安徽省阜陽市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷 解析版

安徽省阜陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則以下說法錯(cuò)誤的是()A.與相等的向量只有1個(gè)(不含) B.與的模相等的向量有9個(gè)(不含)C.的模恰為的模的倍 D.與不共線【答案】D【解析】由于＝，因此與相等的向量只有，而與的模相等的向量有，，，，，，，，，因此選項(xiàng)A，B正確．∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此選項(xiàng)C正確．由于＝，因此與是共線向量，故選D.2.如圖，在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)．若＝m，＝n，其中m，n為實(shí)數(shù)，則m＋n等于()A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】如圖，連接AO，由O為BC中點(diǎn)可得，＝(＋)＝＋.∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1，∴m＋n＝2.3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，則·＝()A. B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】＝－＝2－，·＝·(2－)＝2·－·＝2||||cos∠OAE－||·||cos∠BAE＝2||2－||2＝||2＝2＝3.故選B.4.已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－3b－4a|＝1，則|c|的取值范圍為()A.[－1，＋1] B.[1，＋1] C.[5,6] D.[4,6]【答案】D【解析】令＝a，＝b，＝3b＋4a，＝c，根據(jù)題意作出圖象，如圖所示，則||＝5.又|c－3b－4a|＝1，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心，半徑為1的圓上，易知點(diǎn)C與O，D共線時(shí)||取到最值，最大值為5＋1，最小值為5－1，所以|c|的取值范圍為[4,6]．5.已知三個(gè)力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3,2)，F(xiàn)3＝(4，－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力F4，則F4等于()A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1,2) D.(1,2)【答案】D【解析】為使物體平衡，則合力為零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．6.坐標(biāo)平面內(nèi)一只小螞蟻以速度v＝(1，2)從點(diǎn)A(4，6)處移動(dòng)到點(diǎn)B(7，12)處，其所用時(shí)間長(zhǎng)短為()A.2 B.3 C.4 D.8【答案】B【解析】由題意可知，v＝(1，2)，＝(3，6)，則|v|＝＝，||＝＝3，故所用時(shí)間t＝＝＝3.7.在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，則AC＝()A. B.5 C. D.6【答案】B【解析】在△ABC中，C＝，AB＝7，BC＝3，如圖所示：由余弦定理得72＝AC2＋32－2·3·AC·cos，整理得AC2＋3·AC－40＝0，解得AC＝5或AC＝－8(不合題意，舍去)，所以AC＝5.8.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為()A.43 B.1+3 C.1 D.【答案】A【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及C=60°,得c2=a2+b2-ab,因?yàn)?a+b)2-c2=4,所以a2+b2-c2+2ab=4,得ab=43二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，則下列敘述中不正確的是()A.存在實(shí)數(shù)x，使a∥b B.存在實(shí)數(shù)x，使(a＋b)∥aC.存在實(shí)數(shù)x，m，使(ma＋b)∥a D.存在實(shí)數(shù)x，m，使(ma＋b)∥b【答案】ABC【解析】只有D正確，可令m＝0，則ma＋b＝b，無論x為何值，都有b∥b.10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinB＝bcosA，a＝3.若點(diǎn)D在邊BC上，且BD＝2DC，O是△ABC的外心，則下列判斷正確的是()A.A＝30° B.△ABC的外接圓半徑為C.OD＝1 D.AD的最大值為2【答案】BC【解析】對(duì)于A，在△ABC中，A，B，C為其內(nèi)角，∵asinB＝bcosA，∴sinAsinB＝sinBcosA，又sinB>0，∴tanA＝，A＝60°，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵a＝3，∴＝2R＝＝2(R為△ABC外接圓的半徑)，故R＝，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，取BC的中點(diǎn)M，連接OM，如圖所示，在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝，由已知得BC＝3且BD＝2DC，故BD＝2，在Rt△DOM中，DM＝BD－BM＝，OD＝＝＝1，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，∵AD≤AO＋OD＝R＋OD＝＋1，當(dāng)且僅當(dāng)圓心O在AD上時(shí)取等號(hào)，∴AD的最大值為＋1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選BC.11.如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.AC＝AD＋AB B.MC＝AC＋BCC.MN＝AD＋AB D.BC＝AD－AB【答案】ABD【解析】AC＝AD＋DC＝AD＋AB，A正確；MC＝MA＋AC＝BA＋AC＝(BC-AC)＋AC＝AC＋BC，B正確；MN＝MA＋AD＋DN＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，C錯(cuò)誤；BC＝＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，D正確．12.如圖，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100千米/時(shí)的速度向東勻速行駛，汽車開動(dòng)時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500千米且與海岸距離MQ為300千米的海上M處有一快艇，與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問快艇至少以下哪個(gè)速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中．()A.40 B.50 C.60 D.70【答案】CD【解析】設(shè)快艇從M處以v千米/時(shí)的速度出發(fā)，沿MN方向航行，t小時(shí)后與汽車相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt.設(shè)∠MON＝α，由題意，知sinα＝QMOM＝，則cosα＝.由余弦定理，知MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×.整理，得v2＝(500×1t當(dāng)1t＝，即t＝時(shí)，v＝3600，所以vmin＝60，即快艇至少須以60千米/時(shí)的速度行駛，故選CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13.若正三角形ABC按如圖所示的方式放置，AB＝4，點(diǎn)A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動(dòng)，則·的最大值是________．【答案】12【解析】設(shè)∠OAB＝θ，θ∈，則A(4cosθ，0)，C，所以·＝4cosθ·＝4cosθ(2cosθ＋2sinθ)＝8cos2θ＋8sinθcosθ＝4cos2θ＋4＋4sin2θ＝8sin＋4，θ∈，故當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，·有最大值12.14.已知向量a,b是兩個(gè)不共線的向量,且向量ma-3b與a+(2-m)b共線,則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】-1或3【解析】因?yàn)橄蛄縨a-3b與a+(2-m)b共線,所以ma-3b=λ[a+(2-m)b].又因?yàn)橄蛄縜,b是兩個(gè)不共線的向量,所以m=λ且-3=λ(2-m),解得m=-1或m=3.15.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________.【答案】∪【解析】由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).又2a－3b與c的夾角為鈍角，∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6<0，得k<3，若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－.當(dāng)k＝－時(shí)，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，此時(shí)2a－3b與c共線且反向，不合題意.綜上，k的取值范圍為∪.16.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，則角B的大小是________.【答案】【解析】因?yàn)閍2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理的推論得cosB＝＝＝，由B∈(0，π)，知B＝.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上．若＝＋λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【答案】解由題意知，DC＝AB－BCcos30°＝.∵＝＋λ，∴－＝λ，即＝λ，∴λ＝.又0≤||≤，||＝2，∴0≤λ≤.綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.18.（12分）如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝c.(1)用a，c表示向量；(2)若點(diǎn)F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.【答案】解(1)因?yàn)椋剑絚－a，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以＝＝(c－a)，因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.(2)設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又＝a＋c，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.19.（12分）已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)試計(jì)算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a與b夾角的余弦值.【答案】解(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝＝＝.(2)設(shè)a，b的夾角為θ，由a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝＝＝.20.（12分）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且bsinA=3acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【答案】解(1)∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB.∵A為△ABC的內(nèi)角,∴sinA>0,∴tanB=3,∵0<B<π,∴B=π3(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.由(1)知B=π3,∵b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12=∴a=3,c=23.21.（12分）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？【答案】解設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S＝＝900t2