焦點弦公式及其應(yīng)用

焦點弦公式及其應(yīng)用引言焦點弦公式是高中數(shù)學中經(jīng)典的一道經(jīng)典問題，是直線和圓相交的重要性質(zhì)之一。本文將詳細介紹焦點弦公式和其應(yīng)用。一、定義和公式（一）定義給定圓O和直線l，若直線l交圓O于A、B兩點，圓心O與直線l的距離為d，那么A、B連結(jié)線段AB就是直線l與圓O的交線段。以線段AB中點M為圓O的圓心，以弦AB的長度對圓心M的距離d來表達的比例r，稱為焦點弦的長度比。（二）公式設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0，圓的方程為(x-p)2+(y-q)2=r2，其中圓心坐標為(p,q)，半徑為r。則有焦點弦公式：$$\\frac{|Ax+By+C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}=\\frac{2r}{\\sqrt{1+m^2}}$$其中，m表示AB線段的斜率。二、證明1.延長直線l直到與圓O相交于兩點A'、B'，則線段AB是線段A'B'的一部分，設(shè)AB'的長為x，A'B的長為y。2.畫圓O的直徑CD，且交線段A'B'于E點，則AF=Fb，因此F為焦點。此時，連接AD、BC兩線段。3.根據(jù)圓心角的公式可得：$\\angleAOC=2∠B'EB$$\\angleAOD=2∠A'ED$$\\angleDOC=2∠A'AB$$\\angleBOC=2∠B'BA$4.觀察圖中的三角形ADM、BNC，因為MN=CD/2，所以MD=MN+ND=CD/2+x/2。同理，NB=CD/2+y/2。那么，我們可以得到：$MD^2+ND^2?MN^2?AD^2=(CD/2)^2$$NB^2+NC^2?MN^2?BC^2=(CD/2)2$化簡得到：$$x^2+y^2-\\frac{A^2+B^2}{4}=r^2-d^2$$5.根據(jù)AB的斜率可得：$x=\\frac{2n}{\\sqrt{1+n^2}}r$$y=\\frac{2m}{\\sqrt{1+m^2}}r$其中，m表示AB的斜率，n表示-1/m。結(jié)合第四步的式子，我們可以得到：$$\\frac{Ar+By+C}{\\sqrt{A^2+B^2}}=\\frac{2r}{\\sqrt{1+m^2}}$$6.綜上所述，得證。三、應(yīng)用1.利用焦點弦公式，可以求出直線和圓的交點坐標。例如，求圓x2+y2=4和過點(2,-1)的直線的交點坐標。首先將直線y=2x-5帶入弦長公式，得到：$$|2x-y-1|=2\\sqrt{2}$$化簡可得：$$\\frac{-2-\\sqrt{2}}{2}≤x≤\\frac{2+\\sqrt{2}}{2}$$代入y=2x-5，即可得到交點坐標為:$(\\frac{4-3\\sqrt{2}}{2},-\\sqrt{2}-1),(\\frac{4+3\\sqrt{2}}{2},\\sqrt{2}-1)$2.焦點弦公式也可以用來解決課本上經(jīng)典的相關(guān)公式問題。例如，在$\\triangleABC$的外接圓$O$上，邊$AB$、$AC$的垂直平分線相交于點$M$，垂線$CD$和$BM$相交于點$E$，證明四邊形$ABCE$是平行四邊形。解：因為$\\angleBOC=2\\angleA,\\angleBAC=\\angleBOC/2$，所以$\\angleBAM=\\angleACM=\\angleA$.$AB=AC,r$為外接圓半徑，則$\\angleBEO=\\angleCFO=\\angleOBM+\\angleMBO=180o-2\\angleA$，$EO=\\frac{1}{2}AB\\cdot\\sin2\\angleA=r\\sin2\\angleA$，$CO=2r\\cos\\angleA$。因此，$\\frac{EO}{CO}=\\frac{\\sin2\\angleA}{2\\cos\\angleA}=\\tan\\angleA$，根據(jù)焦點弦公式，易得：$$\\frac{MN}{BM}=\\tan\\angleA$$同時，又因為$MN=AB/2$，所以$BM=2MN\\tan\\angleA=AB$,因此，四邊形$ABCE$是平行四邊形。參考文獻1.焦點弦的長度比[EB/OL]。/zkhd/Article?id=42632718122.高中數(shù)學幾何知識點3-16--