淺談“隱形圓”在解題中的應(yīng)用 論文

淺談“隱形圓”在解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)中的動點(diǎn)問題比較常見，即使是在初中數(shù)學(xué)中也時常遇到，對于初學(xué)者而言經(jīng)常無從下手，處理起來有時也比較麻煩，若能弄清楚動點(diǎn)軌跡就會給解題帶來方便，此處僅以動點(diǎn)中的一類問題-----“圓”來加以探討、歸納、整理，通過分析條件來確定圓，并借助圓來解決問題。 關(guān)鍵詞：動點(diǎn)問題，隱形圓，圓的確定

下面就動點(diǎn)問題中涉及“隱形圓”的情況加以分類整理。類型一，利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡)來確定隱形圓。 1．通過幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化條件確定定點(diǎn)與定長。 例1如圖（1），在矩形ABCD中，AB=13，BC=8，E為AB上一點(diǎn)，BE=8,P為直線CD上的動點(diǎn)，以PQ為斜邊作Rt?PDQ，交直線AD于點(diǎn)Q，且滿足PQ=10，若F為的PQ中點(diǎn)，連接CE,CF，則當(dāng)∠ECF最小時，tan∠ECF的值為（ ）圖（1）圖（2） 1

解析：由題易知DF=2PQ=5，根據(jù)圓的定義，點(diǎn)F的軌跡是以點(diǎn)D為圓心，半徑r=5的圓，如圖（2），這樣便可知，當(dāng)CF與圓相切時∠ECF最小，作EG⊥CD于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，則CG=BE=8，由CF2=CD2-DF2可得CF=12，由?CGH 10 26 14

∽?CFD可得GH=3，CH=3，從而求得EH=3 ，再由等腰Rt?BCE可得∠GEC=45○，作HM⊥EC于點(diǎn)M，則EM=HM=所以tan∠ECF=7

。172．直接給出定點(diǎn)和定長。2 72 1722EH= 3 ，而CM=CE-EM= 3，例2如圖（3），已知正方形ABCD的邊長為4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足1

PB=2，則PD-PC的最大值為（）2圖（3）圖（4） 解析：由PB=2可知，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以r=2為半徑的圓，如圖（4），進(jìn)而可以看出此題是典型的阿氏圓模型，在BC上取點(diǎn)Q，使BQ=1， 1 1

連接PQ，易得出?BPQ∽?BCP，所以PQ=PC，從而(PD-PC)的最大值便2 2

1

轉(zhuǎn)化為(PD-PQ)的最大值，當(dāng)P、D、Q三點(diǎn)共線時(PD-2PC)max=(PD-PQ)max =5。=DQ= CQ2+CD

2 3．軸對稱變換，根據(jù)對稱性的性質(zhì)確定定點(diǎn)和定長。例3如圖（5），矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把?BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為（） 圖（5） 圖（6）

解析：此題以軸對稱知識為背景，但對稱軸EF不確定，從而點(diǎn)B的對稱點(diǎn)G不確定，所以可以先考察點(diǎn)G的可能位置；

由題意可得EG=EB=1，可知點(diǎn)G在以點(diǎn)E為圓心，半徑r=1的部分圓上，如圖（６），連接AC，由于S四邊形AGCD=S?ACD+S?AGC，所以求S四邊形AGCD的最小值只需求S?AGC的最小值即可，又因為AC長度為定值，可作GH⊥AC于點(diǎn)H，從而可知GH最小時S?AGC最小，故作EH’⊥AC于點(diǎn)H’，交圓E于點(diǎn)G’，當(dāng)點(diǎn)G位于點(diǎn)G’時，S?AGC最小，由EH’=AE×sin∠BAC=AE×4 85=可得5 3

G’H’=EH’-r=，所以5 (S?AGC)min=2×AC×G'H'=1

2×5×3

5=3

，從而得到2(S四邊形AGCD)min=15

。2類型二，同弦所對的圓周角相等。

１.當(dāng)定角為90○時，所對弦為直徑。例4如圖（7），Rt?ABC中，AB的一⊥BC，AB=6，BC=4，P是?ABC內(nèi)部動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）圖（7）圖（8）解析：由∠PAB=∠PBC可得出∠APB=90○,從而可得出點(diǎn)P在以AB為直1徑的部分圓周上，圓心為AB的中點(diǎn)O，（如圖（8）），半徑r=2AB=3，易求得(CP)min=CO-r=BC2+BO2-r=2。２.當(dāng)定角不是90○時，所對弦不是直徑。例5如圖（9），在?ABC中，BC=2 3，D為邊AB上一點(diǎn)且∠BDC=60○，AD=CD，則?ACD的面積的最大值為（ ）圖（9） 圖（10）解析：如圖（10），作AE⊥CD于點(diǎn)E，設(shè)AD=CD=，則1S?ACD=2×CD×AE=3

4a2，要求S?ACD的最大值只需求a的最大值，而點(diǎn)D在不共線的B、C、D所確定的圓周上（異于B、C兩點(diǎn)），此隱形圓可通過正?BCD找出其圓心和半徑（不同于直角所對的弦即為直徑），從而可知，當(dāng)CD為直徑時，a取最大值，此時a= BC

sin60°=4，所以(S?ACD)max=3

4a2=43。 另外