2022-2023學(xué)年河北省衡水市第十三中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省衡水市高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合.若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得出，進(jìn)而得出集合B.【詳解】因?yàn)?，所以?則.故選：D2．命題“存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的否定是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根B．對(duì)任意實(shí)數(shù)，都能使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根C．不存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根D．至多有一個(gè)實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項(xiàng).【詳解】存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，所以命題的否定是“對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都能使關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根”.等價(jià)的命題是“不存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”故選：C3．近年來(lái)，“北斗”指路、“天宮”覽勝、“墨子”傳信、“嫦娥”問(wèn)月……中國(guó)航天碩果累累，令國(guó)人備感自豪.這些航天器的發(fā)射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（單位：m/s），是燃料燃燒時(shí)產(chǎn)生的噴氣速度（單位：m/s），是火箭起飛時(shí)的總質(zhì)量（單位：kg），m是火箭自身的質(zhì)量（單位：kg）.小婷同學(xué)所在社團(tuán)向有關(guān)部門(mén)申請(qǐng)，準(zhǔn)備制作一個(gè)試驗(yàn)火箭，得到批準(zhǔn)后，她們利用的某民用燃料燃燒時(shí)產(chǎn)生的噴氣速度為50m/s，火箭自身的質(zhì)量為4kg，燃料的質(zhì)量為5kg，在不計(jì)空氣阻力等因素影響的理想狀態(tài)下發(fā)射，至燃料燃盡時(shí)，該試驗(yàn)火箭的理想速度大約為（

）（，）A．40m/s B．36m/s C．78m/s D．95m/s【答案】A【分析】根據(jù)題中條件確定kg，kg，m/s，按公式直接運(yùn)算即可.【詳解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故選：A.4．已知為第一象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由為第一象限角，，得，故，故.故選：A.5．不論取何值，函數(shù)且且的圖象都必經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)指，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，由條件可知，，.故選：D6．已知函數(shù)，函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性先求出的解析式，再根據(jù)單調(diào)性和一元二次不等式的解法求解不等式.【詳解】由于與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以是的反函數(shù)，即，，原不等式即為，令，則，得或（舍），；故選：B.7．已知函數(shù)的最小正周期為，則下面結(jié)論正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】C【分析】最小正周期為，可求得函數(shù)解析式；再依次將四個(gè)選項(xiàng)代入，與進(jìn)行對(duì)比，得到正確結(jié)果.【詳解】由題意知：

選項(xiàng)和選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.因此，和都錯(cuò)誤；選項(xiàng)：時(shí)，；是的對(duì)稱(chēng)軸，則是的對(duì)稱(chēng)軸.因此，正確；選項(xiàng)：由可知，是對(duì)稱(chēng)軸的位置，則必不是對(duì)稱(chēng)中心.錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查的圖像與性質(zhì)，處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是采用整體代入的方式，將范圍代入函數(shù)，得到整體所處的范圍，進(jìn)而與圖像相對(duì)應(yīng)，確定最終結(jié)果.8．設(shè)，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)比較大小，即可求解.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，是偶函數(shù)，所以，在上遞增，所以，即.故選：D二、多選題9．對(duì)任意實(shí)數(shù)，給出下列命題，其中假命題是（

）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件D．“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充要條件【答案】AC【分析】根據(jù)充分必有條件的定義逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，如果，則必定有，是充分條件，如果，則，得或

，不是必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果，必定有，是必要條件，正確；對(duì)于C，如果，比如，，不能推出，不是充分條件，錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橛欣頂?shù)+無(wú)理數(shù)=無(wú)理數(shù)，有理數(shù)+有理數(shù)=有理數(shù)，5是有理數(shù)，所以“a+5是無(wú)理數(shù)”必定有a是無(wú)理數(shù)，是充分條件，如果“a是無(wú)理數(shù)”則“a+5也是無(wú)理數(shù)”，是必要條件，所以“a+5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件，正確；故選：AC.10．設(shè)為正實(shí)數(shù)，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對(duì)已知等式分解因式，可判斷選項(xiàng)A；舉反例可判斷選項(xiàng)B和C；根據(jù)作差法以及的范圍，可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，若，則，又，所以，所以，故，正確；對(duì)于B，，取，則，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，取，則，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，錯(cuò)誤；故選：BCD．11．已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)的最小值為0【答案】BC【分析】由對(duì)數(shù)性質(zhì)求函數(shù)定義域，再根據(jù)二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性并判斷最值情況，判斷是否相等判斷對(duì)稱(chēng)性.【詳解】由題設(shè)，故，其定義域?yàn)?，令，而遞增，又在上遞增，在上遞減，故在上遞增，在上遞減，且最大值為，無(wú)最小值，所以A、D錯(cuò)誤，B正確；，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C正確.故選：BC12．下列計(jì)算或化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A．若B．若，則C．若，則D．若為第二象限角，則【答案】ABD【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的定義和同角關(guān)系逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，

，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確；故選：ABD.三、填空題13．__________.【答案】【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式計(jì)算.【詳解】；故答案為：.14．已知，則__________.【答案】2【分析】運(yùn)用換底公式計(jì)算.【詳解】由題意：，；故答案為：2.15．直線與函數(shù)的圖像的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為．若在上單調(diào)遞增，則m的最大值為_(kāi)______________．【答案】1【分析】利用三角函數(shù)的圖像的周期性質(zhì)，求出，得到，進(jìn)而求出的范圍，進(jìn)而可求出的范圍.【詳解】因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖像的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為一個(gè)周期，∴，∴，∴．由，得，∴在上單調(diào)遞增，故，解得，又，∴m的最大值為1．故答案為：1四、雙空題16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；若三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為，則的取值范圍是__________.【答案】

【分析】作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍，即可求解的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，觀察圖象知，曲線與直線有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，而曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解，所以方程恰有3個(gè)不等實(shí)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是；如圖，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，由對(duì)稱(chēng)性可知，，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.故答案為：；五、解答題17．(1)設(shè)全集為且解集為，求；(2)求關(guān)于的不等式（其中）的解集.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)條件先求出a，b，再根據(jù)交并補(bǔ)的定義求解；（2）根據(jù)一元二次不等式的解法求解.【詳解】（1）因?yàn)榧螧的解集是，所以是方程的一個(gè)根，即，代入上方程得：，，∴，∵∴；（2），，，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；18．已知函數(shù)（）的最小正周期為，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（1）求和的值；（2）若，為銳角，求的值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）由函數(shù)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解最小正周期，利用周期公式求，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可求（2）由（1）可得的解析式，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式即可求值.【詳解】（1），，，，又，，（2），是銳角，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.19．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求此函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明.【答案】(1)(2)在上的單調(diào)遞減(3)為非奇非偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）令，將所過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即得解析式；（2）令判斷的符號(hào)即可得單調(diào)性；（3）由解析式確定函數(shù)定義域，結(jié)合奇偶性定義即可證奇偶性.【詳解】（1）令，且過(guò)，故，可得，所以.（2）令，則，而，，故，即，所以在上的單調(diào)遞減.（3）為非奇非偶函數(shù)，證明如下：由（1）知：，即定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為非奇非偶函數(shù)，.20．已知函數(shù).(1)化簡(jiǎn)；(2)若角終邊有一點(diǎn)，且，求的值；(3)求函數(shù)在的值域.【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系化簡(jiǎn)；（2）先判斷點(diǎn)P所在的象限，再求m的值；（3）對(duì)作恒等變換，再根據(jù)單調(diào)性求值域；【詳解】（1）；（2），，所以點(diǎn)P在第一或第二象限，又，所以在第一象限，，；（3），當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的值域是；綜上，（1），（2），（3）的值域是.21．某地為響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程．為加強(qiáng)污染治理，某工廠產(chǎn)生的廢氣需經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，已知在過(guò)濾過(guò)程中廢氣中的污染物濃度P（單位：）與過(guò)濾時(shí)間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系式為（為初始濃度，k，均為正常數(shù)）．假設(shè)過(guò)濾過(guò)程中廢氣的體積不變．(1)若，求過(guò)濾2h后污染物的濃度與初始濃度的比值是多少；(2)若排放時(shí)污染物的濃度不超過(guò)初始濃度的4%，前4h的過(guò)濾過(guò)程中污染物已經(jīng)被過(guò)濾掉了80%，求至少還需要過(guò)濾多少小時(shí)才能排放．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意將代入計(jì)算即可得到污染物的濃度與初始濃度的比值；（2）由前4h消除了80%的污染物，可得，再根據(jù)污染物的濃度不超過(guò)初始濃度的4%求得處理的總時(shí)間，可得結(jié)果.【詳解】（1）過(guò)濾2h后，，所以污染物的濃度與初始濃度的比值是；即污染物的濃度與初始濃度的比值是.（2）由題意知，前4h消除了80%的污染物，又因?yàn)?，所以，得．設(shè)廢氣中污染物的濃度為初始濃度的4%時(shí)所需過(guò)濾時(shí)間為，由，即，得，聯(lián)立，得，所以，故至少還需過(guò)濾才能排放．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)真數(shù)部分大于1，解不等式即可；（2）根據(jù)得到關(guān)于x的一元二次方