函數(shù)方程不等式以及它們的圖像

函數(shù)方程不等式以及它們的圖像第1頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念。函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，使問(wèn)題得到解決。2023/4/262第2頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日和函數(shù)有必然聯(lián)系的是方程，方程的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)的解就是函數(shù)也可以看作二元方程，通過(guò)方程進(jìn)行研究。2023/4/263第3頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日，在x軸下方則是的作用還可以使動(dòng)態(tài)的y=f(x)的圖像上、下、左、右的移動(dòng)。不等式是函數(shù)與方程關(guān)系的一個(gè)更為廣泛的補(bǔ)充。函數(shù)y=f(x)圖像在x軸上方是。不等式2023/4/264第4頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。2023/4/265第5頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在：從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式，或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。2023/4/266第6頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D像將使上述的思想具體化、形象化。它從幾何的角度描述問(wèn)題的本質(zhì)、變化的規(guī)律，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更具有生命力。2023/4/267第7頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單地歸結(jié)于函數(shù)、方程或是不等式，而是它們的綜合。通過(guò)解決這些數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅是對(duì)我們數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的考查，是對(duì)我們邏輯思維能力、形象思維能力、綜合解題能力、探索創(chuàng)新能力的考查，更重要的是讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間是如何相互聯(lián)系、相互滲透的，又是聯(lián)系滲透得那么驚人的深刻，那么意想不到的精彩。2023/4/268第8頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、典型習(xí)題例題1、已知實(shí)數(shù)，，，求與的范圍。2023/4/269第9頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：，且2023/4/2610第10頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：即a,b是一元二次方程的根，且兩根都大于c，令x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且都在又圖像開口向上的兩個(gè)不相等，則圖像與內(nèi)，2023/4/2611第11頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：xyoc2023/4/2612第12頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：2023/4/2613第13頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：,,2023/4/2614第14頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題2、已知，求函數(shù)的最大值和最小值。2023/4/2615第15頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：建立方程組（兩式相乘并相減）由題意x，y不能同時(shí)為零，不妨設(shè)2023/4/2616第16頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：即為關(guān)于的一元二次方程，有實(shí)根2023/4/2617第17頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題3、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，都有，且（1）求及；（2）證明f(x)是求。其圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，對(duì)任意的周期函數(shù)；（3）已知2023/4/2618第18頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（1）對(duì)任意的，都有類似地，

2023/4/2619第19頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（2）已知f(x)圖像關(guān)于x=1對(duì)稱（，都有）有

2023/4/2620第20頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：又f(x)是R上的偶函數(shù)即f(x)是以2為周期的周期函數(shù)2023/4/2621第21頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（3）由（2）知2n也是f(x)的周期（把1分為2n個(gè)的和）2023/4/2622第22頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：2023/4/2623第23頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題4、已知集合M是滿足下列性質(zhì)的的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，有成立。（2）設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像有公共點(diǎn)，證明：；（3）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。（1）函數(shù)是否屬于集合M？說(shuō)明理由；2023/4/2624第24頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（1）對(duì)于非零常數(shù)T，，由于對(duì)于任意的，不能恒成立，所以不屬于集合M。2023/4/2625第25頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（2）由題意可知方程組有解顯然不是方程的解，所以存在非零常數(shù)T，使得2023/4/2626第26頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：對(duì)于，有2023/4/2627第27頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：（3）當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，已知對(duì)于任意恒成立存在非零常數(shù)T，對(duì)于任意有成立，即2023/4/2628第28頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：①當(dāng)時(shí)，恒成立，②當(dāng)時(shí)，恒成立由于x的任意性，則只有當(dāng)?shù)臅r(shí)候可能恒成立2023/4/2629第29頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：由①②可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是2023/4/2630第30頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題5、函數(shù)在上有定義，且滿足時(shí)，有。（1）證明：在上是奇函數(shù)；2023/4/2631第31頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）對(duì)于數(shù)列，若，，試求：（3）求證：。；2023/4/2632第32頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明（1）：令令2023/4/2633第33頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明（1）：在上是奇函數(shù)；2023/4/2634第34頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明（2）：2023/4/2635第35頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明（2）：是以公比的等比數(shù)列為首項(xiàng)，2為2023/4/2636第36頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明（3）：由（2）2023/4/2637第37頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明（3）：證畢。2023/4/2638第38頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題6、已知，設(shè)P：函數(shù)單調(diào)遞減，Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，在R上求c的取值范圍。2023/4/2639第39頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減Q：不等式的解集為R函數(shù)在R上恒大于12023/4/2640第40頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：又當(dāng)函數(shù)在R上的最小值是2c，，即Q令2023/4/2641第41頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：若P正確且Q不正確若P不正確且Q正確的取值范圍是。2023/4/2642第42頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題7、已知函數(shù)（1）若的定義域?yàn)榕袛嘣诙x域上的增減性，并用定時(shí)，使的值域?yàn)榈亩x區(qū)間請(qǐng)說(shuō)明理由。。，義證明；（2）當(dāng)是否存在？2023/4/2643第43頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（1）：或，又

的定義域?yàn)閯t，2023/4/2644第44頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（1）：2023/4/2645第45頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（1）：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，時(shí)，，上是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)在2023/4/2646第46頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（2）：由(1)可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則由其值域?yàn)?023/4/2647第47頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（2）：2023/4/2648第48頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（2）：則為方程的兩個(gè)根2023/4/2649第49頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（2）：方程有兩個(gè)大于3的不等實(shí)根，令2023/4/2650第50頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（2）：xyo32023/4/2651第51頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解（2）：當(dāng)時(shí)，存在這樣的區(qū)間；時(shí)，不存在這樣的區(qū)間。當(dāng)2023/4/2652第52頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例題8、設(shè)函數(shù)和，已知時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。恒有2023/4/2653第53頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：，對(duì)于恒成立，，令2023/4/2654第54頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：表示以圓為的上半部分；，表示斜率為，截距為的平行直線系（a為參變量）；圓心，2為半徑的2023/4/2655第55頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：xyo-2時(shí)，恒有的幾何意義為半圓恒在直線下方（如圖）2023/4/2656第56頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：直線與半圓相切時(shí)，有（截距）2023/4/2657第57頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：由圖可知，當(dāng)截距，即時(shí)，恒有，即恒有。2023/4/2658第58頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題9、已知拋物線和兩點(diǎn)直線交曲線C于第一象限內(nèi)的M、N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)，若直線BP與x軸交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在A的左側(cè)，求直線MN的斜率k的取值范圍。，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k的2023/4/2659第59頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：（設(shè)直線MN的方程為由）2023/4/2660第60頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：設(shè)由（1）式直線方程為，令2023/4/2661第61頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：已知點(diǎn)Q在點(diǎn)左側(cè)即直線MN的斜率k的取值范圍是2023/4/2662第62頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例題10、已知對(duì)于任意的總過(guò)定點(diǎn)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。，拋物線2023/4/2663第63頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：已知拋物線總過(guò)定點(diǎn)該方程對(duì)于任意的均成立2023/4/2664第64頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：拋物線方程為2023/4/2665第65頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)令y=02023/4/2666第66頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：當(dāng)時(shí)，由2023/4/2667第67頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：當(dāng)時(shí)，由當(dāng)時(shí)，2023/4/2668第68頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

解：。綜上所述，對(duì)于任意的，而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是,所以拋物線與2023/4/2669第69頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。(1)求在上的解析式；(2)證明在上是減函數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式在內(nèi)的解集。例題11、2023/4/2670第70頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（1）解：，有則已知當(dāng)時(shí)，，2023/4/2671第71頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（1）解：2023/4/2672第72頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）證：2023/4/2673第73頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）證：即，在上是減函數(shù)。2023/4/2674第74頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）解：由(2)可知時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于在上是減函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根2023/4/2675第75頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）解：(不合題意，舍去）2023/4/2676第76頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）解：2023/4/2677第77頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題12、已知函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)、，且滿足，。2023/4/2678第78頁(yè)，共88頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（1）求證