2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)專家點(diǎn)撥-反比例函數(shù)

一、考點(diǎn)突破本講主要考點(diǎn)包括：反比例函數(shù)的定義、用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的選擇題較為常見，這類題目往往與一次函數(shù)和二次函數(shù)相結(jié)合，判斷函數(shù)圖象經(jīng)過的象限。用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式一般以解答題的形式出現(xiàn)，同時(shí)考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，常常綜合一次函數(shù)、二次函數(shù)、方程、方程組、不等式、三角形、四邊形等知識。與反比例函數(shù)有關(guān)的試題在中考試題中難度中等偏大，所占分值在6分以上。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示本講重點(diǎn)是理解反比例函數(shù)的意義，能夠結(jié)合函數(shù)圖象掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)；難點(diǎn)是反比例函數(shù)的增減性，特別是自變量的取值在不同象限時(shí)函數(shù)值的變化情況。一、反比例函數(shù)（1）一般地，形如y＝eq\f(k,x)（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)。其表達(dá)式也可以寫成y＝kx－1，有時(shí)還可利用變形式子xy＝k。（2）確定解析式的方法是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需一對對應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定解析式。二、反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象（1）反比例函數(shù)的圖象的形狀是雙曲線，它不是連續(xù)的整體圖形，而是斷開的兩個(gè)獨(dú)立的分支，它無限接近兩坐標(biāo)軸但永遠(yuǎn)也不能到達(dá)坐標(biāo)軸。（2）反比例函數(shù)的圖象的位置與增減性。當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時(shí)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大。（3）反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可用下面的圖表表示出來。函數(shù)圖象性質(zhì)分布y＝eq\f(k,x)，k＞0在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小第一、三象限y＝eq\f(k,x)，k＜0在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大第二、四象限能力提升類例1選擇題（1）如圖，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，－2）。則當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是（）A.y＞1 B.0＜y＜1 C.y＞2 D.0＜y（2）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝eq\f(k,x)（k≠0）與y＝kx＋k（k≠0）的圖象大致是（）一點(diǎn)通：（1）先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出k，再根據(jù)圖象求出當(dāng)x＞1時(shí)y的取值范圍；（2）當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象過第一、三象限，一次函數(shù)的圖象過第一、二、三象限，選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)k＜0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象過第二、四象限，一次函數(shù)的圖象過第二、三、四象限，沒有符合題意的選項(xiàng)。故選C。答案：（1）D；（2）C。點(diǎn)評：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，有兩個(gè)分支，其分布情況與一次函數(shù)類似，也是由k來確定的。所以解答這類問題時(shí)，通常分k＞0和k＜0這兩種情況討論。例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－2x的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，n）。（1）求反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的解析式；（2）若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足PA＝OA，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。一點(diǎn)通：（1）先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式求出n，再代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k；（2）可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。答案：（1）把點(diǎn)A（－1，n）代入y＝－2x得n＝2，即A（－1，2），把A（－1，2）代入y＝eq\f(k,x)得k＝－2，所以y＝－eq\f(2,x)；（2）（－2，0）或（0，4）。點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，由于反比例函數(shù)解析式中只有一個(gè)待定系數(shù)k，所以只要知道其圖象上的一點(diǎn)即可。綜合運(yùn)用類例3填空題（1）已知如圖，A是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上的一點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，且△ABO的面積是3，則k的值是__________。（2）如圖，A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，△ABP的面積為2，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為__________。一點(diǎn)通：根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出三角形一邊長和這邊上的高，從而求出其面積，而本題正好相反。答案：（1）6；（2）y＝eq\f(4,x)。點(diǎn)評：像本題這樣，已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)上一點(diǎn)A，△ABO或△ABP的面積是eq\f(1,2)·︱k︱，這類題目花樣在不斷翻新，特別是中考題中，形式越來越多。例4已知y是x的函數(shù)，且其對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示，你認(rèn)為y是x的正比例函數(shù)還是反比例函數(shù)？你能寫出函數(shù)的表達(dá)式，并填上表格中的空缺嗎？x…－3－2134…y…eq\f(3,2)3－eq\f(3,2)－eq\f(3,4)…一點(diǎn)通：若y是x的正比例函數(shù)，則設(shè)y＝kx，把x＝－2，y＝eq\f(3,2)代入，得eq\f(3,2)＝－2k，解得k＝－eq\f(3,4)，所以y＝－eq\f(3,4)x。對y＝－eq\f(3,4)x，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝－eq\f(3,4)×4＝－3≠－eq\f(3,4)，所以y不是x的正比例函數(shù)。若y是x的反比例函數(shù)，則設(shè)y＝eq\f(k,x)，把x＝－3，y＝eq\f(3,2)代入，得k＝－3，所以y＝eq\f(－3,x)，對y＝eq\f(－3,x)，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝－eq\f(3,4)，所以y是x的反比例函數(shù)，其表達(dá)式為y＝eq\f(－3,x)。答案：y是x的反比例函數(shù)，其表達(dá)式為y＝eq\f(－3,x)，補(bǔ)全表格如下：x…－3－2－11234…y…1eq\f(3,2)3－3－eq\f(3,2)－1－eq\f(3,4)…點(diǎn)評：通過表格可獲取兩對y與x的對應(yīng)值，由于正比例函數(shù)和反比例函數(shù)都可以根據(jù)一對對應(yīng)值確定k的值，所以先假設(shè)這兩種函數(shù)中的一種，確定表達(dá)式后再代入另一對數(shù)值驗(yàn)證便可。思維拓展類例5已知n是正整數(shù)，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象上的一列點(diǎn)，其中x1＝1，x2＝2，…，xn＝n，…。記A1＝x1y2，A2＝x2y3，…，An＝xnyn＋1，…。若A1＝a（a是非零常數(shù)），則A1·A2·…·An的值是__________（用含a和n的代數(shù)式表示）。一點(diǎn)通：因?yàn)锳1＝x1y2，A1＝a，x1＝1，所以y2＝a。因?yàn)镻（x2，y2）是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象上的點(diǎn)，x2＝2，所以a＝eq\f(k,2)，即k＝2a。A1·A2·…·An＝x1y2·x2y3·…·xnyn＋1＝x1·（x2y2）·（x3y3）·…·（xnyn）·yn＋1＝x1·kn－1·yn＋1＝kn－1·eq\f(k,xn＋1)＝eq\f(kn,xn＋1)＝eq\f(（2a）n,n＋1)。答案：eq\f(（2a）n,n＋1)。點(diǎn)評：本題屬于規(guī)律探索型問題，綜合考查了反比例函數(shù)、整式、分式等知識，解題關(guān)鍵是找出k與a的關(guān)系。例6如圖，在直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）。過點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N。（1）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；（3）若一點(diǎn)通：根據(jù)D、E的坐標(biāo)可以求出直線DE的解析式，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)可以求出反比例函數(shù)的解析式。對于反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)（x＞0）來說，m越大點(diǎn)M和點(diǎn)N越靠近點(diǎn)B，依此可判斷答案：（1）設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，∵點(diǎn)D，E的坐標(biāo)為（0，3）、（6，0），∴eq\b\lc\{(\a\al(3＝b,0＝6k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\al(k＝－\f(1,2),b＝3))，∴y＝－eq\f(1,2)x＋3?！唿c(diǎn)M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是長方形，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2。又∵點(diǎn)M在直線y＝－eq\f(1,2)x＋3上，∴2＝－eq\f(1,2)x＋3，∴x＝2?！郙（2，2）。（2）∵y＝eq\f(m,x)（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（2，2），∴m＝4?！鄖＝eq\f(4,x)。又∵點(diǎn)N在BC邊上，B（4，2），∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4?！唿c(diǎn)N在直線y＝－eq\f(1,2)x＋3上，∴y＝1?！郚（4，1）?！弋?dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(4,x)＝1，∴點(diǎn)N在函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上。（3）4≤m≤8。點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，需用的知識點(diǎn)主要包括：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、四邊形等。主要考查用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象與幾何圖形的交點(diǎn)問題。反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)（k≠0）中的比例系數(shù)k的幾何意義過雙曲線y＝eq\f(k,x)上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，所得的長方形PMON的面積為S＝PM·PN＝︱y︱·︱x︱＝︱xy︱，∵y＝eq\f(k,x)，∴xy＝k，∴S＝︱k︱。即：①過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得長方形的面積為︱k︱。②過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸（y軸）的垂線，由該點(diǎn)、垂足和原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積都是eq\f(1,2)︱k︱。比較函數(shù)值的大小時(shí)，要注意相應(yīng)點(diǎn)所在的象限由于反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它的兩個(gè)分支分別在兩個(gè)象限，所以比較函數(shù)值的大小時(shí)，一定要注意考慮相應(yīng)點(diǎn)所在的象限，不能一概而論。如：在函數(shù)y＝－eq\f(1,x)的圖象上有三點(diǎn)（－3，y1）、（－2，y2）、（4，y3），則函數(shù)值的大小關(guān)系是__________。錯解：因?yàn)椋?＜0，所以y隨x的增大而增大，又因?yàn)椋?＜－2＜4，所以y1＜y2＜y3。分析：本題中的點(diǎn)（－3，y1）、（－2，y2）在雙曲線所在第二象限的分支上，因?yàn)椋?＜－2，所以y1＜y2，且y1、y2都是正數(shù)；而點(diǎn)（4，y3）在雙曲線所在第四象限的分支上，y3＜0，所以y1、y2、y3的大小關(guān)系是y3＜y1＜y2。（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題1.某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－1，6），則下列各點(diǎn)中，此函數(shù)圖象也經(jīng)過的點(diǎn)是（）A.（－3，2） B.（3，2） C.（2，3） D.（6，1）2.若函數(shù)y＝eq\f(m＋2,x)的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是（）A.m＞－2 B.m＜－2 C.m＞2 D.m＜23.如圖所示，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，從點(diǎn)B分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A、C。若△ABC的面積是4，則反比例函數(shù)的解析式是（）A.y＝－eq\f(8,x) B.y＝eq\f(8,x) C.y＝－eq\f(4,x) D.y＝eq\f(4,x)*4.如圖，A、B是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖象上兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E、F分別在坐標(biāo)軸上，且與點(diǎn)A、B、O構(gòu)成正方形和長方形。若正方形OCAD的面積為6，則長方形OEBF的面積是（）A.3 B.6 C.9 D.12**5.已知點(diǎn)（－1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數(shù)y＝eq\f(－k2－1,x)的圖象上。下列結(jié)論中正確的是（）A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y1＞y2 D.y2＞y3＞y**6.函數(shù)y＝－ax＋a與y＝eq\f(－a,x)（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）二、填空題7.已知反比例函數(shù)y＝eq\f(1－m,x)的圖象如圖，則m的取值范圍是__________。8.如圖所示，點(diǎn)A是雙曲線y＝－eq\f(1,x)在第二象限的分支上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B、C、D分別是點(diǎn)A關(guān)于x軸、原點(diǎn)、y軸的對稱點(diǎn)，則四邊形ABCD的面積是__________。*9.已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)的圖象上。若x1x2＝－3，則y1y2的值為__________。*10.已知方程組eq\b\lc\{(\a\al(2x＋y＝4,x－y＝5))的解為eq\b\lc\{(\a\al(x＝m,y＝n))，又知點(diǎn)A（m，n）在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，則k的值是__________。三、綜合運(yùn)用題11.面積一定的長方形的相鄰兩邊長分別為xcm和ycm，下表給出了x和y的一些值：x（cm）14810y（cm）105（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)求出的函數(shù)關(guān)系式完成上表。12.已知點(diǎn)P（2，2）在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)（k≠0）的圖象上，（1）當(dāng)x＝－3時(shí)，求y的值；（2）當(dāng)1＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍。*13.下圖中曲線是反比例函數(shù)y＝eq\f(n＋7,x)的圖象的一支。（1）這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支位于哪個(gè)象限？常數(shù)n的取值范圍是什么？（2）若一次函數(shù)y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，△AOB的面積為2，求n的值。**14.如圖，已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（－1，m），AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為2。若直線y＝ax＋b經(jīng)過點(diǎn)A，并且經(jīng)過反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上另一點(diǎn)C（n，－2）。（1）求直線y＝ax＋b的解析式；（2）設(shè)直線y＝ax＋b與x軸交于點(diǎn)M，求AM的長。四、拓廣探索題**15.如圖，正比例函數(shù)y＝eq\f(1,2)x的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1。（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小。

一、選擇題1.A解析：可先根據(jù)點(diǎn)（－1，6）確定函數(shù)的解析式，再檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)中哪個(gè)點(diǎn)在其圖象上，可根據(jù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之積都等于k來判斷，（－1）×6＝（－3）×2，故選A。2.B解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(m＋2,x)的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，所以m＋2＜0，即m＜－2。3.A解析：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)︱xy︱＝4，又因?yàn)辄c(diǎn)B在第四象限內(nèi)，所以xy＝－8，即k＝－8，所以y＝－eq\f(8,x)。4.B解析：正方形OCAD的面積為6，即OD·OC＝6，所以︱xA·yA︱＝6，又因?yàn)辄c(diǎn)A在y＝eq\f(k,x)的圖象上，所以k＝︱xA·yA︱＝6。點(diǎn)B在y＝eq\f(k,x)的圖象上，所以︱xB·yB︱＝6＝OE·OF，即長方形OEBF的面積是6。5.B由反比例函數(shù)y＝eq\f(－k2－1,x)可知其圖象分布在第二、第四象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大。當(dāng)x＝－1時(shí)，y1＞0；當(dāng)x＝2時(shí)，y2＜0；當(dāng)x＝3時(shí)，y3＜0，且y2＜y3。即y1＞y3＞y2。6.A解析：由函數(shù)圖象判斷－a的正負(fù)，看是否一致，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝－ax＋a中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即直線過定點(diǎn)（1，0），所以可排除B和D。在A中，根據(jù)直線的圖象可知－a＜0，根據(jù)雙曲線的圖象可知－a＜0，它們是一致的。在C中，根據(jù)直線的圖象可知－a＞0，根據(jù)雙曲線的圖象可知－a＜0，它們不一致，應(yīng)排除，故選A。二、填空題7.m＜1解析：由圖象可知，1－m＞0，即m＜1。8.4解析：點(diǎn)A與點(diǎn)O所形成的長方形的面積是1，由對稱性可知四邊形ABCD的面積是4。9.－12解析：根據(jù)題意可得y1＝eq\f(6,x1)，y2＝eq\f(6,x2)，所以y1y2＝eq\f(6,x1)·eq\f(6,x2)＝eq\f(36,x1x2)，因?yàn)閤1x2＝－3，所以y1y2＝－12。10.－6解析：解方程組eq\b\lc\{(\a\al(2x＋y＝4,x－y＝5))得eq\b\lc\{(\a\al(x＝3,y＝－2))，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，－2），代入y＝eq\f(k,x)得k＝－6。三、綜合運(yùn)用題11.解：（1）y＝eq\f(20,x)；（2）如下表所示：x（cm）124810y（cm）201052.5212.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（2，2）在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，所以k＝4，即y＝eq\f(4,x)。當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝－eq\f(4,3)。（2）因?yàn)閗＝4，所以在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，所以當(dāng)1＜x＜3時(shí)，eq\f(4,3)＜y＜4。13.解：（1）由雙曲線的對稱性可知另一分支在第四象限，所以n＋7＜0，即n＜－7；（2）∵y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)與x軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)是0，∴0＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)，解得x＝2，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），又∵△AOB面積是2，∴A點(diǎn)縱坐標(biāo)是2，代入y＝－eq\f(2,3)