江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題及參考答案

高三數(shù)學(xué)考試（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．2．青少年近視情況日益嚴(yán)重，為了解情況，現(xiàn)從某校抽取部分學(xué)生，用對(duì)數(shù)視力表檢查視力情況，A組和B組數(shù)據(jù)結(jié)果用莖葉圖記錄（如圖所示），其中莖表示個(gè)位數(shù)，葉表示十分位數(shù)．對(duì)于這兩組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A．兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等 B．兩組數(shù)據(jù)的極差相等C．兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等 D．兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)相等3．在四面體中，為正三角形，與平面不垂直，則（）A．與可能垂直 B．A在平面內(nèi)的射影可能是BC．與不可能垂直 D．平面與平面不可能垂直4．若是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過(guò)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B． C． D．6．已知隨機(jī)變量X的分布列為（）Xt6P0.30.20.20.3若t在內(nèi)變化，當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最小值時(shí)，（）A． B． C．0.15 D．0.257．若一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為2，S是該等比數(shù)列前10項(xiàng)之和，是該等比數(shù)列前10項(xiàng)的倒數(shù)之和，則（）A．16 B．32 C．64 D．1288．已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)O處的切線與在點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為P，則（）A．2 B． C． D．9．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“為銳角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知A，B，C為橢圓D上的三點(diǎn)，為長(zhǎng)軸，，則D的離心率是（）A． B． C． D．11．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都存在，且，則必有（）A． B．C． D．12．已知數(shù)列共有m項(xiàng)，，且當(dāng)時(shí)，．當(dāng)項(xiàng)數(shù)m的最大值為220時(shí)，常數(shù)p的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．寫出一個(gè)滿足下列兩個(gè)條件的復(fù)數(shù)：_______．①的實(shí)部為5；②z的虛部不為0．14．已知兩個(gè)單位向量滿足與垂直，則_______．15．如圖為一個(gè)開關(guān)陣列，每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰（上、下相鄰或左、右相鄰）的開關(guān)改變狀態(tài)．若從這十六個(gè)開關(guān)中隨機(jī)選兩個(gè)不同的開關(guān)先后各按1次（例如：先按，再按），則和的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變的概率為_______．16．將3個(gè)的正方形都沿其中的一對(duì)鄰邊的中點(diǎn)剪開，每個(gè)正方形均分成兩個(gè)部分，如圖（1）所示，將這6個(gè)部分接于一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形上，如圖（2）所示．若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個(gè)七面體，則該七面體的體積為_______；若在該七面體內(nèi)放置一個(gè)小球，則小球半徑的最大值為_______．（本題第一空2分，第二空3分）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)．（1）過(guò)作該正方體的截面，使得該截面與平面平行，寫出作法，并說(shuō)明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）求的最大值；（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在上的值域?yàn)?，求m的取值范圍．19．（12分）2022年12月份以來(lái)，全國(guó)多個(gè)地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費(fèi)券，助力消費(fèi)復(fù)蘇．記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x（百萬(wàn)元），帶動(dòng)的消費(fèi)為y（百萬(wàn)元）．某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示．x33455668y1012131819212427（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的線性回歸方程．（2）（ⅰ）若該省A城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬(wàn)元的消費(fèi)券，利用（1）中求得的線性回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？（ⅱ）當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對(duì)值與估計(jì)值的比值不超過(guò)10%時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的．若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬(wàn)元的消費(fèi)券后，經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)為30百萬(wàn)元，請(qǐng)問(wèn)發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請(qǐng)分析可能存在的原因．參考公式：，，．當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．參考數(shù)據(jù)：．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求的最小值．（2）若，且．證明：（ⅰ）；（ⅱ）．21．（12分）已知等軸雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求C的方程；（2）若C上有兩點(diǎn)P，Q滿足，證明是定值．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心在極軸上，半徑為2，且圓C經(jīng)過(guò)極點(diǎn)．（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線的垂線，垂足分別為A，B，求面積的最大值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：．（2）記集合，試判斷A與B的關(guān)系，并說(shuō)明理由．高三數(shù)學(xué)考試參考答案（理科）1．D【解析】本題考查集合的交集，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以?．C【解析】本題以莖葉圖的形式考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力．A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4.65，B組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4.8，A錯(cuò)誤．A組數(shù)據(jù)的極差是1.2，B組數(shù)據(jù)的極差是1，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，C正確．A組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4.6，B組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4.8，D錯(cuò)誤．3．A【解析】本題考查空間中的垂直關(guān)系，考查空間想象能力與邏輯推理的核心素養(yǎng)．當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，與垂直，A正確，C錯(cuò)誤．若A在平面內(nèi)的射影是B，則與平面垂直，B錯(cuò)誤．平面與平面可能垂直，D錯(cuò)誤．4．C【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)．設(shè)，則，則是奇函數(shù)．5．A【解析】本題考查拋物線的定義，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．由題意可知，，則，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故點(diǎn)P的軌跡方程為．6．B【解析】本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．，當(dāng)時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望取得最小值．7．B【解析】本題考查等比數(shù)列，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．依題意可得該等比數(shù)列前10項(xiàng)的倒數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為4，公比為．故．8．A【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象的核心素養(yǎng)．由，可得，則曲線在點(diǎn)O處的切線的傾斜角為，設(shè)曲線在點(diǎn)A處的切線的傾斜角為，則．由圖可知，．9．C【解析】本題考查解三角形與充分必要條件的判定，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．由正弦定理，題中的不等式等價(jià)于．假設(shè)為鈍角三角形，則由余弦定理得這三個(gè)代數(shù)式中有兩個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，可得，所以為銳角三角形．若為銳角三角形，則這三個(gè)代數(shù)式均為正，所以．故“”是“為銳角三角形”的充要條件．10．D【解析】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)橢圓D的方程為，如圖，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得，解得，故．11．A【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與不等式的綜合，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．由，得．設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，從而．即，即．12．C【解析】本題考查數(shù)列的綜合，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)項(xiàng)數(shù)m最大時(shí)，，則，，將以上各式相加得，即．因?yàn)閙的最大值為220，所以，解得．13．（本題答案不唯一，只要滿足即可，例如）【解析】本題考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)，則，依題意可得．14．【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．依題意可得，則．15．【解析】本題考查古典概型與排列組合的應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)與邏輯推理的核心素養(yǎng)．要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按這五個(gè)開關(guān)中的一個(gè)，要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按這三個(gè)開關(guān)中的一個(gè)，所以要使得和的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變，則需按其他八個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)或中的兩個(gè)或中的兩個(gè)，故所求概率為．16．108；【解析】本題考查翻折問(wèn)題、多面體的體積、球體，考查空間想象能力、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．將平面圖形折疊并補(bǔ)形得到如圖（3）所示的正方體，該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，易得其體積為正方體體積的一半，即．當(dāng)小球?yàn)樵撈呙骟w的內(nèi)切球時(shí)，半徑最大，此球亦為正三棱錐的內(nèi)切球，，設(shè)O為的中心，則，高，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，（）在中，，得，，代入（），得．17．解：（1）取的中點(diǎn)H，連接，所以截面為要求作的截面．理由如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面．在正方形中，因?yàn)镚為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同上可得平面．又，所以平面平面．連接，易證，，則，所以，B，H，G四點(diǎn)共面，從而截面為要求作的截面．（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以．故直線與平面所成角的正弦值為．評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問(wèn)中，若得到的截面為，且證明了截面平面，第（1）問(wèn)只得3分．【2】第（2）問(wèn)中，平面的法向量不唯一，只要與共線即可．18．解：（1）依題意可得，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解．故的最大值為．（2）因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以．因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以m的取值范圍是．評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問(wèn)中，得到后，還可以由，得，所以，故的最大值為．【2】第（2）問(wèn)中，若得到，但最后沒(méi)有寫成區(qū)間形式，不扣分．19．解：（1）．，，，代入公式可得相關(guān)系數(shù)．由于且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．經(jīng)計(jì)算可得，．所以所求線性回歸方程為．（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬(wàn)元．（ⅱ）因?yàn)?，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不是理想的．發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平，A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量（只要寫出一個(gè)原因即可）。評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問(wèn)中，x，y的平均數(shù)只求對(duì)了一個(gè)，不給分．【2】第（2）問(wèn)的第（ⅱ）問(wèn)涉及的其他因素很多，比較主觀，學(xué)生只要答出一個(gè)比較合理的原因即可．20．（1）解：．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以．（2）證明：（ⅰ）由（1）可知，，因?yàn)?，所以，則，所以．（ⅱ）由得，要證，只需證，只需證，即證．令函數(shù)，則，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．所以，則，故．評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問(wèn)中，考生得到“當(dāng)時(shí)，”，但沒(méi)有寫單調(diào)遞減，不扣分；考生得到“當(dāng)時(shí)，”，但沒(méi)有寫單調(diào)遞增，同樣不扣分．【2】第（2）問(wèn)的第（ⅱ）問(wèn)未寫“由得”，直接得到“”，扣1分．21．（1）解：設(shè)C的方程為，不妨設(shè)右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．右焦點(diǎn)到漸近線的距離．因?yàn)镃為等軸雙曲線，所以．所以C的方程為．（2）證明：設(shè)．由，得，且，所以，則，即，平方后得，等式兩邊同時(shí)除以，得，即，即．所以是定值，且該定值為．評(píng)分細(xì)則：【1】第（1）問(wèn)中，C的方程寫為“”，不扣分．【2】第（2）問(wèn)還可以這樣解答：由，得P，Q必在C的同一支上且位居x軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P，Q在C的右支上，如圖所示．令，則．由得，則，以代k得，故（為定值）．22．解：（1）如圖，設(shè)為圓C上一點(diǎn)，O為極點(diǎn)，為圓C的直徑，連接，則，則．故圓C的極坐標(biāo)方程為．（2）以極