概率論習(xí)題冊(cè)答案地質(zhì)大學(xué)武漢

-.z概率論習(xí)題冊(cè)答案隨機(jī)事件及其概率§1.1樣本空間與隨機(jī)事件計(jì)算以下各題1.寫出以下隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本空間：(1)同時(shí)擲出三顆骰子，記錄三只骰子總數(shù)之和；(2)10只產(chǎn)品中有3次產(chǎn)品，每次從中取一只〔取出后不放回〕，直到將3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)；(3)一只口袋中有許多紅色、白色、藍(lán)色乒乓球，在其中抽取4只，觀察它們具有哪種顏色；(4)有三只盒子，三只球，將三只球，裝入三只盒子中，使每只盒子裝一只球，觀察裝球情況；(5)將一尺之棰折成三段，觀察各段的長度。解1〔1〕；〔2〕；〔3〕；其中分別表示紅色，白色和藍(lán)色；〔4〕其中表示求放在盒子中，可類推；〔5〕其中分別表示三段之長。2.設(shè)為三事件，用運(yùn)算關(guān)系表示以下事件：〔1〕發(fā)生,和不發(fā)生；〔2〕與都發(fā)生,而不發(fā)生；〔3〕均發(fā)生；〔4〕至少一個(gè)不發(fā)生；〔5〕都不發(fā)生；〔6〕最多一個(gè)發(fā)生；〔7〕中不多于二個(gè)發(fā)生；〔8〕中至少二個(gè)發(fā)生。解〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕3．下面各式說明什么包含關(guān)系.(1)；(2)；(3)解〔1〕；〔2〕；〔3〕4.設(shè)具體寫出以下各事件：(1)，(2)，(3)，(4)，(5).解〔1〕{5}；(2){1,3,4,5,6,7,8,9,10}；(3){2,3,4,5}；(4){1,5,6,7,8,9,10}；(5){1,2,5,6,7,8,9,10}。5．如以下列圖，令表示“第個(gè)開關(guān)閉合〞,，試用表示以下事件，〔1〕系統(tǒng)Ⅰ為通路，〔2〕系統(tǒng)Ⅱ?yàn)橥贰Ｏ到y(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ1523123446解(1)(2)?！?.2事件的頻率與概率一．填空題1．設(shè)事件的概率分別為0.5，0.6，且互不相容，則積事件的概率0；2．設(shè)隨機(jī)事件及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6，假設(shè)表示對(duì)立事件，則積事件的概率0.3；3.P(A)=0.4,P(B)=0.3,當(dāng)A,B互不相容時(shí),P(A+B)==0.7;P(AB)=0.當(dāng)B+A時(shí),P(A+B)==0.4;P(AB)=0.3；4.假設(shè),;;=。二、選擇題1.假設(shè)二事件和同時(shí)出現(xiàn)的概率P()=0則〔C〕〔A〕和不相容；〔B〕是不可能事件；〔C〕未必是不可能事件；〔D〕P()=0或P()=0.2.對(duì)于任意二事件和有(C)(A);〔B〕;〔C〕;〔D〕.3.設(shè)A,B是任意兩個(gè)概率不為0的不相容的事件,則以下事件肯定正確的〔D〕(A)不相容;(B)相容;(C)P(AB)=P(A)P(B);(D)P(A-B)=P(A).4.當(dāng)事件A、B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生則〔B〕三、計(jì)算以下各題1.，求事件全不發(fā)生的概率。2*地有甲、乙、丙三種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)，16%讀乙報(bào)，14%讀丙報(bào)，其中8%兼讀甲和乙報(bào)，5%兼讀甲和丙報(bào)，4%兼讀乙和丙報(bào)，又有2%兼讀所有報(bào)紙，問成年人至少讀一種報(bào)紙的概率。解3.*門課只有通過口試及筆試兩種考試，方可結(jié)業(yè).*學(xué)生通過口試概率為80%，通過筆試的概率為65%，至少通過兩者之一的概率為75%，問該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性有多大.解A=“他通過口試〞，B=“他通過筆試〞,則P(A)=0.8,P(B)=0.65,P(A+B)=0.75P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性為70%。4.向三個(gè)相鄰的軍火庫投擲一個(gè)炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫的概率為0.025，其余二個(gè)各為0.1.只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也要爆炸.求軍火庫發(fā)生爆炸的概率。解設(shè)A、B、C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫這三個(gè)事件，D表示軍火庫爆炸這個(gè)事件，則P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、證明題試證.證。§1.3古典概型與幾何概型一、填空題1．一部四卷的文集，按任意次序放在書架上，各卷自左向右，或自右向左順序恰好為1、2、3、4概率為；2．一批(個(gè))產(chǎn)品中有個(gè)次品、從這批產(chǎn)品中任取個(gè)，其中恰有個(gè)個(gè)次品的概率是；3．*地鐵車站,每5分鐘有一趟列車到站，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，則乘客侯車時(shí)間不超過3分鐘的概率為0.6；4．在區(qū)間〔0,1〕中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于〞的概率為0.68；5.將C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，則恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為1/1260；6.在區(qū)間中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為。二、選擇題1.*獎(jiǎng)券中含有*有獎(jiǎng)的，個(gè)人購置，每人一*，其中至少有一人中獎(jiǎng)的概率是〔B〕(A);(B);(C);(D).2.擲兩枚均勻硬幣,出現(xiàn)一正一反的概率是〔B〕三、計(jì)算以下各題1．10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)取一只，作不放回抽樣，求以下事件的概率。〔1〕兩只都是正品；〔2〕兩只都是次品；〔3〕一只是正品，一只是次品；〔4〕至少一只是正品。解〔1〕把10本書任意放在書架上，求其中指定的5本書放在一起的概率。解3.*學(xué)生宿舍有8名學(xué)生，問〔1〕8人生日都在星期天的概率是多少.〔2〕8人生日都不在星期天的概率是多少.〔3〕8人生日不都在星期天的概率是多少.解。4．從0~9中任取4個(gè)數(shù)構(gòu)成〔可重復(fù)取〕求：〔1〕有2個(gè)一樣，另2個(gè)不同的概率；〔2〕取的至少有3個(gè)一樣的概率。解；5.*工廠生產(chǎn)過程中每批出現(xiàn)次品的概率為0.05,每100個(gè)產(chǎn)品為一批,檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),在每一批任取一半來檢查,如果發(fā)現(xiàn)次品不多于一個(gè),則這批產(chǎn)品可以認(rèn)為是合格的.,求一批產(chǎn)品被認(rèn)為是合格的概率。解。6.隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班中，這15名新生有3名優(yōu)秀生.求〔1〕每個(gè)班各分一名優(yōu)秀生的概率〔2〕3名優(yōu)秀生在同一個(gè)班的概率。解根本領(lǐng)件總數(shù)有種(1)每個(gè)班各分一名優(yōu)秀生有3!種,對(duì)每一分法,12名非優(yōu)秀生平均分配到三個(gè)班中分法總數(shù)為種,所以共有種分法.所以p=.(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班,分法有3種,對(duì)每一分法,12名非優(yōu)秀生分配到三個(gè)班中分法總數(shù)為,共有種,所以q=。7.隨機(jī)的向半圓〔為正常數(shù)〕內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)連線與軸的夾角小于的概率。解這是幾何概型,樣本空間占有面積為,所求事件占有面積為所以,所求概率。8.設(shè)點(diǎn)隨機(jī)地落在平面區(qū)域D:|p|≤1,|q|≤1上,試求一元二次方程兩個(gè)根(1)都是實(shí)數(shù)的概率,(2)都是正數(shù)的概率?！?.4條件概率三、計(jì)算以下各題1．*廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品在有75件一等品，試求在該產(chǎn)品任取一件的是一等品的概率。解。2.設(shè)*種動(dòng)物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，求年齡為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。解。3.在100個(gè)次品中有10個(gè)次品，每次從任取一個(gè)〔不放回〕，求直到第4次才取到正品的概率。解=“第次取到正品〞=1，2，3，4.4.比賽規(guī)定5局比賽中先勝3局為勝，設(shè)甲、乙兩人在每局中獲勝的概率分別為0.6和0.4，假設(shè)比賽進(jìn)展了兩局，甲以2︰0領(lǐng)先，求最終甲為勝利者的概率。解設(shè)B=“最終甲勝〞，Ai=“第i局甲勝〞四、證明題1.假設(shè)，且證明。證。2.證明事件與互不相容，且0<<1,則。證?！?.5全概率公式和貝葉斯公式三、計(jì)算以下各題1.三個(gè)箱子,第一個(gè)箱子里有4個(gè)黑球1個(gè)白球,第二個(gè)箱子里有3個(gè)黑球3個(gè)白球,第三個(gè)箱子里有3個(gè)黑球5個(gè)白球,求〔1〕隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再從這個(gè)箱子取出一球?yàn)榘浊虻母怕?〔2〕取出的一個(gè)球?yàn)榘浊?此球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的概率。解=“在第箱取球〞=1，2，3，=“取出一球?yàn)榘浊颞?.設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1、0.2、0.3，從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。解設(shè)=｛取得的產(chǎn)品為正品｝，分別為甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品=，=，=，，所以0.83。3.一群人中有37.5%的為A型血型，20.9%為B型，7.9%為AB型，33.7%為O型，能允許輸血的血型配對(duì)如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選一人為需要輸血者，問輸血者能成功的概率是多少.輸血者受血者A型B型AB型O型A型√×√√B型×√√√AB型×√√√O型√××√解設(shè)=｛輸血成功｝分別表示型血型則同理可求出則0.717。4.男人中有5%的色盲患者，女人中有0.25%的色盲患者，今從男女人數(shù)中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少.解=｛從人群中任取一人是男性｝，=｛色盲患者｝因?yàn)樗浴?.*一工廠有三個(gè)車間生產(chǎn)同一型號(hào)螺釘，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占該廠螺釘總產(chǎn)量的25%、35%、40%，每個(gè)車間成品中的次品分別為各車間產(chǎn)量的5%、4%、2%，如果從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品螺釘為次品，問它是車間生產(chǎn)的概率。解分別表示三車間生產(chǎn)的螺釘，=“表示次品螺釘〞==同理=；=。6.*高校甲系二年級(jí)一、二、三班學(xué)生人數(shù)分別為16人，25人和25人，其中參加義務(wù)獻(xiàn)血的人數(shù)分別為12人，15人和20人，從這三個(gè)班中隨機(jī)地抽取一個(gè)班，再從該班學(xué)生中任取2人.〔1〕求第一次取的是已獻(xiàn)血的學(xué)生的概率p.〔2〕如果第二次抽到的是未參加獻(xiàn)血的學(xué)生，求第一次取的是已獻(xiàn)血的學(xué)生的概率q.所以?！?.6事件的獨(dú)立性三、計(jì)算以下各題1.*類電燈泡使用時(shí)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小以后最多只有一個(gè)壞的概率。解表示一個(gè)燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上｛三燈泡中最多有一個(gè)壞｝=｛三個(gè)全好｝+｛只有一個(gè)壞｝=(0.2)3+(0.2)2(1–0.2)=0.104。2.一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立進(jìn)展了四次射擊,假設(shè)至少命中一次的概率為,求該射手的命中率。解。3.*型號(hào)的高射炮，每門炮發(fā)射一發(fā)擊中的概率為0.6，現(xiàn)假設(shè)干門炮同時(shí)發(fā)射一發(fā)，問欲以99%的把握擊中來犯的一架敵機(jī)至少需要配置幾門炮.解設(shè)需要配置門高射炮=“高炮擊中飛機(jī)〞，則｛飛機(jī)被擊中｝=｛門高射炮中至少有一門擊中｝=1–｛門高射炮全不命中｝至少配備6門炮。4.設(shè)有三門火炮同時(shí)對(duì)*目標(biāo)射擊，命中概率分別為0.2、0.3、0.5，目標(biāo)命中一發(fā)被擊毀的概率為0.2，命中二發(fā)被擊毀的概率為0.6，三發(fā)均命中被擊毀的概率為0.9，求三門火炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率。解設(shè)=｛目標(biāo)一次射擊中被擊毀｝=｛目標(biāo)被擊中的發(fā)數(shù)｝，〔0，1，2，3，〕則=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22=0.2×0.3×0.5=0.03所以0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。5..擲一枚均勻硬幣，直到出現(xiàn)3次正面朝上為止，假設(shè)正好在第6次后停頓，求第5次也正面朝上的概率.解=“正好在第6次后停頓〞，=“第5次也正面朝上〞.四、證明題設(shè)是事件獨(dú)立的充分必要條件。證第二章隨機(jī)變量及其函數(shù)的概率分布§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)§2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布三、計(jì)算以下各題1.袋中有10個(gè)球，分別編號(hào)為1~10，從中任取5個(gè)球，令表示取出5個(gè)球的最大，試求的分布列。解的可能取值為5，6，7，8，9，10且所以的分布列為56789102.一批元件的正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)這批元件進(jìn)展有放回的測(cè)試，設(shè)第次首次測(cè)到正品，試求的分布列。解的取值為1，2，3，…且.此即為的分布列。3.袋中有6個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，2，3，3，從中任取一個(gè)球，令為取出的球的，試求的分布列及分布函數(shù)。解的分布列為123由分布函數(shù)的計(jì)算公式得的分布函數(shù)為4.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為。求解5.〔1〕設(shè)隨機(jī)變量的分布律為為常數(shù)，試確定?！?〕設(shè)隨機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與成反比，求的分布律。解〔1〕因?yàn)榧?，所以?〕令類似上題可得。所以的分布律為6.汽車沿街道行駛，需要通過3個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈時(shí)間相等，以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口，求的概率分布解=0,1,2,3,=“汽車在第個(gè)路口遇到紅燈.〞，=1，2，3.=,=，=01231/21/41/81/8為所求概率分布7.同時(shí)擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止,試求拋擲次數(shù)的概率分布律.四、證明題試證明：§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)三、計(jì)算以下各題1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為；求的分布函數(shù)。解，2.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為；求的密度函數(shù)。解3.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為；求常數(shù)，使；〔2〕求常數(shù)，使。解〔1〕因?yàn)椋怨?。因?yàn)?.在半徑為，球心為的球內(nèi)任取一點(diǎn)，*為點(diǎn)O與P的距離，求*的分布函數(shù)及概率密度。解當(dāng)時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)落到以為球心，為半徑的球面上時(shí)，它到點(diǎn)的距離均為，因此，所以，的分布函數(shù)為的密度函數(shù)為5.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,–∞<<+∞,試求(1)系數(shù)與,(2)P(–1<<1),(3)的概率密度函數(shù).解6.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,以Y表示對(duì)進(jìn)展三次獨(dú)立觀察中{≤}出現(xiàn)的次數(shù),求概率P(=2).解p=P(≤)=,由~(3,)所以7.從*區(qū)到火車站有兩條路線，一條路程短，但阻塞多，所需時(shí)間〔分鐘〕服從；另一條路程長，但阻塞少，所需時(shí)間〔分鐘〕服從，問要在70分鐘內(nèi)趕到火車站應(yīng)走哪條路保險(xiǎn).要在65分鐘內(nèi)趕到火車站又應(yīng)走哪條路保險(xiǎn).解〔1〕因?yàn)樗宰叩诙l?！?〕類似的走第一條?！?.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、計(jì)算以下各題設(shè)隨機(jī)變量的分布律如下，求的分布律。-2-1012解1252.設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，求的密度函數(shù)。解的密度函數(shù)為設(shè)，則有。所以，因此當(dāng)及時(shí)，由知；當(dāng)時(shí)，由知，所以所求密度函數(shù)為類似的可得：3.設(shè)，求的密度函數(shù)。解〔1〕的密度函數(shù)為，的分布函數(shù)為所以的密度函數(shù)為〔2〕的分布函數(shù)為所以的密度函數(shù)為4.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為；求的概率密度。解所以5.假設(shè)球的直徑D的測(cè)量值在上均勻分布，求球的體積V的概率密度。6.將長度為2的直線隨機(jī)分成兩局部，求以這兩局部為長和寬的矩形面積小于的概率。四、證明題1.設(shè)證2.設(shè)隨機(jī)變量*服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布,證明在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。證*服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布,則概率密度為,函數(shù)y單調(diào)可導(dǎo),其反函數(shù)為由公式所以在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1二維隨機(jī)變量的概率分布三、計(jì)算以下各題1.隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為,求的聯(lián)合分布函數(shù)。解因?yàn)?.一個(gè)箱子裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)隨機(jī)地?zé)o放回抽取兩次，每次取一只，以分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試寫出的概率分布律。解.3.給定非負(fù)函數(shù),問是否是隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度?說明理由。解是的聯(lián)合概率密度只要滿足≥0與所以是隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。4.設(shè)隨機(jī)變量()的聯(lián)合密度為，求：〔1〕系數(shù)k；〔2〕；〔3〕；〔4〕。解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕=5.設(shè)隨機(jī)變量()的聯(lián)合密度為,求(1)系數(shù),(2)概率。解6.袋中有1個(gè)紅色球，2個(gè)黑色球與3個(gè)白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以*，Y，Z分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)，求；求二維隨機(jī)變量的概率分布。解：〔1〕在沒有取白球的情況下取了一次紅球相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球有放回的取兩次，其中摸到一個(gè)紅球；〔2〕*，Y的取值*圍為0,1,2，故*Y01201/41/61/3611/31/9021/900§3.2邊緣分布§3.3條件分布§3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、計(jì)算以下各題1.設(shè)隨機(jī)變量*在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1~*中等可能取一個(gè)整數(shù)值，求〔1〕的聯(lián)合分布律；〔2〕*，Y的邊緣分布律。解：由題意，則由概率的乘法公式有因此*Y123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/412.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為〔1〕求關(guān)于的邊緣概率密度.〔2〕問是否獨(dú)立.3.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：〔1〕關(guān)于*和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷*與Y是否相互獨(dú)立.〔2〕。解：〔1〕由于〔2〕4.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為〔1〕求常數(shù)；〔2〕求關(guān)于的邊緣概率密度，〔3〕問是否獨(dú)立.解即5.雷達(dá)的圓形屏幕的半徑為，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)在屏幕上均勻分布，〔1〕求的邊緣概率密度，〔2〕問是否獨(dú)立.6.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，求〔1〕常數(shù)〔2〕隨機(jī)變量的邊緣密度，〔3〕概率。解〔1〕.，(3).隨機(jī)變量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.〔1〕求的聯(lián)合分布，〔2〕問是否獨(dú)立.為什么.解Y*-101P．j0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41〔1〕設(shè)的聯(lián)合分布為Y*-10101/401/4101/208.設(shè)*與Y為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，*在區(qū)間上服從均勻分布，Y的概率密度為，求：〔1〕*與Y的聯(lián)合概率密度；〔2〕設(shè)含有a的二次方程為，試求a有實(shí)根的概率。解：〔1〕〔2〕含有a的二次方程為有實(shí)根的充要條件為.而四、證明題設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù)，證明：*與Y相互獨(dú)立。證明：§3.5兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、計(jì)算以下各題1.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的分布律為,解由獨(dú)立性可得〔〕〔1，2〕〔1，4〕〔3，2〕〔3，4〕0.180.120.420.283557–1–31–1所以的分布律為,的分布律為2.設(shè)獨(dú)立,服從均勻分布,的概率密度.(用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示)。解由的密度函數(shù)為Y在[-π,π]服從均勻分布,則,*和Y獨(dú)立,由公式3．設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且求的概率密度。解∵獨(dú)立，∴又∵=>，令，則4.隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布,其聯(lián)合密度為,,求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。解5.隨機(jī)變量*與Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間上的均勻分布，求的概率密度函數(shù)。解：∵*與Y相互獨(dú)立，且，6.設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,求的概率密度。解.7.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率分布為，的概率密度為，記〔1〕求〔2〕求的概率密度。解：(I)(II)所以8.設(shè)二維變量的概率密度為求；求的概率密度。解：〔Ⅰ〕，其中D為中的那局部區(qū)域；求此二重積分可得〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是9.假設(shè)電路裝有三個(gè)同種電器元件，其狀況相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不正常工作.試求電路正常工作時(shí)間T的概率分布。解以表示第個(gè)元件無故障工作時(shí)間，則獨(dú)立且分布函數(shù)為..所以T服從參數(shù)為的指數(shù)分布10.隨機(jī)變量*的概率密度為為二維隨機(jī)變量(*,Y)的分布函數(shù)，(Ⅰ)求Y的概率密度；(Ⅱ)。解：〔Ⅰ〕；.所以：〔Ⅱ〕。11.*種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為設(shè)各周的需求量是相互獨(dú)立的，求〔1〕兩周；〔2〕三周的需求量的概率密度。解：設(shè)*種商品在第i周的需求量為，由題意得相互獨(dú)立，且有〔1〕記兩周需求量為Z，即，則Z的概率密度為〔2〕記三周需求量為W，即，又與相互獨(dú)立，則W的概率密度為第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望§4.2方差二、計(jì)算以下各題1.設(shè)球直徑的測(cè)量值在上服從均勻分布,求球體積的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)球的直徑為,其概率密度為2.設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，,求的數(shù)學(xué)期望和方差。解的概率密度，。3.在長度為a的線段上任意取兩個(gè)點(diǎn)M與N，試求線段MN長度的數(shù)學(xué)期望。解:以線段起點(diǎn)為原點(diǎn)，*，Y分別表示點(diǎn)M與N的位置，∴，，，，令，這時(shí)∴。4.*射手每次命中目標(biāo)的概率為0.8,連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo),直至命中目標(biāo)一次為止。求射擊次數(shù)的期望和方差。解“第次命中目標(biāo)〞,……)=…,取所以,,取＜1故從而。5.設(shè)輪船橫向搖擺的振幅的概率密度為，為常數(shù)試確定常數(shù),并求和。解1230.20.1000.100.310.10.10.16.設(shè)的聯(lián)合分布為右表求設(shè)、求設(shè)、求。解-1-010.20.100.40.10.10.10149160.10.20.30.40。設(shè)隨機(jī)變量*與Y相互獨(dú)立,且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的方差。解令。8.箱內(nèi)有4個(gè)白球和5個(gè)紅球，不放回地接連從箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．設(shè)*和Y分別表示這2次取出球中的白球數(shù)，則為多少.解：條件期望的含義是：在第二次取出的5只球中有1個(gè)白球的情況下，第一次取出3只球中平均白球數(shù)是多少.為求得條件期望，先要求得條件下*的條件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是紅球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只紅球中隨機(jī)抽3只球，這時(shí)*至少為2，因?yàn)榧t球只有1個(gè)，故，，，由此可算得下的條件期望。9.*大樓共有10層，*次有25人在一樓搭乘電梯上樓，假設(shè)每人都等可能的在2~10層中的任一層出電梯，且出電梯與否相互獨(dú)立，同時(shí)在2~10層中沒有人上電梯。又知電梯只有在有人要出電梯時(shí)才停，求該電梯停的總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解：由題設(shè)，每人在第i層下電梯的概率均為，設(shè)表示第k人在第i層下電梯，則有，又設(shè)，則因此，電梯停的總次數(shù)為，。10.設(shè)隨機(jī)變量*的概率密度為:E〔*〕=0.5,D〔*〕=0.15,求系數(shù)a、b、c。解：由密度函數(shù)性質(zhì)及已給條件，知有，，，，，，，三個(gè)方程，三個(gè)變量，解之可得：。11.設(shè)隨機(jī)變量*，Y相互獨(dú)立，且都服從，設(shè)，求。解：設(shè)，則，由于*與Y相互獨(dú)立，則有而，則有。因此。四、證明題設(shè)隨機(jī)變量*和Y相互獨(dú)立，試證明．證明：，因?yàn)?和Y相互獨(dú)立，所以有，又，從而有?！?.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)§4.4原點(diǎn)矩與中心矩.三、計(jì)算以下各題1.假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布,求隨機(jī)變量,的相關(guān)系數(shù)。解。2.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,求：〔1〕系數(shù),,〔3〕協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。解；3.設(shè)隨機(jī)變量*的概率密度為.求：〔1〕；〔2〕的協(xié)方差，并問是否不相關(guān)；〔3〕問是否獨(dú)立.為什么.解：〔1〕，〔2〕〔3〕對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有4.設(shè)隨機(jī)變量()的概率密度為,求的相關(guān)系數(shù)。。5.設(shè)隨機(jī)變量服從[]上的均勻分布，令，求。解6.二維隨機(jī)變量的分布律為-101-11/81/81/801/801/811/8ab問a,b取何值時(shí)，不相關(guān).此時(shí)是否獨(dú)立.解〔1〕，，，，假設(shè)不相關(guān)，則〔2〕。7.隨機(jī)變量*與Y分別服從正態(tài)分布,且*與Y的相關(guān)系數(shù)．設(shè)，求〔１〕的數(shù)學(xué)期望和方差；〔２〕*與的相關(guān)系數(shù)；〔３〕問*與是否相互獨(dú)立.為什么.解：(1)，，由于*與Y分別服從正態(tài)分布，所以也服從正態(tài)分布；(2)因?yàn)椋⒁獾?，且，，所以，由協(xié)方差定義：；(3)由于*與均服從正態(tài)分布，故“相關(guān)系數(shù)為零〞等價(jià)于“相互獨(dú)立〞，因此*與相互獨(dú)立。8.設(shè)，=，=，=，求和。解：；。9.假設(shè)隨機(jī)變量*、Y相互獨(dú)立同分布，均服從，令，〔為不相等的常數(shù)〕，求隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)，并說明當(dāng)滿足什么條件時(shí)，不相關(guān)。解：〔1〕依題意，有，且．因?yàn)?，而，．，由方差公式可求出，同理可得，所以．又，同理有，綜合上述結(jié)果，可得〔2〕假設(shè)不相關(guān)，則，因此，又，則時(shí)不相關(guān)。四、證明題設(shè)是隨機(jī)變量，其中為常數(shù)，且同號(hào).證明：第五章大數(shù)定律與中心極限定理§5.1大數(shù)定律§5.2中心極限定理三、計(jì)算題1.設(shè)在每次實(shí)驗(yàn)中事件以概率發(fā)生.是否可以用大于0.97的概率確信：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600*圍內(nèi).解：設(shè)表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則，由切比雪夫不等式有所以可以用大于0.97的概率確信：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600*圍內(nèi).2.將一顆骰子連續(xù)擲四次，其點(diǎn)數(shù)之和記為，估計(jì)概率。解：設(shè)為擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則其分布律為：，所以，，；依題意，所以.3.設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且服從參數(shù)的泊松分布,記，利用中心極限定理，求。解