自動(dòng)控制理論第三章 線性時(shí)域

自動(dòng)控制理論第三章線性時(shí)域1第1頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一.控制系統(tǒng)的分析方法

分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，第二步分析控制性能，就是采用各種分析方法對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。分析方法主要有時(shí)域分析法，頻域分析法，根軌跡法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對(duì)象。本章先討論時(shí)域法。3.1緒言2第2頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日控制系統(tǒng)的時(shí)域分析——對(duì)系統(tǒng)外施一給定輸入信號(hào)，通過(guò)研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)時(shí)間（時(shí)域）響應(yīng)——控制系統(tǒng)在某一個(gè)輸入信號(hào)作用下，其輸出隨時(shí)間變化的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的微分方程的解。3第3頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

二.線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法內(nèi)容線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法典型輸入信號(hào)線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算一、二階暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分析4第4頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的自動(dòng)控制的例子。3.2典型輸入信號(hào)

Typicaltestsignals在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)各種控制系統(tǒng)性能要有評(píng)判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)也許可以通過(guò)對(duì)這些系統(tǒng)加上各種輸入信號(hào)，比較它們對(duì)特定的輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)建立。許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對(duì)初始條件變化（無(wú)任何試驗(yàn)信號(hào)）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系，所以采用試驗(yàn)信號(hào)即典型輸入信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。5第5頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日作為典型的外部輸入信號(hào)，其具備的基本特點(diǎn)是：在實(shí)際工作現(xiàn)場(chǎng)或?qū)嶒?yàn)室中，這種外作用信號(hào)容易產(chǎn)生。在典型的外部信號(hào)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)能夠反映出該控制系統(tǒng)在實(shí)際工作中的確定性能。選擇的外部作用信號(hào)其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，便于進(jìn)行理論計(jì)算。常用的典型輸入信號(hào)有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，輸出響應(yīng)除與數(shù)學(xué)模型有關(guān)外，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號(hào)的形式有關(guān)。

在實(shí)際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)是多種多樣的。為便于分析和設(shè)計(jì)，常采用典型的輸入信號(hào)——數(shù)學(xué)處理系統(tǒng)化，推知復(fù)雜輸入下的系統(tǒng)性能。6第6頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號(hào)，這樣可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。這一章僅討論系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)，也就是時(shí)域響應(yīng)。（對(duì)正弦試驗(yàn)信號(hào)將在第五章頻域分析法、第六章校正方法中討論）

定義為：式中A為常量。A=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）如圖3-1所示。一、階躍函數(shù)7第7頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

定義：

式中A為常量。當(dāng)A=1時(shí),稱為單位斜坡函數(shù),記為t·1（t），如圖3-2所示。

它等于對(duì)單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分。即斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是階躍函數(shù)。單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

R(S)=L[r(t)]=1/s2(3-4)

如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時(shí)間函數(shù)是比較合適的。所以在分析隨動(dòng)系統(tǒng)時(shí)常用斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)。二、斜坡函數(shù)8第8頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

定義為：

式中A為常量。當(dāng)A=1時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)，記為如圖3-3所示。它等于單位斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分。即單位拋物線函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是單位斜坡函數(shù)。其拉氏變換為：三、拋物線函數(shù)9第9頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日定義為：脈沖函數(shù)如圖3-4所示,令0,則稱為單位脈沖函數(shù),記為（t）,見(jiàn)圖3-4（b）,有單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

四、脈沖函數(shù)10第10頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日定義為：

式中,A為振幅；ω為角頻率。用頻率不同的正弦函數(shù)作為輸入信號(hào)，可求得系統(tǒng)此時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在頻率法中廣泛使用。五、正弦函數(shù)11第11頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如系統(tǒng)的輸入為r（t），輸出為c（t），則用以下常微分方程描述其運(yùn)動(dòng)行為:由:可得式中Si——G(S)的極點(diǎn)；Sk——R(S)的極點(diǎn)。一.線性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)3.3控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)12第12頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如果Si和Sk都是互異極點(diǎn)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為式中Ak，Bk——常數(shù)。

由于

si只是G（s）的極點(diǎn)，所以式（3-14）等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)與輸入無(wú)關(guān)，即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)響應(yīng)分量。sk只與外部輸入r（t）有關(guān)，所以式（3-14）等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

可從暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中求取系統(tǒng)的性能指標(biāo)。13第13頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.瞬時(shí)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)TransientResponse&Steady_stateResponse在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可分解為瞬態(tài)響應(yīng)（暫態(tài)響應(yīng)、暫態(tài)分量）和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)分量）二.動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程瞬態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)t趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。或者說(shuō)在相應(yīng)輸入作用下系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)衰減到零之后的響應(yīng)。14第14頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日AbsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError

在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動(dòng)態(tài)特性中，最重要的是絕對(duì)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的（指穩(wěn)定的條件）。如果控制系統(tǒng)沒(méi)有受到任何擾動(dòng)或輸入信號(hào)的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定常控制系統(tǒng)受到擾動(dòng)量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過(guò)程或輸出量無(wú)限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。

2.絕對(duì)穩(wěn)定性、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差15第15頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

3.系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果，實(shí)際上，物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械制動(dòng)裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過(guò)一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，而使線性微分方程不再適用。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在第七章討論。

4.相對(duì)穩(wěn)定性：因?yàn)槲锢砜刂葡到y(tǒng)包含有一些貯能元件，所以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程。對(duì)于實(shí)際控制系統(tǒng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應(yīng)，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程——稱動(dòng)態(tài)過(guò)程。相對(duì)穩(wěn)定性是度量系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。如Mp、ts、Kg、γ等。5.穩(wěn)態(tài)誤差：如果在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認(rèn)為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個(gè)誤差表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。16第16頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對(duì)輸入信號(hào)跟蹤的誤差大小。在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時(shí)域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，指系統(tǒng)在初使條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0），對(duì)（單位）階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程，為了說(shuō)明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用下列一些性能指標(biāo)。17第17頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

延遲時(shí)間td（DelayTime）響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到超調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。上升時(shí)間tr（RiseTime）響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。18第18頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日σ%評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。tr或tp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；ts同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)表示（通常取5%或2%）⑤超調(diào)量Mp（MaximumOvershoot）指響應(yīng)的輸出超過(guò)對(duì)應(yīng)輸入的終值的最大偏移。常用最大超調(diào)百分?jǐn)?shù)表示：即

19第19頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.4控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)一、一階系統(tǒng)的時(shí)域分析二、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析三、高階系統(tǒng)的時(shí)域分析20第20頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一階系統(tǒng)的方框圖如右系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析系統(tǒng)在零初始條件下的時(shí)域響應(yīng)。用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。21第21頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日22第22頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日１．單位階躍響應(yīng)（Unit-StepResponseofFirst-orderSystem）因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為：一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條指數(shù)曲線，它的特點(diǎn)是：23第23頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（１）在t=0處，曲線的斜率為（２）t=時(shí)，曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%；（３）t=時(shí)，輸出達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%，t=可見(jiàn)一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，，響應(yīng)快。

當(dāng)系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%時(shí)，我們認(rèn)為系統(tǒng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間稱為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，對(duì)于一階系統(tǒng)，響應(yīng)時(shí)間為。由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：0.63224第24頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日２．單位斜坡響應(yīng)(Unit-rampResponseoffirst-orderSystems)輸出與輸入的誤差為當(dāng)時(shí)，越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小25第25頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日３．單位脈沖響應(yīng)(Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems)也可直接由單位階躍響應(yīng)的求導(dǎo)得出上式結(jié)果一階系統(tǒng)的特征可用一個(gè)參量—時(shí)間常數(shù)來(lái)表示．26第26頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日①響應(yīng)時(shí)間為（３～４）②t=0時(shí)，單位階躍響應(yīng)的變化率為

t=0時(shí)，單位脈沖響應(yīng)的幅值為③單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)可以看出，系統(tǒng)對(duì)某信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)．反之，系統(tǒng)對(duì)某信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)不同于線性時(shí)變化系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的重要特性。27第27頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。表：一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)4一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)28第28頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日表1:一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)輸入信號(hào)時(shí)域輸入信號(hào)頻域輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t微分微分等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。29第29頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)二階系統(tǒng)：凡以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。

在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)，雖然實(shí)際中的系統(tǒng)不盡是二階系統(tǒng)，但高階系統(tǒng)常可以用二階系統(tǒng)近似。因此對(duì)二階系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)討論。1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型30第30頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)令則

上式為典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)的方塊圖如上圖所示。其動(dòng)態(tài)特性，可以用和加以描述?！枘岜然蛩p系數(shù)—無(wú)阻尼自然振蕩角頻率

二階系統(tǒng)的特征方程：

由系統(tǒng)的特征方程不難求出閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為：31第31頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日所以，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布為：兩個(gè)正實(shí)部的特征根,發(fā)散，閉環(huán)極點(diǎn)為共扼復(fù)數(shù)根，位于左半S平面，欠阻尼系統(tǒng)，為兩個(gè)相等的根，臨界阻尼系統(tǒng)，兩個(gè)不相等的實(shí)根，過(guò)阻尼系統(tǒng)，在虛軸上，瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷?2第32頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(Unit-StepResponseofSecond-OrderSystems)二階系統(tǒng)的響應(yīng)分三種情況討論．（１）過(guò)阻尼（）的情況閉環(huán)極點(diǎn)為∵S1、S2是小于零的兩個(gè)實(shí)根．33第33頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可求得如下：按不同極點(diǎn)的情況求系數(shù)=134第34頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)求拉氏的反變換，得

可見(jiàn)，單位階躍響應(yīng)有穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)刹糠智€，而暫態(tài)分量包含兩項(xiàng)衰減的指數(shù)項(xiàng)．比較兩項(xiàng)的衰減指數(shù)，當(dāng)

?１時(shí)，后一項(xiàng)的衰減指數(shù)遠(yuǎn)大于前一項(xiàng)，就是后一項(xiàng)衰減得很快，只在響應(yīng)的初期有影響。所以對(duì)過(guò)阻尼二階系統(tǒng)，當(dāng)?１時(shí)，可以近似為一階系統(tǒng)，將后一項(xiàng)忽略。得到近似傳遞函數(shù)：35第35頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的系統(tǒng)的響應(yīng)近似傳函與原傳函的初始值和終值保持不變。系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為

在工程上，當(dāng)時(shí)，使用上述近似關(guān)系已有足夠的準(zhǔn)確度了．此時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)近似為具有時(shí)間常數(shù)為：的一階系統(tǒng)或36第36頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）臨界阻尼的情況當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)的拉氏變換為求其拉氏反變換，得此時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升曲線。與過(guò)阻尼一樣，無(wú)超調(diào)，但它是這一類響應(yīng)中最快的，調(diào)節(jié)時(shí)間為：

二階系統(tǒng)的系統(tǒng)的響應(yīng)ts≈4.7(取△=5％)37第37頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的系統(tǒng)的響應(yīng)（3）欠阻尼的情況系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)部極點(diǎn)為負(fù)所以位于左半Ｓ平面。單位階躍輸入時(shí)，輸出的拉氏變換為：38第38頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的系統(tǒng)的響應(yīng)查拉氏變換表，可求得：

欠阻尼時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，其振蕩頻率為:稱為阻尼自然振蕩頻率。阻尼角39第39頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日時(shí)單位階躍響應(yīng)40第40頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日是無(wú)阻尼等幅振蕩，為系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率。

這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定

－故稱為無(wú)阻尼振蕩頻率。41第41頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二階系統(tǒng)的系統(tǒng)的響應(yīng)二階系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)和，阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，不同阻尼比的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大區(qū)別。取橫坐標(biāo)為，不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族如圖所示：42第42頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從圖可見(jiàn)：（１）越小，振蕩越厲害，當(dāng)增大到１以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（２）之間時(shí)，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。（３）在無(wú)振蕩時(shí)，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。（４）過(guò)阻尼系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)。

43第43頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日不同時(shí)典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在S平面上的位置及單位階躍響應(yīng)曲線。44第44頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)

二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無(wú)阻尼自然振蕩角頻率對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響。現(xiàn)在針對(duì)欠阻尼的情況，討論暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。欠阻尼時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（＊）45第45頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（1）上升時(shí)間

在暫態(tài)過(guò)程中，第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間．在（＊）式中令c(t)=1，可得46第46頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

因?yàn)樯仙龝r(shí)間是第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取n=1,于是（2）峰值時(shí)間

響應(yīng)由零上升到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間．對(duì)（＊）求一階系數(shù)，并令其為零，得一定，

響應(yīng)速度越快47第47頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日移項(xiàng)并約去公因子后得到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)，從而得48第48頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）最大超調(diào)量最大超調(diào)量發(fā)生在時(shí)刻，將代入（＊）式，便得從上式可見(jiàn)，完全由決定，（%）=———————C（t）max–C（∞）C（∞）X100%49第49頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（4）調(diào)整時(shí)間與穩(wěn)態(tài)值之間的差值達(dá)到允許范圍（?。担セ颍玻ィr(shí)的暫態(tài)過(guò)程時(shí)間．滿足上式的值有多個(gè)，按定義，其中最大的值是調(diào)整時(shí)間為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，采用近似的計(jì)算方法，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05或0.02時(shí)，暫態(tài)過(guò)程結(jié)束，因此忽略正弦函數(shù)的影響，得到50第50頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

由此可求得(當(dāng)0＜＜0.8)近似與成反比．在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的決定，所以由所決定．由圖可見(jiàn),當(dāng)=0.68時(shí),

為最小.設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí),一般取=0.707為最佳阻尼比,此時(shí)不但

最小,而且也不大.最小值不應(yīng)低于0.551第51頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日結(jié)論：（１）根據(jù)值的大小可以間接判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性．，單位階躍響應(yīng)為單調(diào)曲線，沒(méi)有超調(diào)和振蕩，但調(diào)整時(shí)間較長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩．，響應(yīng)為單調(diào)曲線，調(diào)整時(shí)間比的情況短．，輸出為等幅振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。一般希望二階系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)下，但不能過(guò)小，否則大，短，為了限制超調(diào)量，應(yīng)在0.4～0.8之間，這時(shí)超調(diào)量將在25%~2.5%之間．52第52頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因?yàn)橹缓陀嘘P(guān)，常根據(jù)允許的來(lái)選擇（２）以閉環(huán)極點(diǎn)在Ｓ平面上的位置可以大致估計(jì)和的大小．與閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離成反比．可近似地認(rèn)為與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比．在一定時(shí)，可通過(guò)改變來(lái)改變，越大，越短．53第53頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為確定系統(tǒng)的和，并求最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間解：因?yàn)榭傻?4第54頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例:設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如3-26圖所示，當(dāng)有單位階躍信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)tr、tp、ts和%。解求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：55第55頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：如3-27圖所示的單位反饋隨動(dòng)系統(tǒng)，K=16s-1,T=0.25s,試求：（1）特征參數(shù)和n；（2）計(jì)算%和ts;（3)若要求%=16%，當(dāng)T不變時(shí)K應(yīng)當(dāng)取何值？解（1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：因此有：(2)則56第56頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）為使%=16%，由式得=0.5,當(dāng)T=0.25不變時(shí)，因則有或57第57頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日課堂測(cè)驗(yàn)

1.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。已知一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

今欲采用加負(fù)反饋的辦法，將過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts減小為原來(lái)的0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)kh和K0的數(shù)值。

K0G(S)KhR(S)C(S)-58第58頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.如圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與其單位階躍響應(yīng),試確定k1、k2及α的值。K2s(s+

α)k1R(S)C(S)t

00.82.182.0c(t)-作業(yè)P1133-53-73-103-1159第59頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4．二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)通過(guò)對(duì)單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)可得到單位脈沖響應(yīng)或?qū)ο到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接進(jìn)行拉氏反變換，得不同值時(shí)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)60第60頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日結(jié)論：（1）如果脈沖響應(yīng)ｇ(t)不改變符號(hào)，則系統(tǒng)的≥1，即為臨界阻尼或過(guò)阻尼；

（2）欠阻尼時(shí)，響應(yīng)曲線圍繞零值振蕩．（3）單位脈沖響應(yīng)曲線第一次與時(shí)間軸交點(diǎn)的時(shí)間為峰值時(shí)間tp（4）單位脈沖響應(yīng)曲線與時(shí)間軸包圍的面積代數(shù)和為1。61第61頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(1)在典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，構(gòu)成一類具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。它的階躍響應(yīng)與典型二階系統(tǒng)明顯不同。此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：寫成零、極點(diǎn)形式時(shí)：設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c1(t)，c2(t)為增加零點(diǎn)引起的響應(yīng)分量,則上述具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)c(t)與c1(t)、c2(t)具有以下關(guān)系：求拉氏反變換，得：5.具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)分析62第62頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日為定量說(shuō)明引入的零點(diǎn)對(duì)典型二階系統(tǒng)性能的影響，引入不同α?xí)r的單位階躍響應(yīng)曲線%與α的關(guān)系63第63頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日幾點(diǎn)結(jié)論：當(dāng)其它條件不變時(shí)，附加一個(gè)零點(diǎn)，將使%增大，tr和tp減小;

α減小時(shí)，明顯加大上述影響；

α加大時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的影響變小，增大到一定程度時(shí)，可以忽略該零點(diǎn)的影響；采用在系統(tǒng)閉環(huán)外增加一階微分環(huán)節(jié)的方法實(shí)現(xiàn)附加零點(diǎn)，該方法不改變?cè)到y(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。64第64頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）微分順饋--另一類增加零點(diǎn)的方法本方法在增加一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)的同時(shí)，也改變了原系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。方框圖如下圖所示：

加入微分順饋后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：65第65頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日無(wú)阻尼振蕩角頻率和阻尼比分別為：結(jié)論：附加這類零點(diǎn)可引起阻尼比增大?？梢?jiàn)，引入微分順饋后將使超調(diào)量%減小，調(diào)節(jié)時(shí)間也有所減小，因此使系統(tǒng)暫態(tài)性能得到改善。66第66頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高冪次n>2.高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為或67第67頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)拉氏變換式為：

從上式可見(jiàn)，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)蓚€(gè)部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成．對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得68第68頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日１.高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)決定。系統(tǒng)極點(diǎn)在Ｓ左半平面離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)的分量衰減的越快。２.各暫態(tài)分量的系數(shù)還和零點(diǎn)的位置有關(guān)。若一對(duì)零、極點(diǎn)很靠近，則該極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響很小（此時(shí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)很?。Ｈ裟硞€(gè)極點(diǎn)附近沒(méi)有零點(diǎn)，且距離原點(diǎn)較近，則就大，對(duì)暫態(tài)分量的影響就大。由于以上兩點(diǎn)，對(duì)于系數(shù)很小的分量和衰減很快的分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響應(yīng)。這就是合理的簡(jiǎn)化，既不改變問(wèn)題的性質(zhì)，又使處理過(guò)程簡(jiǎn)單。69第69頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日３.如果高階系統(tǒng)中距虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部比其他極點(diǎn)實(shí)部小5倍以上，并且附近不存在零點(diǎn)．可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定．這些對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)．如果能找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)就可近似地作為二階系統(tǒng)分析。70第70頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定是一個(gè)控制系統(tǒng)能否在實(shí)際中投入使用的首要條件。系統(tǒng)穩(wěn)定性：如系統(tǒng)處于初始平衡狀態(tài)，在受到外界擾動(dòng)作用后，將會(huì)偏離該平衡狀態(tài)。如果該擾動(dòng)作用消失后，若系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定情況：離初始狀態(tài)越來(lái)越遠(yuǎn)；達(dá)到另一個(gè)平衡狀態(tài)。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù)71第71頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:根據(jù)穩(wěn)定性定義，系統(tǒng)穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)決定于系統(tǒng)響應(yīng)中的暫態(tài)分量。而暫態(tài)分量與系統(tǒng)的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān)，與外作用無(wú)關(guān)，因此，分析系統(tǒng)響應(yīng)中暫態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式，即可找出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。72第72頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)線性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：為闡述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)前述特征方程不存在重極點(diǎn)（對(duì)有重極點(diǎn)的情況，以下結(jié)論也是成立的），則在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量為：從c1(t)的表達(dá)式可知，只有當(dāng)特征方程的所有根（閉環(huán)極點(diǎn)）都具有負(fù)的實(shí)部時(shí)，隨著時(shí)間的推移，

c1(t)才能趨于零，即回到初始狀態(tài)。73第73頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)特征方程的所有根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)）均具有負(fù)的實(shí)部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。根據(jù)充要條件，如果能將系統(tǒng)所有極點(diǎn)求出，即可立即判斷穩(wěn)定性。但系統(tǒng)階次較高時(shí)，所有極點(diǎn)不易求出。74第74頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.系統(tǒng)特征方程如下：

利用特征方程的系數(shù)構(gòu)成勞斯表：表中，除第一、二行外需要按照下列規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。英國(guó)人E.J.勞斯提出一種代數(shù)判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)來(lái)直接判斷特征根的實(shí)數(shù)部分的符號(hào)，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。三、勞斯判據(jù)75第75頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

勞斯判據(jù)：(ai>0)

勞斯表中第一列的所有計(jì)算值均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，如果第一列中出現(xiàn)小于或等于零的數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且第一列各系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，等于特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。

注意：勞斯表的每一行右邊要計(jì)算到出現(xiàn)零為止；總行數(shù)應(yīng)為n+1;如果計(jì)算過(guò)程無(wú)誤，最后一行應(yīng)只有一個(gè)數(shù)，且等于an；可用一個(gè)正整數(shù)去乘或除勞斯表中的任意一行，不改變判斷結(jié)果。76第76頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1：系統(tǒng)特征方程為s4＋2s3＋3s2＋4s＋5=0，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，故特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。如題意只要求判別穩(wěn)定性,則計(jì)算至出現(xiàn)符號(hào)改變即可結(jié)束。否則應(yīng)計(jì)算到n+1行。解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表例題177第77頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2：某系統(tǒng)特征方程為s4＋3s3＋3s2＋2s＋2=O，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，故特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。例題278第78頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

特殊情況一：勞斯表的某一行中，出現(xiàn)第一列為零，而其他各項(xiàng)不全為零。這時(shí)可用一個(gè)足夠小的正數(shù)代替為零的項(xiàng)，然后繼續(xù)計(jì)算勞斯表余下系數(shù)。如果上面一行的系數(shù)符號(hào)與下面一行的系數(shù)符號(hào)相反，表明有一個(gè)符號(hào)變化。

例3:系統(tǒng)的特征方程為s4＋2s3+s2+2s＋1=0,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

當(dāng)0時(shí)，是一個(gè)很大的負(fù)數(shù)．因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的符號(hào)改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的．2.兩種特殊情況解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表79第79頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例3:系統(tǒng)的特征方程為s4＋2s3+s2+2s＋1=0,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

當(dāng)時(shí)，是一個(gè)很大的負(fù)數(shù)．因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的符號(hào)改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的．解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表80第80頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日這時(shí)可將不為零的最后一行(即全為零行的上一行)的各項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式。用對(duì)輔助多項(xiàng)式各項(xiàng)對(duì)s求導(dǎo)后所得的系數(shù)代替全部為零的行的各項(xiàng)，繼續(xù)計(jì)算余下各行。特殊情況二：計(jì)算勞斯表時(shí),某一行各項(xiàng)全為零。

這表明特征方程具有對(duì)稱于原點(diǎn)的根。這些對(duì)稱于原點(diǎn)的根可由令輔助多項(xiàng)式等于零構(gòu)成的輔助方程求得81第81頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3:系統(tǒng)特征方程為s5＋s4十3s3十3s2＋2s＋2=0，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解:列勞斯表構(gòu)成輔助方程：

Q（s）=S4＋3S2＋2=0求導(dǎo)后得4S3十6S=0，用其系數(shù)構(gòu)成全為零的行，繼續(xù)計(jì)算余下各行例題382第82頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，但第一列元素未改變符號(hào)，所以系統(tǒng)沒(méi)有位于S右半平面的根，有位于虛軸上的根。虛軸上根的求取由輔助方程求得

S4＋3s2＋2=0則有（S2＋1）（S2＋2）=0故S1、2=±j

S3、4=±j

83第83頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4：已知系統(tǒng)特征方程，判斷穩(wěn)定性解：列勞斯表為：將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)作為

行的元素，并往下計(jì)算各行，得：例題484第84頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日勞斯表的第一列各項(xiàng)符號(hào)沒(méi)有改變，因此系統(tǒng)在右半Ｓ平面沒(méi)有極點(diǎn)．但由于S3行的各項(xiàng)為零，說(shuō)明有共軛虛數(shù)極點(diǎn)。可由輔助方程求出。解得85第85頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由赫爾維茨1895年提出的常用代數(shù)判據(jù)。設(shè)系統(tǒng)特征方程為：

用特征方程的系數(shù)構(gòu)成赫爾維茨行列式：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：在a0＞0的情況下，赫爾維茨行列式的各階主子式均大于零，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。四、赫爾維茨（Hurwitz）判據(jù)86第86頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(林納德----奇帕特證明的推論：在ai＞0的條件下,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：所有奇數(shù)次赫爾維茨行列式均大于零,或者是所有偶數(shù)次赫爾維茨行列式均大于零。)

對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)來(lái)說(shuō)要求87第87頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例5:系統(tǒng)特征方程為S4＋2S3＋8S2十4S十2=0，試判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定

解因ai＞0，故可使用林納德---奇帕特證明的推論進(jìn)行判斷。因?yàn)楣氏到y(tǒng)穩(wěn)定例題588第88頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1．判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性2．分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性影響利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以確定個(gè)別參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。例6:設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-6所示，試確定滿足穩(wěn)定要求時(shí)K1的臨界值和開(kāi)環(huán)放大系數(shù)的穩(wěn)定臨界值Kc。五、穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用89第89頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方稱為：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有（1）K1>0（2）a1a2-a0a3>0,得K1<6

綜合考慮，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍應(yīng)為：0<K1<6

開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)的臨界值：Kc=3例題690第90頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，即檢驗(yàn)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，采用以下方法

（1）判斷原系統(tǒng)是否穩(wěn)定。只有原系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),才有檢驗(yàn)穩(wěn)定裕度的必要。3．檢驗(yàn)穩(wěn)定裕量（3）利用代數(shù)判據(jù)對(duì)新的特征方程進(jìn)行穩(wěn)定性判別。如新系統(tǒng)穩(wěn)定,則說(shuō)明原系統(tǒng)特征方程所有根均在新虛軸之左,原系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量。否則,不具有穩(wěn)定裕量（2）將s平面的虛軸向左移動(dòng)某個(gè)數(shù)值,即令s=z-(為正實(shí)數(shù)）,代入系統(tǒng)特征方程,則得到關(guān)于z的特征方程。91第91頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日主頁(yè)（3）利用勞斯判據(jù)對(duì)新系統(tǒng)進(jìn)行判斷,第一列符號(hào)變化一次,系統(tǒng)不穩(wěn)定。原系統(tǒng)達(dá)不到=1的穩(wěn)定裕度。例7:系統(tǒng)特征方程為2s3＋10s2＋13s＋4=0，設(shè)=1，試檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。解（1）首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。所有系數(shù)均大于零；且D2=a1a2-a0a3>0,系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）令s=z-=z-1,代入特征方程得：2z3+4z2-z-1=0，

例題792第92頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日１．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半

Ｓ平面．２．勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。３．勞斯判據(jù)沒(méi)有也不能說(shuō)明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)該爭(zhēng)取的校正途徑．小結(jié)93第93頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)兩部分組成。我們?cè)?jīng)規(guī)定了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)?，F(xiàn)在要討論系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的精確度或抑制干擾信號(hào)的能力。從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)態(tài)誤差反映了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。

因此穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項(xiàng)基本內(nèi)容。我們不考慮由于元件的不靈敏，零點(diǎn)漂移和老化所造成的永久性誤差。穩(wěn)態(tài)誤差只與輸入信號(hào)的形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān)。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差94第94頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、穩(wěn)態(tài)誤差和誤差傳遞函數(shù)

系統(tǒng)誤差：指系統(tǒng)響應(yīng)的期望值Co（t）和實(shí)際值C（t）之差，即

(t)=Co（t）-

C（t）

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)t時(shí)系統(tǒng)誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，用ess表示，即

95第95頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日穩(wěn)態(tài)誤差是在初始平衡條件下加入輸入信號(hào)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，其暫態(tài)響應(yīng)部分已經(jīng)衰減到微不足道時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差。因此，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，討論穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。

單位反饋系統(tǒng)圖3-7（a圖）偏差e(t)：e(t)=r(t)-c(t)=co(t)-c(t),即偏差e(t)等于誤差(t)

，偏差的穩(wěn)態(tài)值等于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。96第96頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日非單位反饋系統(tǒng)圖3-7（b圖）偏差e(t)：

e(t)=r(t)-b(t)，與誤差

(t)=c0(t)-c(t)不相等，但具有確定的關(guān)系：故在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析中，通常使用偏差代替誤差進(jìn)行研究，即用

表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的一般計(jì)算式：圖3-7（b圖）97第97頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

誤差及穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)和輸入信號(hào)R(s)有關(guān)。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)記為穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算式為表明，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素有開(kāi)環(huán)增益、輸入信號(hào)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。因此按系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類，即當(dāng)

=0，1，2，…時(shí)，分別稱相應(yīng)系統(tǒng)為0型，I型，II型，…型系統(tǒng)。98第98頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1．階躍輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp設(shè)r(t)=A.1(t)，則R(s)=A/s，則

令定義Kp為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則有對(duì)0型系統(tǒng)，有則為有限值。二、給定輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差99第99頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則ess=0由于0型系統(tǒng)無(wú)積分環(huán)節(jié)，其階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為與K有關(guān)的一定值，因此常稱為有差系統(tǒng)。對(duì)I型及I型以上系統(tǒng)有：為減小穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下增大K值。若要求系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)使系統(tǒng)的類型高于I型。也即采用Ⅰ型或Ⅱ型系統(tǒng)。

100第100頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.斜坡輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系統(tǒng)Kv設(shè)r(t)=At，則R(s)=A/s2，則有令定義Kv為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，則有101第101頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)0型系統(tǒng)，有此時(shí)，ess=

對(duì)I型系統(tǒng)，有此時(shí)，對(duì)II型及以上系統(tǒng)有此時(shí)，ess=0

102第102頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

可見(jiàn),0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號(hào),隨時(shí)間的推移,誤差越來(lái)越大；

I型系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號(hào)。但具有與K有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加K的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；

II型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信號(hào)，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。103第103頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)r(t)=(A/2)t2，則R(s)=A/s3，則有定義Ka為靜態(tài)加速度誤差系數(shù),有3.拋物線輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka令對(duì)于0型系統(tǒng)，=0，Ka=0,ess=;對(duì)于I型系統(tǒng)，=1，Ka=0,ess=;對(duì)于II型系統(tǒng)，=2，Ka=K,ess=A/K;對(duì)于III型及以上系統(tǒng)，>=3，Ka=,ess=0。104第104頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

可見(jiàn)，I型及以下系統(tǒng)不能跟蹤拋物線輸入，誤差越來(lái)越大；

II型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號(hào)。但具有與K有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加K的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；

III型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信號(hào)，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。105第105頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4.有限個(gè)典型信號(hào)構(gòu)成的組合信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

設(shè)給定組合信號(hào)為：利用線性系統(tǒng)的疊加原理，可得顯然，只有II型以上系統(tǒng)才能跟蹤上述給定信號(hào)。

各靜態(tài)誤差系數(shù)的大小反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)值越大，則給定輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。

106第106頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日各種不同輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差見(jiàn)表107第107頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例8：已知兩控制系統(tǒng)如右圖所示。當(dāng)給定輸入為r（t）=4＋6t＋3t2。計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。解（1）右圖(a)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：這是一個(gè)I型系統(tǒng)，K=2.5，Kp=,Kv=K=2.5，Ka=0,不能跟蹤拋物線輸入，所以ess=

例題8108第108頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）圖3-36（b）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：這是一個(gè)II型系統(tǒng)，K=2.5,，Kp=,Kv=,Ka=

K=2.5,能跟蹤拋物線輸入，所以109第109頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例9：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為其中均為大于零的常數(shù)，求系統(tǒng)給定穩(wěn)態(tài)誤差終值例題9110第110頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：此為Ⅰ型系統(tǒng)111第111頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日根據(jù)式以及終值定理得擾動(dòng)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為1．階躍擾動(dòng)信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差

因則有

當(dāng)開(kāi)環(huán)增益足夠大時(shí)，則有三、擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差

112第112頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日當(dāng)G1(s)為比例環(huán)節(jié)時(shí)當(dāng)G1(s)為積分環(huán)節(jié)時(shí)為使階躍擾動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)在誤差信號(hào)與擾動(dòng)作用點(diǎn)之間至少應(yīng)設(shè)置一個(gè)積分環(huán)節(jié)。實(shí)際系統(tǒng)所受到的干擾以階躍信號(hào)居多,此結(jié)論很有意義。2、斜坡擾動(dòng)信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差

因則有113第113頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

為使斜坡擾動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)在誤差信號(hào)與擾動(dòng)作用點(diǎn)之間，至少應(yīng)設(shè)置兩個(gè)積分環(huán)節(jié)。但積分環(huán)節(jié)的增多，會(huì)使系統(tǒng)的階數(shù)升高，將會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

實(shí)際系統(tǒng)一般總是同時(shí)受到給定信號(hào)和擾動(dòng)作用,因此系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)等于給定信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)分別作用于系統(tǒng)時(shí),其穩(wěn)態(tài)誤差的代數(shù)和，即

114第114頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日115第115頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日利用靜態(tài)誤差系數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差，實(shí)際上是計(jì)算在t時(shí)系統(tǒng)誤差的極限值。它不能反映誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律。為此,引入動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的概念,用于分析誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律由前面所學(xué)可知，系統(tǒng)在給定信號(hào)下的誤差傳遞函數(shù)為

將e（s）在s=0的鄰域內(nèi)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即

四、用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

116第116頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日誤差E(s)=e(s)R(s)也可表示為如下級(jí)數(shù)

上述無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為誤差級(jí)數(shù),它的收斂域是s=0的鄰域,相當(dāng)于t。所以當(dāng)初始條件為零時(shí),對(duì)上式求拉氏反變換,可得到穩(wěn)態(tài)誤差的時(shí)域表達(dá)式為令117第117頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則穩(wěn)態(tài)誤差可以寫成

其中C0，C1，C2，……稱為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。C0為動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)；C1為動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)；C2為動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)…….。

（1）將已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成分子、分母多項(xiàng)式的比值形式（2）寫出多項(xiàng)式比值形式的誤差傳遞函數(shù)（按s的升冪排列寫）

通常使用的求動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的方法：118第118頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）使用多項(xiàng)式除法，得到一個(gè)S的升冪級(jí)數(shù)

（4）得到用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)表示的E(s)例8：已知兩系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為試比較兩系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。若輸入信號(hào)為

其中A0、A1、A2、A3均為正常數(shù),試寫出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式119第119頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解

由于兩個(gè)系統(tǒng)都是I型系統(tǒng)，且具有相同的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)，因此有完全相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，即對(duì)系統(tǒng)1有

用長(zhǎng)除法可求得

可得動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)為對(duì)系統(tǒng)2有

用長(zhǎng)除法可求得

可得動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)為兩系統(tǒng)雖有相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，但動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)卻不相同

120第120頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)1系統(tǒng)2當(dāng)A20時(shí)，盡管在t時(shí)，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差都將趨于無(wú)窮大，但在趨向無(wú)窮大的過(guò)程之中，兩者的穩(wěn)態(tài)誤差是不同的。

在組合信號(hào)作用下，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分別為。121第121頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同樣擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的計(jì)算：esn（t）=B0ns（t）+B1ns（t）+——ns（t）+????B22!??ns（t）——n（t）的穩(wěn)態(tài)分量Bn——擾動(dòng)誤差系數(shù)n=0，1，2，3，???Bn=lim——n(s)dndsnS

0122第122頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從前述可知,在系統(tǒng)中增加前向通道積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或增大開(kāi)環(huán)增益,可減小系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差；增加誤差信號(hào)到擾動(dòng)作用點(diǎn)之間的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或放大系數(shù)，可減小系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。但一般系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)不能超過(guò)兩個(gè)，放大倍數(shù)也不能隨意增大，否則將使系統(tǒng)暫態(tài)性能變壞，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此穩(wěn)態(tài)精度與暫態(tài)性能、穩(wěn)定性始終存在矛盾。在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，為實(shí)現(xiàn)提高穩(wěn)態(tài)精度的目的，可采用以下措施：

五、減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施123第123頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（1）在增大開(kāi)環(huán)增益和擾動(dòng)作用點(diǎn)前系統(tǒng)前向通道增益K1的同時(shí)，附加校正裝置，以確保穩(wěn)定性。（2）增加系統(tǒng)前向通道積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)的同時(shí)，也要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，以防止系統(tǒng)失去穩(wěn)定，并保證具有一定的瞬態(tài)響應(yīng)速度。（3）采用復(fù)合控制。在按輸出反饋控制的基礎(chǔ)上，再增加按給定作用或主要擾動(dòng)而進(jìn)行的補(bǔ)償控制，構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)。124第124頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日按給定補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制。如下圖所示，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為給定信號(hào)產(chǎn)生的誤差為：當(dāng)滿足Gr(s)=1/G2(s)時(shí)，則E(s)=0，即系統(tǒng)完全復(fù)現(xiàn)給定輸入作用。這種將誤差完全補(bǔ)償?shù)淖饔梅Q為全補(bǔ)償。

125第125頁(yè)，共135頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第三章復(fù)習(xí)小結(jié)1．

基本要求

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，希望能夠做到：（1）正確理解時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)（Mp、tr、td、tp、ess等）、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的型別和