小題壓軸題11-雙曲線二

小題壓軸題專練11—雙曲線（2）

一、單選題

22

1.已知耳，F(xiàn),分別為雙曲線=-2=1（。>0,6>0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)耳的直線交雙曲線的

ab

___一.

左支于A,B兩點(diǎn)，若而=3版，cosZAF2B=y則雙曲線的離心率e=（）

A.@B.-C.—D.-

2223

解:設(shè)|引"=%,則|A耳|=3m,

由雙曲線的定義知，\BF2\-\BFx\=2a,\AF2\-\AFx\=2a,

BF2\=m+2af|AF21=3m+2a，

在A/WE中，由余弦定理知，COSNA/^JA'1+'JI2TAB|2,

2\AF2\\BF2\

,T=(3〃7+24+(，"+2〃)=(4〃?)2,化簡(jiǎn)得，/+加加_3病=0,

52(3m+2d){m+2d)

:.m=a^m=~a(舍負(fù))，:.\BFt\=a,\BF2\=3a,\AF2\=5a,\AB\=4a,

222

AB|+1BF2|=|AF2I,即ZABF2=90°,

明『+1即|2=|耳下即/+(34)2=(2c)2,Q/MZ/,.,.離心率e=￡=叵.

X

故選：c.

2.已知雙曲線cJ-/=l(q>0,6>0)的左焦點(diǎn)為K,若直線/:y=kx,keg,我與

雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，且則雙曲線C的離心率的取值范圍是()

A.(1,2)B.[技2)C.[V2,x/3+l]D.(2,6+1]

解：如圖,

由直線/:y=kx,ke[—,73],可得直線/的傾斜角為ae[生，-],

363

???加4_LN4,.?.由對(duì)稱性可得四邊形為矩形，貝lJ|MVRKK|=2c,

則|ON|=c,得N(ccosa,csina),

929.2

由N在雙曲線上，可得注8-之喀=1,

ac-a

整理可得：e4cos2a-2/+1=0.

解得e?=—!—或e?=---(舍).

1-sina1+sina

*/ae[―>—],/.2歿點(diǎn)2—^—j==4+2>/3=(\[3+1)2,

632-V3

即效hV3+1；

又),日即。2>4/,得6=￡>2.

aa"a

二.雙曲線C的離心率的取值范圍是(2,6+”.

故選：D.

22

3.設(shè)點(diǎn)A,8分別為雙曲線C:「-2=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在雙

a"b~

曲線C的左、右支上，若M癖=54l/,MB=MNMB,且|M豆|<|而則雙曲線C的離

心率為（）

而病1317

A?---D?----lz.—Dn?

5557

解：設(shè)|祝|=m,則|麗|=5〃2（〃?>0）,

MB++BNMB,

BNMB=O,即BNJLMB,

則|瓦京『+1麗|2=|MN|2,即(2a+ni)2+(6m-2a)2=(5m)2,

解得m=?；蛱?2q.

3

9_____Q_______

①若根=—a時(shí)，|麗k|二?a,\NB\=2a,不滿足|四團(tuán)<|桶|（舍去）,

33

②若m=a時(shí)，|而彳|=3a,|而|=4a,滿足|誠(chéng)付而|,則m=a.

吧=S,

|MTV|5a5

在AAA?中，|A8『=|AN『+18N『-21AN||BN|-cos4MNB

即4c2=36a2+16/-2x6ax4ax—,

5

整理得4c2=竺〃2,即/=1Z,得6=

55

故選：B.

22

4.已知雙曲線"嘖=1,其左、右焦點(diǎn)分別為K，K，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2),雙曲線

。上的點(diǎn)尸(后,yo)(xo>O,為>°)滿足片篙，■=、與音則APMK與"ME面積的

差SAPMR-S/MF?—()

A.-2B.2C.4D.6

22

解：雙曲線C:^r-一v乙=1的夕=3,b=4,c=5,

916

療啊強(qiáng)?加

/.|MF.|-cosZMF}P=\MF.\-cosZMF}F2,:.NMF、P=/MF^F?,

\F\P\

???耳(一5,0)、1(5,0),點(diǎn)M(3,2),??.|町|=2河,%|二2族,|耳心|=2。=10,

68+100-84

故由余弦定理可得cosNM”與=

21M居HKgl-2-2V17-10

2

.■.cosZP^g=2cosZMFtF2-1=一,

2

sinNPRFz=^\-COS^PF}F2=—,

sin/P可?_8

tanZ.PFF

X2cos/PF冉

直線PF、的方程為y=R(x+5).

把它與雙曲線聯(lián)立可得相，爭(zhēng)，

341134/—134

PFX\=—,/.sinZMf；^=-=,;.S^MPF[=-----2>/17--==—

3yl723yl73

3416/

S_191616_------=o.

◎APMR-243一3'LPA巧°APA//S—33

故選：D.

22

5.已知雙曲線二一二=l（a＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，居，P是雙曲線上一點(diǎn),

ab

△P"工是以耳/5為底邊的等腰三角形，且60。＜/尸乙耳＜120。，則該雙曲線的離心率的取值

范圍是（）

B.F，+8）C(L孕D.咚⑵

A.(1,2)（正

解：???△「丹心是以4P為底邊的等腰三角形,

:.\PF2\=\FtF2\=2c,

在△尸耳工中，由余弦定理知，在耳『斗耳馬『+|”|2一理耳用|.|P/ycosNP巴耳

22

=4c2+4c-2-2c-2c-cosZPF2F]=8c(l-cosZPF26)

PFt|=Z&c.Jl-cosNP-K,

由雙曲線的定義知，2a日|P6|-1尸乙||=|2&c-Jl-cosNP巴耳-2c\,

?.?60°<NP心耳<120°,

一;Vcos/PR耳<g,

--cosNPF2K<平,

/.0<2\^2c-Jl-cosNP■耳-2c<(2G-2)c,

/.0<2。v(2\/3-2)c,

離心率e=￡>^^,即ee(^^,+oo).

故選：B.

r22

6.已知雙曲線C:-—%v"=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-c,0),乙(c,0),點(diǎn)P在雙

曲線C支上，滿足|刊<+「尺|=|7￥"尸/<|,|尸/">3|尸鳥(niǎo)|,又直線/:3x+4y—3c=0與雙

曲線C的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()

A.?！凡?野=一浮D.(淖

解：以尸耳，P鳥(niǎo)為邊，作平行四邊形尸耳藥，

如圖所示:

則PF,+AF；=PE,PF{-pF；=F#；,

又|所+%|=|西一所'I，所以IPERgfJ,

因?yàn)閷?duì)角線相等的平行線四邊形是矩形，所以

根據(jù)雙曲線的性質(zhì),可知|P/"-|"|=2a,

因?yàn)閨「耳|>3|Pg],所以|「耳|-|P鳥(niǎo)|=2a>2|P^|,

即|P耳Ka,|Pf；|=2a+\PF1\<3a,

在應(yīng)A%月中,有|P"F+|尸鳥(niǎo)『■耳居F=4C2,

又|尸耳桃|=2a,所以（|尸耳|-1P瑪I）?"P耳『+|尸思『―2|尸6||2

PF2\=4A,

所以2|尸耳HP瑪目世『+1「亮『-4a2=4c2-4a2,

因?yàn)閨P/"<a,|尸耳|<3a,即為耳|“％|<3a2,

所以21mHp每l=4c2-4a2<6a2,解得W=e?<-,

a2

又因?yàn)殡p曲線的離心率ee（l,+oo）,所以l<e〈萼，

由題意知，雙曲線的漸近線方程為丫=±2'，

a

又直線/:3x+4y-3c=0與雙曲線C的左右兩支各交于一點(diǎn)，

所以直線/的斜率大于雙曲線的漸近線y=-?x的斜率，

a

所以—3,即幺>3,

a4a4

所以?=TC=e2-l>2,解得e>3（或e<-3舍去），

a2a-1644

綜上所述，ee（3,巫）.

42

故選：D.

22

7.已知雙曲線+-斗=1（。>0力>0）的左焦點(diǎn)為E,M是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N,若F在以為直徑的圓上，且NFNMe[工，紅J,則該雙曲線的離

312

心率的取值范圍是()

A.(1,V2]B.[72,73+1]C.(1,A/3+11D.[V2,+oo)

解：由題意可知BM_LQV,設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為廣，則四邊形M/W廣為矩形，

;.OM=OF=c,MF=FN,

設(shè)=機(jī)，MF'=*則4+*=4C2,

由雙曲線定義可知：m-n=2a,故+1-2〃功=4〃，

/.nm=2c2-2a2,

???S"=^-mn=c2-a2,

2

設(shè)4FMN=a，則ZMOF=2a,故10P=g?c?c?sin2a=—csin2a,

2

又S0FF=2sAM獷，/.c~―/=csin2a，4FNMG[—,-j-yj，

所以?！曦?]

126

「21

故/=62(1-sin2a),/.e2=—=-----------，

a"1-sin2a

2a￡弓，y],/.sin2c￡[g,,

/..2,故e..A/2.并且夕,，4+2,故e,,\[3+1.

該雙曲線的離心率的取值范圍是[正，G+1]

故選：B.

8.設(shè)耳、鳥(niǎo)是橢圓C1和雙曲線c2的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|出"<|尸鳥(niǎo)|,

線段I尸用垂直平分線經(jīng)過(guò)馬，若G和G的離心率分別為4、%則9烏+°2的最小值(

)

A.2B.4C.6D.8

22

解：設(shè)橢圓a的方程為「+J=i,焦距為2c-

?)■A

22

雙曲線G的方程為三-當(dāng)=1，焦距為2c2，

ai“2

???"、瑪是橢圓G和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，2q=2c2=c.

???線段|尸耳|垂直平分線經(jīng)過(guò)

F2,PF2|=|FXF2|=2c,

IPF}|=-2a2+2c9

由|PF、|+1PF2|=2q=4c—2%，得%%=2c,

則_1+1=￡11￡1=2,則

exe2c2e2

q>0,/>0,

,9G+e2=-(9et+^2)(—+—)=-(10+—+^-)

-2e22e2el

...g(10+2j阻且)=g(10+2x3)=8.

當(dāng)且僅當(dāng)3q=e?時(shí)，上式等號(hào)成立.

.?.9q+e2的最小值為8.

故選：D.

22

9.已知雙曲線5-與=1（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F,,以。耳為直徑的圓與雙

ab

曲線的一條漸近線交于點(diǎn)M,若線段MF；交雙曲線于點(diǎn)尸，且|貨|=5|尸/",則雙曲線的

離心率為（）

B.—C.>/2D.73

4

解：由雙曲線的定義知，|2鳥(niǎo)|一|尸/"=24,

-.]PF2\=5\PFt\,?.」WI=￡，l^l=y>

?.?點(diǎn)歷在以O(shè)耳為直徑的圓上，.?.N《MO=90。，

.b.

bl--cl

焦點(diǎn)耳(-c,0)到漸近線y=--x的距離|MF、|=「=b,

aF

在中，cosZMFtF,=1^5-!=-,

|。耳Ic

在△PF{F2中由余弦定理知

a2，25/

I尸耳F+I-EF-IPGF4+4c-42c2-3a2

cosNM耳F=

2?|耳名|ac

2|2x—x2c

2

—=-...現(xiàn)-,化簡(jiǎn)得2c2—3a2=ab,

cac

2（a2+b2）-3a2=ab,解得b=a或/?=—勿（舍），

故選：C.

x2v2

10.己知點(diǎn)耳、工分別為雙曲線T：/-萬(wàn)=13>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線與雙

曲線T的左、右兩支分別交于A、8兩點(diǎn)，若|44|:|B/":|AB|=5:5:4,則雙曲線T的離心

率為（）

A.—B.746C.2/D.不

2

解：|峰耳期|:|AB|=5:5:4,

設(shè)\AFt|=5r,\AB\=4t,貝（l|B￡|=5f,\AFt|=5r,

根據(jù)雙曲線的定義，得1Ml-IMIH跖|一|88|=2°,

即+m-5t=5t—m=2a9

解得，=。，m=3a

即|AKI=5a,|46|=7a,|B1|=5a,|

鳥(niǎo)月中，222

A5\FXF2|=|BFXI+\BF21-2\BF]\-\BF2\cosZF2BFl

4c2=9a2+25a2-2x3。x5。xcosN丹納,

在三角形ABF}F2中，||2=|5用2+14B『-218用.?A31CosZABFX

222

4c=16a+25a-2x4ax5axcosZABFl,cosNRBF】+cosZABFi=0，

4c2-46a2,可得c=

2

因此，該雙曲線的離心率6=巫.

2

故選：A.

二、多選題

22

11.已知理，尸,分別為雙曲線與-馬=1（。>06>0）的左、右焦點(diǎn)，A，4分別為其實(shí)軸

a"h

的左、右端點(diǎn)，且|百月|=生，點(diǎn)P為雙曲線右支一點(diǎn)，/為△/華工的內(nèi)心，則下列結(jié)論正

a

確的有()

A.離心率e=0+1

B.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a

C.IPF=SIPF+ASIFF(A.eR)^sL,則；1=0-1

D.若垂直x軸于點(diǎn)H,則|/W|2=|HA|?|H4I

22

解：■.]FlF2\^—=2c,且62=c2-q2,,-.c-2ac-a=0,

1.,^=—>1,.'.e2-2e-}=0,.,.e=V2+l,即選項(xiàng)A正確；

a

設(shè)內(nèi)切圓/與APKg的三邊分別相切于點(diǎn)/，N,T,如圖所示，

由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PM|=|/W|,|耳加|4耳7|,|gN|=(gT|,

由雙曲線的定義知，2a=\PFt\-\PF2\=\PM\+\FlM\-(\PN\+\F2N\)=\FtT\-\F2T\,

而|耳7|+|g7|=2°,

.[F]T\=c+a,IF2T\=c-a，

.-.T（?,0）,即點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a,故選項(xiàng)8正確；

設(shè)圓/的半徑為r,

S?呼=穌+彳久嶼與（久eR）,

^\PFl\-r=^\PF2\-r+A-^\FlF2\-r,即|「耳|=|P鳥(niǎo)|+2|6乙|,

:\PFl\-\PF2\=A\FlF2\,即2a=1,2c,

.-.A=-=-=-^=42-\,即選項(xiàng)C正確；

CeV2+1

22

假設(shè)點(diǎn)p在第一象限，設(shè)其坐標(biāo)為（〃?,〃），則”-4=1,

a~h~

???PH垂直x軸于點(diǎn)〃，

2

.?.|/V/『=〃2=（i-勺池2,\HA^\=m+a,\HA,\=m-a,

a

12

.["A|?|HA21=（m+a）（m—a）=in-a,

2

若則（1-工）/=病-/,化簡(jiǎn)得〃?2=/,

a

此時(shí)點(diǎn)P與，重合，不符合題意，即選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

22

12.已知耳、居分別為雙曲線二-二=1（“>0,。>0）的左、右焦點(diǎn)，且a,b,c成等比數(shù)

a"b~

列（C為雙曲線的半焦距），點(diǎn)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，點(diǎn)/為耳心的內(nèi)心.若

S/W=s“"成立，則下列結(jié)論正確的是（）

當(dāng)尸軸時(shí)，e=^5

A.gl.x^PFXF2=30°B.離心率

C.義=叵1D.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a

2

解：「a,b,c成等比數(shù)列，「方=ac,

,2

對(duì)于A,當(dāng)2居上工軸時(shí)，點(diǎn)尸為(c,±),

a

:.tanZPF.F,=^^-=-^-=—=-,顯然NPA；居#30。，即選項(xiàng)4錯(cuò)誤;

12

\F}F2\2C2ac2

122

對(duì)于Bb=ac=c-a,e=—>1,

a

:.e2-e-l=0,解得6=生叵(舍負(fù))，即選項(xiàng)8正確；

2

對(duì)于C,設(shè)圓/的半徑為r,

,?*SmF、=^JPF2+2久陰產(chǎn)2，

即|「耳|=|尸工I+/LWEI，

由雙曲線的定義知,\PFt\-\PF2\=2a,

,'.2a=A-2c,即2=q-,故選項(xiàng)C正確；

ce2

對(duì)于。，設(shè)直線Pg和耳鳥(niǎo)分別與圓/相切于點(diǎn)M,N,T,如圖所示,

由雙曲線的定義和切線長(zhǎng)的性質(zhì)可知，I尸片ITPg1=2a=1*1-17再I，

?.177<|+|7^|=2c,

:\TF2\=c-a,即T(a,O),

.??點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a,即選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

22

13.已知點(diǎn)夕是雙曲線E:"-5=1的右支上一點(diǎn)，耳，鳥(niǎo)為雙曲線E的左、右焦點(diǎn),

△尸《鳥(niǎo)的面積為20,則下列說(shuō)法正確的是()

A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為三B.APKg的周長(zhǎng)為與

C./石尸鳥(niǎo)小于。D.AP/M的內(nèi)切圓半徑為1

解：設(shè)△耳尸鳥(niǎo)的內(nèi)心為/,連接/P,/耳，IF2,

22

雙曲線E:土一匕=1中的〃=4,b=3,c=5,

169

不妨設(shè)P("?,〃)，m>0,n>0,

由△尸耳心的面積為20,可得gwE|〃=c"=5〃=20,即〃=4,

由日一竺=1,可得機(jī)=型，故A符合題意：

1693

20

由P(y,4),且(-5,0),6(5,0),

1719

可得枕尸1=—,kPF2=—,

355

i2^n

則tanZFtPF2=3n爸=e(0,G),

+5x35

則N耳尸鳥(niǎo)<與,故C符合題意；

16+竺=又+3

由I尸耳+|「甲=

9333

則△巴譙的周長(zhǎng)為百+10=方，故3符合題意；

設(shè)△巴譙的內(nèi)切圓半徑為r,可得卜（|P/"+|"|+|耳名|）=/6g|4,

可得地廠=40,解得r=3,故。不符合題意.

32

故選：ABC.

22--）N

14.已知F「居分別為雙曲線5=1（a>0力>0）的左右焦點(diǎn)，且|耳其|=2"，點(diǎn)尸為

a'b'a

雙曲線右支上一點(diǎn)，/為△「百工的內(nèi)心，過(guò)原點(diǎn)O作尸/的平行線交尸月于K,若

S.f成立，則下列結(jié)論正確的有（）

,6-1,4s+\

AA.2=--------DB.2=--------

22

C.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為。D.PK=a

力2nA2Or2—9z?2

解：???|耳西|二竺，??.ZcnZn'——,整理得e-l=0（e為雙曲線的離心率），

aaa

設(shè)鳥(niǎo)的內(nèi)切圓半徑為r,

由雙曲線的定義得|P￡P(guān)瑪|=2,|耳丁|=2c,

S/歷=g?尸片"，S/怨=g?尸巴卜尸，S/KE=.加=cr,

；S“m=S上+2sg'；?JPg|.r=1|P^|.r+Acr,

故a="J二匹［=q=」^=墾I,所以人正確，B錯(cuò)誤.

2cc1+V52

2

設(shè)內(nèi)切圓與尸耳、PF1、6用的切點(diǎn)分別為M,N,T,

可得|PMRPN|.\FXM|=|FJ\,\F2N\=\FJ\.

由|即|一|尸瑪—|上NR耳T|—|^T|=2a,\FtF2\=\FtT\+\F2T\=2c,

可得|尸2T|=c-a,可得7的坐標(biāo)為(a,0),即/的橫坐標(biāo)為a,故C正確；

設(shè)尸/延長(zhǎng)線與《巴交于H,可得矗篇，由1尸￡1-1尸61=2?，

可得工=2!也，①由三角形的相似的性質(zhì)可得國(guó)=毆，②

IP耳I\FtH\\OH\\HFX\

由①②可得IPK|=q.故。正確.

故選：ACD.

三、填空題

15.已知雙曲線^--匕=1的左頂點(diǎn)為A,B,C分別為雙曲線左、右兩支上的點(diǎn)，且8C//x

94

軸，過(guò)3,C分別作直線AB,AC的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)。，若SM°=笞叵，則18cb

3瓜

解：由雙曲線方程二一f=1,得A（—3,0）,由題意設(shè)8（%，%）（%<0）,

94

）2

則點(diǎn)C（-x0,%）,得應(yīng)-近=1,且為H0.

94

直線回的斜率及一，則直線3D的方程為y-%=-5（x-x。）.

x+3yn

同理可得直線CD的方程為y-%=土口（工+x。），

%

"%=一也3》一為）

x=3

聯(lián)立4%,解得■

X。一3/、

y-y=——（X+X。）

0%

則"3,粵,結(jié)合|BC|=2|x0|,

4

得5ABe0=gx2|天岡一1=Ixoyo|,

2773

^ABCD~―

（白為為If2,又近一里=1

94

77

城+4%2_12=0,解得%2=2,則|為|=3矍,

BC\=2\x?|=3^.

故答案為：3瓜.

22

16.如圖，已知產(chǎn)為雙曲線=-[=1(4>0力>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線交兩漸近線于A,

ab

8兩點(diǎn).若NOW=120。，內(nèi)切圓的半徑r=叵心，則雙曲線的離心率為—.

5—4—

解：過(guò)尸(c,0)作FH垂直漸近線y=于",

???"43=120。，/.ZfAH=60o,門"1=爭(zhēng),

在中，由余弦定理知，|O用2=|OAF+|AF『-2|OA|“AF|VOS120。，

加2一21。4卜半匕?cos120°,

即c2=|OA|2

/□

解得|OA|=〃一」，

3

R

A_r

設(shè)AOW的內(nèi)心為M,作MV_LQ4于N,則NM4O=60。，\MN\=r='a~?,

,.V3..3a-y/3hicwcAi[AwA/3,3a->/3h\2a-4y/3h

/JAAKNT|=—|MN|=—————,|ON\^OA\-\AN\=a---b------———=-------------,

\fia-b

|MN|一5-6nnbx/3

tanZ.MON=-------=--------=—=—,即一=—,

ION|12a-4屜4a4

15

故答案為：——-.

4

r22

17.已知月，鳥(niǎo)分別為雙曲線=-=v=1（。＞0,。＞0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F,且斜率為

ab

&（上＞0）的直線/與雙曲線的右支交于A,8兩點(diǎn)，A46心的內(nèi)切圓圓心為。1,半徑為上

△明心的內(nèi)切圓圓心為。2,半徑為弓，則直線OO的方程為：_尤="_；若4=3",則

k=.

解：△A耳工的內(nèi)切圓圓心為。1,

邊A耳、AF2.片寫(xiě)上的切點(diǎn)分別為V、N、E,

則|AM|=|/W|,|耳M|=|f；E|,lENR^EI，

由|AM|—|A耳|=2a,得|AM|+|MG-(IAN|+|M；l)=2a,則|町|一|叫|=2a,

即IME|-|gE|=2a,記01的橫坐標(biāo)為多,則E(%,0),

于是%+c-(c-x())=2a,得x()=a,

同理可得內(nèi)心Q的橫坐標(biāo)也為〃，則有直線002的方程為》=

設(shè)直線/的傾斜角為夕，則/。g02=與，/。16。=