專題75圖形的相似復(fù)習(xí)指導(dǎo)2018一輪微突破解析版

201805形的相似復(fù)習(xí)指【專題綜述考查比例的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、圖形的位似及應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問題的能力.【方法解讀例1：如圖所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交AB邊于點(diǎn)Q，若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長為（ 4A、 B、33

C、3 D 如圖，已知G、H分別是?ABCD對邊AD、BC上的點(diǎn)，直線GH分別交BADC的延長線E、

S

1CH 2BDEFM，求證：MGMEMFMH27.2【答案】（1）1；（2）3S1S18SS

19平行四邊形ABCDCFH∽DFG

AD//BCS

CH1S

132

平行四邊形ABCD

AD//BCMBMH， 平行四邊形ABCDMEMB MEMH MGMEMFMH

一個△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（1）A1，B1，C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上．2鍵要抓住已知圖形△ABC的特征，如∠ABC＝135°，且夾該角的兩邊之比為 ，這樣就容易找到解2【來源】2015屆浙江省金華市青春九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析【答案】=最長的長度為△A1B1C1，△A1B1C1的面積可用相似比求解2試題解析：利用勾股定理得出△ABC各邊長2

，BC=2，AC=10 =12∴△A1B1C1的面積為：5．3OABC（00（－20（－21（01現(xiàn)把各點(diǎn)的2OF，求證：矩形OABC∽矩形ODEF 因此，矩形OABC∽矩形EF．

【解讀】欲證矩形OABC∽矩形ODEF，只須證明四個角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例．由于ABCODEF都是如圖，在正方形網(wǎng)格中，四邊形TABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為T1,1,A2,3,B3,3C42以點(diǎn)T1,1為位似中心，在位似中心的同側(cè)將四邊形TABC2ABCA

B'

C畫出四邊形TAB'CA

B'

CA' ），B' ），C'（ 在（1）中，若Da,b為線段AC上任一點(diǎn)，則變化后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D'的坐標(biāo)為

A'3,5

B'5,5

C'7,3；(3)2a1,2b試題解析：（1）如圖所示：四邊形TAB'C（2）A'3,5

B'5,5

C'7,3，（3）D的坐標(biāo)為2a12b1，米，這時的影長GH=5米，如果的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）BD=7.5米，將BD=7.5米代入①，得AB＝5.95米≈6.0米，即路燈桿AB6.0【解讀】可利用Rt△ABE∽Rt△CDE，AB公用，CD＝FG，來列方程求解中國高鐵近年來用世界的速度不斷發(fā)展已成為當(dāng)代中國一張耀眼的“國家名片”修建高鐵時常常要逢山開道、遇水搭橋。如圖，某高鐵在修建時需打通一直線隧道MN(M、N為山的兩側(cè))，工程人員為了計(jì)算MN兩點(diǎn)之間的直線距離，選擇了在測量點(diǎn)A、B、C進(jìn)量，點(diǎn)B、C分別在AM、AN上，現(xiàn)測得AM=1200米，AN=2000AB=30BC=45AC=18MN的長。【來源】市房山區(qū)2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期九年級終結(jié)性檢測試【答案】MN=3000由已知條件易證△ABCANMN試題解析：，∵AB303 200，

18 AA，∴BCAB=3

答：直線隧道MN長為30005：ABCDMNB點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABEDADPQ△PBE∽△QAB你認(rèn)為△PBE和△BAEEBAEC△PBE∽△QAB ．

BQPB

，

AEC由（2）AEBCEB，ECAE如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)P在邊BC上，點(diǎn)Q在邊CD上如圖1，將△ADQAQ折疊D恰好P重合CQ的長如圖2，若CQ=2，且△ABP與△PCQ相似BP的長若點(diǎn)QCD邊上的一點(diǎn)，且BC滿足AP⊥PQP，請?zhí)骄浚捍藭rCQ的長必須滿足什么條【來源】2016屆江蘇省市實(shí)驗(yàn)初中九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（帶解析【答案】（1）8；（2）5±13；（3）25 試題解析：解：（1）由題意得，PQ=DQ，AP=AD=10，又AP2AP2∴PC=10-CQ=xPQ=DQ=6-∴（6-x8CQ8 （2）當(dāng)△BAP∽△CQP時 當(dāng)△BAP∽△CPQABBP BP=5±131（x+6）＞ x256∴ ＜CQ≤6時，BC上不存在滿足AP⊥PQ的點(diǎn)6考點(diǎn)：四邊形綜合題．學(xué)￥科&例6如圖，在△ABC和△DEF中，∠A∠D90，ABDE3，AC2DF4A，D△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分90，90，∴AB

AC2．∴ABAC，

∴Rt△BAC與Rt△EDF不成比例，所以不相似.（2）只要使△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分割成的兩個三角形有兩個角分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如EAB－CDAB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，解決問題：如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格（即每個小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)如圖③，將矩形ABCDCM折疊，使點(diǎn)DAB邊上EE恰好是四邊形ABCM的邊AB的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究ABBC的數(shù)量關(guān)系【來源】2015（帶解析（1=∠=∠DE=45AEDADE=13AEDCEB=135°ADECEB，在△ADEBEC中，∠＝∠B，∠E＝∠BEADEBEC，∴點(diǎn)E是四邊形ABCDAB上的相似點(diǎn)如圖所示：點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE1∠BCD=30°，BE1CE＝1AB， Rt△BCE中，tan∠BCEBE=tan30°=3AB＝23 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．；3．【強(qiáng)化訓(xùn)練如圖，在射線AB上順次取兩點(diǎn)C，D，使AC=CD=1，以CD為邊作矩形CDEF，DE=2，將射線AB繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角記為α（其中0°＜α＜45°），旋轉(zhuǎn)后記作射線AB′，射線AB′分別交矩形CDEFCF，DEG，HCG=x，EH=yyx之間關(guān)系的是（） 【答案】如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（ A. B. C. D.【來源】省蚌埠市三校（六中、新城實(shí)驗(yàn)、）2017屆九年級上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試【答案】∴△DOE∽△COA，又∴DE= ∴BE=DE= ∴BE= B．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，ECD邊的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)180DC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為FEME⊥AFBCM，連接AM、BDN，現(xiàn)有下列結(jié)論①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD?CM；④點(diǎn)N為△ABM的外心．其中正確的個數(shù)為 A.1 B.2 C.3 D.4【來源】2017年中考精品解析數(shù)學(xué)（隨州卷）精編word【答案】∵M(jìn)E⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD?CM，故③正確 的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N不是△ABM的外心，故④錯誤．2B．4．(2017·六盤水)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交O，在BA的延長線上取一點(diǎn)E，連接OEAD于點(diǎn)F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，則 【來源】2017年中考精品解析數(shù)學(xué)（六盤水卷）精編word版（解析版【答案】9如圖，D是等邊△ABCAB上的點(diǎn)，AD=2，DB=4．現(xiàn)將△ABC折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為且點(diǎn)E、F分別在邊AC和BC上，則CF 【來源】2017年中考精品解析數(shù)學(xué)（攀枝花卷54【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=6，由折疊的性質(zhì)可知C=60°，EC=ED，F(xiàn)C=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴

BDDF =DF5，故答案為：5

AEAD 如圖，△ABC中，AB=6，DE∥AC，將△BDE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到△BD′E′，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′落在邊BC上．已知BE′=5，D′C=4，則BC的長為 ．【來源】2017年中考精品解析數(shù)學(xué)（江蘇鎮(zhèn)江卷2

34BE=BE'=5BD=BDD'C=4BD'=BC﹣4BD=BC﹣4DEAC BC 6

5BC2

34（負(fù)值已舍去），即BC的長為2 ．故答案為：2 、CAE、FAABGDF．給出以下四個結(jié)論：AGFGFGE的中點(diǎn)；③

232

【來源】省蚌埠市三校（六中、新城實(shí)驗(yàn)、）2017屆九年級上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試【解析】試題分析：∵在Rt△ABC中∴，∵BA=BC，∴，故①正確∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中 =，∵ ，∴FG=FB∴AF= 考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.；3.如圖所示，以△ABCAB為直徑作⊙OC在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，過點(diǎn)C于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G，過CCE∥BDAB的延長線于點(diǎn)求證：CE是⊙O的切線若∠DBA=30°，CG=4，求BE的長【來源】2017年中考精品解析數(shù)學(xué)（黔南州卷【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）43（3）連接AD，根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，即可求得∠BAD=60°，根據(jù)圓周角定理得出∠DAC=∠BAC=30BC=tan30°=3，然后根據(jù)三角形相似和等腰三角形的判定即可求得 證明：連接OC，∵∠A=∠CBD，∴BCDC，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切證明：∵AB為直AD，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵∠DBA=30°，∴∠BAD=60BCDC∠BAC=1∠BAD=30°，∴BC=tan30°=3，∵CE∥BD，∴∠E=∠DBA=30°，∴AC=CE，∴ =3 43，∴BE=43如圖，△ABC中，∠BAC為鈍角，∠B=45P是邊BC延長線上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CP為邊，在射BP下方作∠PCF=∠B．在射線CFE，連接AE交線段BC于點(diǎn)①如圖1AD=DE，請直接寫出線段ABCE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2 DE，判斷線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由2如圖3，反向延長射線CF，交射線BA于點(diǎn)C′，將∠PCFCC′方向平移，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，記平移后的∠PCF為∠P′C′F將∠P′C′F′繞點(diǎn)C′順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜45°），C′F′交BCM，C′PBPNBM，MNCN之間的數(shù)量關(guān)系．【來源】遼寧省鐵嶺市2017年中考數(shù)學(xué)試題（精校word版，含答案2【答案】 2【解析】試題分析：（1）①結(jié)論：AB=CE．如圖1EH∥BABPH．只要證明22

CE2EH∥BABPH．由△ABD∽△EHDABAD2 2

2EH，再證明EC=EH，即可解決問題2（2）結(jié)論 ．首先說明△BCC′是等腰直角三角形，將△C′BM繞點(diǎn)C′順時針旋轉(zhuǎn)90°得△C′CG，連接GN．只要證明△C′MN≌△C′GN，推出MN=GN，在 試題解析：（1）①結(jié)論：AB=CE，AB⊥CE，理由：如圖1中，作EH∥BABP2②結(jié)論 CE．理由：如圖2中，作EH∥BA交BP于22∵BA∥EH，∴△ABD∽△EHD，∴ABAD2

22 22（2）結(jié)論 ∵∠BPC=∠BCC=45BCC′M繞點(diǎn)C′順時針旋轉(zhuǎn)90°C′G，GN， 中 已知：△ABC是等腰三角形，動點(diǎn)P在斜邊AB所在的直PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其∠PCQ=90°，探究并解決下列問題3如圖①，若點(diǎn)P段AB上，且3

2①線段 2②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系 如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請你利用圖②給出證明過PPA1PC的值．（提示：請利用備用圖進(jìn)行探求 【來源】六安市葉集區(qū)平崗中學(xué)2017年九年級數(shù)學(xué)中考模擬試卷（含答案【答案】

，2；②AP2BP2PQ2；（2）證明見試題解析；（3）10或106 6②由①中的證明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到如圖2，連接PB，先證△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，如圖3，分點(diǎn)PA、