2020版高考數(shù)學(xué)（文）新設(shè)計(jì)一輪復(fù)習(xí)通用版講義第八章第四節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)

第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理?平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥beq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?應(yīng)用判定定理時(shí)，要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個(gè)條件必,須都具備，缺一不可.))2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理?一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥beq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平,面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.,符號(hào)表示：,a?α，b?α，a∩b＝O，a′?β，b′?β，a∥a′，b∥b′?α∥β.))二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn)平面與平面平行的三個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化——功底牢一點(diǎn)eq\a\vs4\al(一判一判)eq\a\vs4\al(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．()(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.()(3)若直線a∥平面α，P∈平面α，則過點(diǎn)P且平行于a的直線有無數(shù)條．()(4)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(5)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(二)選一選1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交 B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交 D．任意一條直線都不相交解析：選D因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此直線a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.2．下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α解析：選DA錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交；D正確，由a∥α，可得a平行于經(jīng)過直線a的平面與α的交線c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b?α，c?α，所以b∥α.3．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)m∥β時(shí)，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥β?/α∥β；當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)任一直線與β平行，因?yàn)閙?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．(三)填一填4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則EF＝________.解析：根據(jù)題意，因?yàn)镋F∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中點(diǎn)，所以F是CD的中點(diǎn)．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq\r(2).答案：eq\r(2)5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是______(填序號(hào))．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：如圖，因?yàn)锳B綊C1D1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形．故AD1∥BC1，從而①正確；易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，從而②正確；由圖易知AD1與DC1異面，故③錯(cuò)誤；因?yàn)锳D1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正確．答案：①②④考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)考法(一)直線與平面平行的判定[典例]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)M，N分別為線段A1B，AC1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面BB1C1C.[證明]如圖，連接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為平行四邊形．又因?yàn)镹為線段AC1的中點(diǎn)，所以A1C與AC1相交于點(diǎn)N，即A1C經(jīng)過點(diǎn)N，且N為線段A1C的中點(diǎn)．因?yàn)镸為線段A1B的中點(diǎn)，所以MN∥BC.又因?yàn)镸N?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例](2018·豫東名校聯(lián)考)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.求證：FG∥平面AA1B1B.[證明]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.因?yàn)锽B1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[解題技法]線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．[題組訓(xùn)練]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A∵若m?α，n?α，且m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α，但若m?α，n?α，且m∥α，則m與n有可能異面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M為PC上一點(diǎn)，且PM＝2MC.求證：BM∥平面PAD.證明：法一：如圖，過點(diǎn)M作MN∥CD交PD于點(diǎn)N，連接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝eq\f(2,3)CD.又AB＝eq\f(2,3)CD，且AB∥CD，∴AB綊MN，∴四邊形ABMN為平行四邊形，∴BM∥AN.又BM?平面PAD，AN?平面PAD，∴BM∥平面PAD.法二：如圖，過點(diǎn)M作MN∥PD交CD于點(diǎn)N，連接BN.∵PM＝2MC，∴DN＝2NC，又AB∥CD，AB＝eq\f(2,3)CD，∴AB綊DN，∴四邊形ABND為平行四邊形，∴BN∥AD.∵BN?平面MBN，MN?平面MBN，BN∩MN＝N，AD?平面PAD，PD?平面PAD，AD∩PD＝D，∴平面MBN∥平面PAD.∵BM?平面MBN，∴BM∥平面PAD.3.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)[典例]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[變透練清]1.eq\a\vs4\al(變結(jié)論)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C，AC1，設(shè)交點(diǎn)為M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵DM?平面A1BD1，A1B?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1?平面AC1D，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)，求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖，連接AE，設(shè)DF與GN的交點(diǎn)為O，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O.連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN.又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.[解題技法]1．判定平面與平面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．2．謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化eq\a\vs4\al(,要證面和面平行，面中找出兩交線；,線面平行若成立，面面平行不用看.)eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])A級(jí)——保大分專練1．已知直線a與直線b平行，直線a與平面α平行，則直線b與α的關(guān)系為()A．平行 B．相交C．直線b在平面α內(nèi) D．平行或直線b在平面α內(nèi)解析：選D依題意，直線a必與平面α內(nèi)的某直線平行，又a∥b，因此直線b與平面α的位置關(guān)系是平行或直線b在平面α內(nèi)．2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線解析：選A當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線，故選A.3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對(duì)角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．在平面內(nèi) D．不能確定解析：選A如圖，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因?yàn)镋F?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.4．(2019·重慶六校聯(lián)考)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析：選D對(duì)于選項(xiàng)A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項(xiàng)A的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)必要條件；同理，選項(xiàng)B、C的內(nèi)容也是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個(gè)平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項(xiàng)D的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件．故選D.5.如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題：①?zèng)]有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由題圖，顯然①是正確的，②是錯(cuò)誤的；對(duì)于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，F(xiàn)G?平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正確的；對(duì)于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選C.6.如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，則eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．設(shè)α，β，γ是三個(gè)平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(填序號(hào))．解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，a?γ時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③.答案：①或③8．在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為________．解析：如圖，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長(zhǎng)為2×4＝8.答案：89.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明：(1)如圖，取B1D1的中點(diǎn)O，連接GO，OB，因?yàn)镺G綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，所以BE綊OG，所以四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥EG，因?yàn)镺B?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(2)由題意可知BD∥B1D1.連接HB，D1F，因?yàn)锽H綊D1F，所以四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.10．(2019·南昌摸底調(diào)研)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，ABM，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P-ABM的體積．解：(1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).B級(jí)——?jiǎng)?chuàng)高分自選1.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝B