diào)整卻不如級聯(lián)型方便，它不能單獨調(diào)整零點的位置，而且當濾波器的階數(shù)較高時，部分分式展開比較麻煩。在運算誤差方面，由于各基本網(wǎng)絡間的誤差互不影響，沒有誤差積累，因此比直接型和級聯(lián)型誤差稍小一點。當要求有準確的傳輸零點時，采用級聯(lián)型最合適。2．并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點

現(xiàn)在是20頁\一共有44頁\編輯于星期六轉(zhuǎn)置定理：如果將線性移不變網(wǎng)絡中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，且將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不發(fā)生改變。五．轉(zhuǎn)置定理圖5-14將圖5-13畫成輸入在左，輸出在右的習慣形式圖5-13典范型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置

現(xiàn)在是21頁\一共有44頁\編輯于星期六有限長單位沖激響應濾波器有如下幾個特點：1）單位沖激響應h(n)在有限個n值處不為零；2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點，即有限z平面（）只有零點，而全部極點都在z=0處（因果系統(tǒng)）；3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率采樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。5.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在是22頁\一共有44頁\編輯于星期六FIR濾波器的結(jié)構(gòu)分類：橫截型結(jié)構(gòu)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)頻率采樣型結(jié)構(gòu)快速卷積型結(jié)構(gòu)

線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)

設FIR濾波器的單位沖激響應h(n)為一個N點序列，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：它在z=0處有（N-1）階極點，有（N-1）個零點位于有限z平面的任何位置。（5-10）現(xiàn)在是23頁\一共有44頁\編輯于星期六(5-11)一．橫截型（卷積型、直接型）結(jié)構(gòu)（※）線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式輸入x(n)的延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)圖5-15FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)圖5-16圖5-15的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)現(xiàn)在是24頁\一共有44頁\編輯于星期六二.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)（※）

圖5-17FIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)（N為奇數(shù)）當需要控制系統(tǒng)傳輸零點時，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實系數(shù)因子的形式：對取整現(xiàn)在是25頁\一共有44頁\編輯于星期六1）這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時，可以采用它。比卷積型的系數(shù)h(n)要多，因而所需的乘法次數(shù)也比卷積型的要多。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點：2）這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù)現(xiàn)在是26頁\一共有44頁\編輯于星期六由頻域采樣定理可知，對有限長序列h(n)的z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數(shù)N為周期進行周期延拓后的主值序列，當N大于等于原序列h(n)長度M時hN(n)=h(n)，不會發(fā)生信號失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內(nèi)插得到，內(nèi)插公式如下：三.頻率采樣型結(jié)構(gòu)現(xiàn)在是27頁\一共有44頁\編輯于星期六H(z)可以重寫為

(5-14)H(z)級聯(lián)的第一部分Hc(z)：是一個FIR子系統(tǒng)，是由N階延時單元組成的梳狀濾波器，如圖5-18所示。i=0,1，2,…,N-1即Hc(z)在單位圓上有N個等間隔的零點，它的頻率響應為

令現(xiàn)在是28頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-18梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應幅度現(xiàn)在是29頁\一共有44頁\編輯于星期六H(z)級聯(lián)的第二部分：它是由N個一階網(wǎng)絡組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個一階網(wǎng)絡都是一個具有單極點的IIR子系統(tǒng)。令即每一個一階網(wǎng)絡在單位圓上都有一個極點，因此，H(z)的第二部分是一個有N個極點的諧振網(wǎng)絡。現(xiàn)在是30頁\一共有44頁\編輯于星期六H(z)級聯(lián)的第一部分零點：說明：第二部分這些諧振器的N個極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應等于H(k)。把這兩部分級聯(lián)起來就可以構(gòu)成FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)，如圖5-19所示。

H(z)級聯(lián)的第二部分極點：現(xiàn)在是31頁\一共有44頁\編輯于星期六圖5-19FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在是32頁\一共有44頁\編輯于星期六

頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點（1）頻率采樣型結(jié)構(gòu)的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在ω=2πk/N處的響應值，因此可以直接控制濾波器的響應；（2）只要濾波器的階數(shù)N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的結(jié)構(gòu)完全相同，N個一階網(wǎng)絡部分的結(jié)構(gòu)也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結(jié)構(gòu)便于標準化、模塊化?，F(xiàn)在是33頁\一共有44頁\編輯于星期六

頻率采樣型結(jié)構(gòu)的缺點（1）頻率采樣型結(jié)構(gòu)中所有的系數(shù)H(k)和一般為復數(shù)，復數(shù)相乘運算實現(xiàn)起來較麻煩；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，如果濾波器的系數(shù)