第2章行列式5講性質(zhì)

1.2n階行列式一、排列與逆序引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個(gè)位1232種放法1種放法種放法.共有問(wèn)題定義把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）.

個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例同理

在一個(gè)排列中，若數(shù)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.例如排列32514中，定義

我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)32514逆序逆序逆序定義

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如排列32514中，32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法方法1分別計(jì)算出排在前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出這個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法2例分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù).解16352487二、n階行列式三階行列式說(shuō)明（1）三階行列式共有項(xiàng)，即項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列．例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列定義說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;3、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列個(gè)元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;5、的符號(hào)為例

計(jì)算上三角行列式例3同理可得下三角行列式例4

證明對(duì)角行列式例2

在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).解431265的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記證明按定義

又因?yàn)樾辛惺紻可表示為故證畢性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).證明設(shè)行列式說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.是由行列式變換兩行得到的,于是則有即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有故證畢性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如性質(zhì)7

一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如性質(zhì)8

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證同理相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)例１三、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解例2

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得例3證明證明例4例5

計(jì)算行列式解按第一行展開，得例6

計(jì)算