動(dòng)量定理文理

動(dòng)量定理文理第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§10–1動(dòng)量與沖量一.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量由重心坐標(biāo)公式(見(jiàn)p99式(3–29)定義式:可寫成一矢量表達(dá)式:(參見(jiàn)p99式(3–27)2第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一此式為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的位矢表達(dá)式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得:或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量還可以用質(zhì)心的速度與總質(zhì)量的乘積來(lái)度量.3第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一l例1.圖示均質(zhì)物體,質(zhì)量皆為m,試問(wèn)各物體的動(dòng)量大小為多少?例2.求系統(tǒng)的動(dòng)量.已知OA=l,AB=L,輪子的半徑為R,且作純滾動(dòng).三者都為均質(zhì)且質(zhì)量皆為m.在圖示瞬時(shí),OA桿的角速度為.解:首先求出各物體質(zhì)心的速度.動(dòng)量方向水平向左三個(gè)物體的質(zhì)心速度的方向相同.動(dòng)量的矢量和轉(zhuǎn)化為代數(shù)和.OAB4第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ACBOC1例3.圖示橢圓規(guī)尺AB的質(zhì)量為2m1,曲柄OC的質(zhì)量為m1,而滑塊A和B的質(zhì)量皆為m2.已知:OC=AC=CB=l;曲柄和尺的質(zhì)心分別在其中點(diǎn)上;曲柄繞O軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng).開(kāi)始時(shí)曲柄水平向右,求此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量.解1.建立坐標(biāo)如圖xy圖示位置,AB規(guī)尺的動(dòng)量曲柄OC的動(dòng)量滑塊A的動(dòng)量滑塊B的動(dòng)量5第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ACBOC1xy圖示位置,AB規(guī)尺的動(dòng)量曲柄OC的動(dòng)量滑塊A的動(dòng)量滑塊B的動(dòng)量系統(tǒng)的動(dòng)量:6第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解2.建立坐標(biāo)系求質(zhì)心.ACBOC1xy7第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xyACBOC18第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ACBOC1解3.C點(diǎn)不僅是AB桿的質(zhì)心,同時(shí)也是AB桿和A、B物塊組成的系統(tǒng)的質(zhì)心.而C1是OC桿的質(zhì)心.它們的方向是相同的,都垂直于OC桿(方向與VC的方向相同).系統(tǒng)的動(dòng)量大小為9第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.沖量沖量是力的時(shí)間積累,一般表示為:沖量是矢量,可沿直角坐標(biāo)軸分解為三個(gè)分量對(duì)于常力矢,中學(xué)我們已知,沖量是物體動(dòng)量改變的度量.判斷下述說(shuō)法是否正確?在某段時(shí)間內(nèi),沖量為零,則物體所受的力為零?在某段時(shí)間內(nèi),物體所受的力為零,則沖量為零.沖量可沿自然坐標(biāo)軸分解嗎?即可以有的積分式?10第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§10–2動(dòng)量定理設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系｛mi

｝i=1、2、3、4……n對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)任意一質(zhì)點(diǎn)mi,動(dòng)量定理可寫成:對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,動(dòng)量定理可寫成:微分號(hào)和求和號(hào)交換后可有:11第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一此五式均是動(dòng)量定理的不同的導(dǎo)數(shù)形式亦稱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理任何系統(tǒng)的內(nèi)力之和恒為零,所以有:對(duì)于封閉的質(zhì)量系統(tǒng),(1)式可寫成:將動(dòng)量用總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積表示,則(1)式變?yōu)?還可以寫成最一般的形式:12第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.公式(1)(2)(3)(4)(5)的力學(xué)意義是等價(jià)的,適用于不同形式的力學(xué)系統(tǒng).其中(3)(4)兩式也稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.此五個(gè)公式是動(dòng)量定理的導(dǎo)數(shù)形式,在本課程中最常用.還有相應(yīng)的積分形式.(見(jiàn)書上P248)◆幾點(diǎn)說(shuō)明:4.動(dòng)量定理是矢量定理,在具體用到相應(yīng)的公式時(shí)一般用的是其投影形式.最常用的是直角坐標(biāo)系下的投影.(見(jiàn)書上P248)2.稱為外力系的主矢量,前面的五個(gè)公式說(shuō)明力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)量的變化只與外力系的主矢量有關(guān).兩個(gè)主矢相同的力學(xué)并不一定是等效力系,但是它們對(duì)同一力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)量的影響卻是相同的.13第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4.電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上,定子的質(zhì)量為m1,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2.設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1,而轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2由于制造的誤差到O1的距離為e.已知轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),求基礎(chǔ)的支座反力.解:取系統(tǒng)分析其受力與運(yùn)動(dòng)如圖示,建立O1－xy坐標(biāo)系(與靜系固連).▲:(1)本題求出的Fx和Fy只是地腳螺栓和地面對(duì)基礎(chǔ)底座作用力的等 效力.(2)即使有未知的約束力偶,本題不可能求得.動(dòng)量定理的式子里不會(huì) 出現(xiàn)力偶或力矩.O1O2φωxy14第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一建立坐標(biāo)系O1－xy如圖示O1O2φωxy用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解:由質(zhì)心坐標(biāo)公式:由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:15第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5.重為P1的物塊A沿傾角為α重量為W的斜面下滑,通過(guò)滑輪及繩索帶動(dòng)重為P2的物塊B運(yùn)動(dòng).略去各處摩擦,不計(jì)滑輪和繩索的重量求:物塊運(yùn)動(dòng)時(shí),臺(tái)階和地面對(duì)斜面的約束反力.解a2a1

P1WP2由動(dòng)力學(xué)基本方程聯(lián)立(1)、(2)由‘隔離法’可求得:分別取A、B物塊16第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一a2

a1P1WP2xya2a1

P1WP2在x方向投影得:再取系統(tǒng)分析系統(tǒng)的受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示在y方向投影得:17第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6.均質(zhì)桿OA=2l,重P,繞過(guò)O端的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)到 與水平成角時(shí)其角速度與角加速度分別為

與.求:此時(shí)OA桿在O端的約束反力.COA解:取桿分析其運(yùn)動(dòng)和受力.

OAC將O點(diǎn)的未知力沿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的切向和法向分解.由已知條件可知,質(zhì)心加速度為法向投影為:由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理切向投影為:18第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§10－3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒. 如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢等于零,(不可說(shuō)外力系為零)則系統(tǒng)的動(dòng)量保持為一常矢量. 或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度為一常矢. 如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢在某一方向上的投影為零, 則系統(tǒng)的動(dòng)量在此方向上的投影保持為一常量. 或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度在此方向上的投影不變. ▲:在什么情況下用動(dòng)量定理?(1)求剛體尤其剛體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的約束反力及線加速度問(wèn)題.(2)守恒條件下的速度、位移和運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒是系統(tǒng)的動(dòng)量守恒的另一種描述.在動(dòng)量守恒的質(zhì)量系統(tǒng)中,系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以有變化,但系統(tǒng)的總動(dòng)量是不變的,或者說(shuō),系統(tǒng)的質(zhì)量中心的速度是不變的.19第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例7.(書上例10－3)物塊A的質(zhì)量為mA,可沿光滑水平面自由滑動(dòng).小球B的質(zhì)量為mB,以不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿與之固連,細(xì)桿的另一頭鉸接在物塊A上,桿長(zhǎng)為L(zhǎng).初始時(shí)系統(tǒng)靜止并有初始角0

.釋放后,細(xì)桿以=0cost的規(guī)律擺動(dòng)(是常數(shù))求:物塊A的最大速度.解:水平方向上系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.LBA任何時(shí)候在水平方向上都有:又由(1)、(2)′20第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例8.(書上習(xí)10–4)均質(zhì)桿AB=L,直立于光滑的水平面上.求它從鉛直位置無(wú)初速地倒下時(shí),端點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡.OCxy從鉛垂位置倒下后,任意時(shí)刻都有:任意時(shí)刻,A點(diǎn)的坐標(biāo)可表示成:二式聯(lián)立消去后可得:A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓曲線.αAB21第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例9.一質(zhì)量為210kg的小船靜止地靠在岸邊附近.船頭站立一人,質(zhì)量70kg.此人目測(cè)自己離岸邊的距離為0.8m,于是便采取了如下的方法上岸:先將身體的重心前傾 0.4m,然后邁腿前跨0.4m.結(jié)果他卻踏入水中.假如他目測(cè)的距離是正確的.船在 水中的阻力忽略不計(jì).求他跨入水中時(shí),腳離岸邊的距離.解:人船系統(tǒng)質(zhì)心在水平方向守恒xy答:此人跨人水中,腳離岸邊有0.1m.—質(zhì)心水平坐標(biāo)值在系統(tǒng)變化中是一常數(shù).建立坐標(biāo)如圖示22第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例10.(習(xí)10–11)均質(zhì)桿AG與BG由相同的材料制成,在G點(diǎn)鉸接,二桿位于同一鉛垂面內(nèi),如圖示.AG=250mm,BG=400mm.若GG1=240mm時(shí),系統(tǒng)由靜止釋放.求當(dāng)A、B、G在同一直線上時(shí),A與B兩端點(diǎn)各自移動(dòng)的距離.解:建立坐標(biāo)系如圖示由已知條件,相關(guān)尺寸如圖由均質(zhì),不妨設(shè)mAG=250個(gè)單位mGB=400個(gè)單位由水平方向質(zhì)心坐標(biāo)守恒可得:設(shè)A點(diǎn)向左移動(dòng)x距離B點(diǎn)的位移為:23第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一又解:建立過(guò)質(zhì)心的坐標(biāo)系如圖示設(shè)質(zhì)心橫坐標(biāo)為零,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的質(zhì)心橫坐標(biāo)守恒由系統(tǒng)為均質(zhì)桿系,在成水平狀態(tài)時(shí)或24第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.(書上例10–5)均質(zhì)曲柄AB=r,質(zhì)量為m1,設(shè)受某力偶作用以不變的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D.已知滑槽連桿及活塞組合體總質(zhì)量為m2,質(zhì)心為C,且C點(diǎn)到滑槽中心線距離為b.不計(jì)摩擦及滑塊B的質(zhì)量,求作用在曲柄軸A處的最大水平約束力Fx.xyDCAB解:建立坐標(biāo)如圖示,考察質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)由質(zhì)心坐標(biāo)公式由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在x方向的投影:25第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xyDCAB另解:先求系統(tǒng)各部件的質(zhì)心加速度例11.(書上例10–5)均質(zhì)曲柄AB=r,質(zhì)量為m1,設(shè)受某力偶作用以不變的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D.已知滑槽連桿及活塞組合體總質(zhì)量為m2,質(zhì)心為C,且C點(diǎn)到滑槽中心線距離為b.不計(jì)摩擦及滑塊B的質(zhì)量,求作用在曲柄軸A處的最大水平約束力Fx.滑槽連桿及活塞組合體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為由系統(tǒng)的動(dòng)量定理:沿水平方向投影26第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一◆質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和某些常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象:高射炮打飛機(jī),炮彈是在空中爆炸的.炮彈出膛后應(yīng)是一拋物線的運(yùn)動(dòng)軌跡,原因是外力只有重力,爆炸后,彈片的飛行方向是四面八方的,但是只要沒(méi)有彈片落地或擊中其他物體,炮彈的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡仍然是既定的拋物線.爆破山石時(shí),土石碎塊向各處飛落,在尚無(wú)碎石落地之前,其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡是與拋射質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一樣的,定向爆破時(shí),可以根據(jù)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡,預(yù)先估計(jì)出大部分土石塊堆落的地方.◆質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)力學(xué)基本定律:質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)力學(xué)基本方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式很相似,但是它們描述的物理現(xiàn)象并不相同.動(dòng)力學(xué)基本方程是描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的,表示是質(zhì)點(diǎn)所受到的合力;表示是質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力系的矢量和(主矢)是描述質(zhì)點(diǎn)系或剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理27第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期一★定常流動(dòng)的,不可壓縮流體上的動(dòng)約束力問(wèn)題. 我們可以想象:一段管中的流體如果進(jìn)口速度與出口速度不相等,(即使進(jìn)出口的速率相等但是管道是彎曲的,則二者的速度仍不等.)表明這一段流體內(nèi)產(chǎn)生了加速度.有加速度必有力作用在流體上.這力就是管壁作用在流體上的附加動(dòng)約束力.如果流體是不可壓縮的且定常流動(dòng)的,我們便可通過(guò)動(dòng)量定理得到相應(yīng)的計(jì)算公式: 其中,qv為流體單位時(shí)間流過(guò)的體積,即是流量.是流體的密度.