2023屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三年級下冊學(xué)期第一次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測理科數(shù)學(xué)試題

2023年呼和浩特市高三年級第一次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．3．已知m，n是平面內(nèi)的兩條相交直線，且直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個(gè)面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布．假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，記隨機(jī)購買一個(gè)面包的質(zhì)量為X，若，則買一個(gè)面包的質(zhì)量大于900g的概率為（）（附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；）A．0.84135 B．0.97225 C．0.97725 D．0.998655．已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A．或 B．4 C． D．6．在中，D是BC邊的中點(diǎn)，且，，，則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定7．從5名女生2名男生中任選3人參加學(xué)校組織的演講比賽，則在女生甲被選中的條件下，男生至少一人被選中的概率是（）A． B． C． D．8．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則（）A．2 B．1 C．0 D．9．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，再將所得的圖象向下平移一個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，且的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長6cm的正四面體魔方設(shè)計(jì)一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（）A． B． C． D．11．過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知，，，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答；第22題~第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置．）13．“二進(jìn)制”來源于我國古代的《易經(jīng)》，二進(jìn)制數(shù)由數(shù)字0和1組成，比如：二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制的計(jì)算公式如下，若從二進(jìn)制數(shù)、、、中任選一個(gè)數(shù)字，則二進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)大于2的概率為__________．14．四邊形ABCD為平行四邊形，且，，若，則的值為__________．15．拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)M，若在點(diǎn)M處的切線平行于的一條漸近線，則__________．16．設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)，以P為切點(diǎn)可作直線l與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)b的最大值為__________．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）（Ⅰ）應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？（Ⅱ）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：，，，，，．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率．（Ⅲ）視樣本數(shù)據(jù)的頻率為概率，現(xiàn)從全校取4名學(xué)生，記X為這四名學(xué)生中運(yùn)動時(shí)間超過4小時(shí)的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．18．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E、F、G分別是棱AB、AP、PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面EFG；（Ⅱ）若，，求PD與平面EFG所成角的大小．19．（12分）給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，__________．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）20．（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)A、B是x軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，直線AM、BM分別交橢圓于點(diǎn)P、Q（均不同于M），證明：直線PQ的斜率為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：．請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．22．（10分）選修4--4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心的半圓，曲線是以為圓心的圓，曲線、都過極點(diǎn)O．（Ⅰ）分別寫出半圓和圓的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線與曲線、分別交于M、N兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)O），P為上的動點(diǎn)，求面積的最大值．23．（10分）選修4-5：不等式選講已知．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）記的最小值為m，若，求的最小值．理數(shù)答案一、選擇題題號123456答案ADCCAC題號789101112答案CDBDAA二、填空題題號13141516答案三、解答題17．解：（1）∵男生10500人，女生4500人，∴抽取女生占總?cè)藬?shù)的比例為．又∵分層抽樣收集300位學(xué)生，∴女生樣本數(shù)據(jù)應(yīng)收集為．（2）由頻率分布直方圖可知，學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率為．（3）由（2）可知運(yùn)動時(shí)間超過4小時(shí)的概率，則， ，， ，，則X的分布列為：X01234P且．18．解：（1）證明：方法一：因?yàn)镋、F、G分別是棱AB、AP、PD的中點(diǎn)，所以，，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以，則，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)?，GF，平面EFG，所以平面平面PBC，又平面PBC，所以平面EFG．方法二：取AC的中點(diǎn)H，連接FH，HE，取AC的中點(diǎn)H，連接FH，HE，GH，因?yàn)镋、H分別是棱AB、AC的中點(diǎn)，所以，同理可知，所以，所以E、H、G、F四點(diǎn)共面．同理可知，又平面EFG，平面EFG，所以平面EFG．（2）因?yàn)?，，所以，．又，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，所以，即，取，則，設(shè)與平面EFG所成的角為，則則直線PD與平面EFG的夾角為．19．解：（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得，則，，所以的通項(xiàng)公式為．選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡得，即，解得，則，所以的通項(xiàng)公式為．選③，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項(xiàng)，得，即，則有，化簡得，即，解得，則，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，由（1）知，即有，則，于是，兩式相減得：，因此．20．解：（1）由已知，得①，設(shè)橢圓方程，代入點(diǎn)得②，聯(lián)立①②，解得，，所以橢圓方程為．（2）方法一：由題可知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為．設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立得，，滿足時(shí)，有，，由可得，即，即，化簡得，代入韋達(dá)定理，可得，又點(diǎn)不在直線PQ上，因此，所以，即，故直線PQ的斜率為定值．方法二：令，則，則橢圓方程即橢圓，設(shè)直線PQ的方程為，則，，，聯(lián)立可得，即，即，，即，則．方法三：已知，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線AM的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理知，即，代入直線可得，即點(diǎn)，用替換k可得，則．（注：由其他做法做對可酌情給分）21．解：（1）因?yàn)椋裕O(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)根，；當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，是減函數(shù)；綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)．（2）由題意可得，是的兩個(gè)根，且，，，所以．設(shè)，則，在上為增函數(shù)，且，，所以存在，使得，即，且當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以，故．22．解：（Ⅰ）由題意得，半圓的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為．（注：由其他做法做對可酌情給分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，顯然當(dāng)P點(diǎn)到直線MN的距離最大時(shí)，面積最大．此時(shí)P點(diǎn)為過且與直線JMN垂直的直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)，如圖，設(shè)與直線MN垂直于點(diǎn)H，在中，，∴點(diǎn)