中考數學壓軸04因動點產生的相似、全等問題（教師版）

2019版突破申考數學壓軸之學霸秘笈大揭秘

專題04因動點產生的相似、全等問題

【類型綜述】

函數中因動點產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑

①求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為

特殊三角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。

②或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導

邊的大小。

③若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之后

利用相似來列方程求解。

【方法揭秘】

相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應角相等的條件，因此探求兩個

三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等.

判定定理2是最常用的解題依據，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢

驗.

如果已知/A=/。，探求△A8C與△/）￡：/相似，只要把夾/A和/。的兩邊表示出來，按照對應邊成

比例，分組="和空=變兩種情況列方程.

ACDFACDE

應用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等.

應用判定定理3解題不多見，根據三邊對應成比例列連比式解方程（組）.

還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是

確定的，那么就轉化為討論另一個三角形是直角三角形的問題.

求線段的長，要用到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯.理解記憶比較好.

如圖1,如果己知4、B兩點的坐標，怎樣求A、B兩點間的距離呢？

我們以AB為斜邊構造直角三角形，直角邊與坐標軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了.水

平距離BC的長就是4、B兩點間的水平距離，等于A、8兩點的橫坐標相減；豎直距離4c就是A、B兩點

間的豎直距離，等于4、8兩點的縱坐標相減.

圖1

【典例分析】

例1如圖1,已知直線y=—x+3與x軸、y軸分別交于A、8兩點，拋物線y=—f+bx+c經過A、

8兩點，點尸在線段OA上，從點0出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB

上，從點A出發(fā)，向點8以每秒&個單位的速度勻速運動，連結PQ,設運動時間為/秒.

(1)求拋物線的解析式；

(2)問：當「為何值時，AAP。為直角三角形；

(3)過點尸作PEHy軸，交AB于點E,過點Q作QFHy軸，交拋物

線于點片連結E凡當EF//PQ時，求點尸的坐標；

(4)設拋物線頂點為M,連結BP、BM、MQ,問：是否存在f的值，使以8、Q、M為頂點的三角形

與以。、8、P為頂點的三角形相似？若存在，請求出？的值；若不存在，請說明理由.

圖W

思路點撥

1.在△AP。中，NA=45。，夾NA的兩條邊AP、AQ都可以用，表示，分兩種情況討論直角三角形APQ.

2.先用含f的式子表示點P、。的坐標，進而表示點E、尸的坐標，根據PE=Q尸列方程就好了.

3.△MBQ與ABOP都是直角三角形，根據直角邊對應成比例分兩種情況討論.

滿分斛答

(1)由"一x+3,得一4(3,0),5(0,3).

將43,0)、3(0,3)分別代入產"+匕x+c,得1-9-3好=0,解得，

c=3.[c=3.

所以拋物線的解析式為v=-x-+2x+3.

(2)在ZUPg中,/攻。=45°,AP=3-t,AQ=j2t.

分兩種情況討論直角三角形APQ:

①當NP以=90°時，旌=應聞.解方程3-r=2f,得r=i(如圖2).

②當/的=90。時，4。=應卻.解方程在『虎(3-0,得「1.5(如圖3).

(3)如圖4,因為PE〃。凡當EF//PQ時，四邊形EP。尸是平行四邊形.

所以￡P=FQ.所以無一/="一

因為xp=f,XQ—3—t,所以>E=3—f,yQ—t<"=—(3—f)2+2(3—f)+3=—P+4f.

因為)%一)?=”?一%,解方程3—f=(一產+4f)—t,得1=1,或f=3(舍去).所以點尸的坐標為(2,3).

圖4圖5

(4)由>=一/+2%+3=—(1-1)2+4,得M(l,4).

由X(3,0)、5(0,3),可知以5兩點間的水平距離、豎直距離相等，月5=3點.

由3(0,3)、ML4),可知5、［倆點間的水平距離、豎直距離相等，B\Q也.

所以NMBO=N5。尸=90。.因此△￡3。與△50.坤目似存在兩種可能：

①絲￡=竺時，/.解得7=2(如圖5).

BQOP3或-0rt4

②當竺￡=竺時，.『J.整理，得廣一3r+3=0.此方程無實根.

BQOB30-衣13

考點伸展

第(3)題也可以用坐標平移的方法：由尸&0),￡(/,3-Z),Q(3-/,t),按照P—E方向，將點。

向上平移，得尸(3-43).再將尸(3-f,3)代入y=-/+2x+3,得t=l,或1=3.

例2二次函數)，=a?+bx+c(a^O)的圖象與x軸交于A(-3,0)、B(l,0)兩點，與y軸交于點。(0,一

3〃?)(〃?>0),頂點為￡>.

(1)求該二次函數的解析式(系數用含〃，的代數式表示)；

(2)如圖1,當機=2時，點P為第三象限內拋物線上的一個動點，設AAPC的面積為5,試求出S與

點P的橫坐標x之間的函數關系式及S的最大值；

(3)如圖2,當〃？取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與AOBC相似?

思路點撥

1.用交點式求拋物線的解析式比較簡便.

2.連結。P,ZkAPC可以割補為：A4OP與ACOP的和，再減去△AOC.

3.討論△AC。與AOBC相似，先確定AACD是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似.

4.直角三角形AC。存在兩種情況.

滿分斛答

(1)因為拋物線與X軸交于.4(一3,0)、B(l,0)兩點，ig>'=a(x+3)(x-l).

代入點C(0t-3m),得-3加=-3a.解得a=m.

所以該二次函數的解析式為j=?i(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m.

(2)如圖3,連結0P.

;

當m=2時,C(0:-6),y=2x-+4x-6,那么P(x,2x+4x-6).

1Q

2：

由于S」OP=yQ4x(一力)=一彳(2x+4x-6)=—3x-6x+%

S"o尸yOCx(-與)=-3x>S二4"=9,

a77

所以S=SHC=S)0p+S^COP一S」oc=-3x：—9x—-3(x+3),-亍.

所以當x=-2時，5取得最大值，最大值為三.

24

圖3圖4圖5

(3)如圖4,過點。作y軸的垂線,垂足為E.過點A作x軸的垂線交OE丁F.

由y="?(x+3)(x-l)=m(x+I)2—4/n,得D(—1,—4w).

在RtZkOBC中，OB：OC=1:3m.

如果A4OC與AOBC相似，那么△AOC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為1：3m.

①如圖4,當NAC￡>=90。時，—.所以2=網.解得布=1.

ECEDm1

此時凸=堡=3，變=3廠「1”CAOC

所以——=——.所以△OMs^OBC.

CDEDOBCDOB

②如圖5,當乙IDC=9O。時，￡1=￡￡.所以+1=2..解得出=正.

EDEC1m2

此時31=￡￡=3=2JF,而生=3次=生.因此ADCN與△05C不相似.

DCECmOB2

綜上所述，當m=l時，△CDMAOBC.

考點伸展

第(2)題還可以這樣割補：如圖6,過點P作x軸的垂線與AC交于點

由直線AC：y=-2x-6,可得H(x,—2x—6).

又因為P(x,2/+4x—6),所以HP=-2?—6x.

因為△必H與APCH有公共底邊HP,高的和為A、C兩點間的水平距離3,所以

S=S4Ape=S4APH+SXCPH

例3如圖1,在平面直角坐標系中，雙曲線(片0)與直線)，=x+2都經過點42,〃。.

(1)求&與〃7的值；

(2)此雙曲線又經過點8(”,2),過點B的直線8C與直線y=x+2平行交y軸于點C,聯結A8、AC,

求AABC的面積；

(3)在(2)的條件下，設直線y=x+2與y軸交于點￡>,在射線C8上有一點E,如果以點A、C、E

所組成的三角形與AACQ相似，且相似比不為1,.求點E的坐標.

圖1

思路點撥

1.直線AD//8C,與坐標軸的夾角為45。.

2.求ZVlBC的面積，一般用割補法.

3.討論AACE與AACQ相似，先尋找一組等角，再根據對應邊成比例分兩種情況列方程.

滿分解答

(1)將點.4(2,汨)代入尸x+2,得片4.所以點/的坐標為(2,4).

Zr

將點N(2,4)代入)，=￡,得*=8.

x

Q

(2)將點5(Z2),代入)，=2,得”=4.

x

所以點B的坐標為也2).

設直線BC為y=x+b，代入點3(4,2),得6=-2.

所以點。的坐標為(0「2).

由.4(2,4)、3(4,2)、C(0.-2),可知/、B兩點間的水平距離和

豎直距離都是2,B、C兩點間的水平距離和豎直距離都是4.

所以48=2JI,BC=4-42,Z.45C=90°.圖2

所以S^BC=-BJ-BC=-x2-72x4>y2=8.

22

(3)由A(2,4)、0(0,2)、C(0,-2),得40=20,AC=2瓦.

由于ND4C+/ACD=45°,/ACE+NAC￡>=45°,所以/D4C=NACE.

所以AACE與ZMCO相似，分兩種情況：

①如圖3,當絲=獨時，CE=AD=2五.

CAAC

此時AACO絲△C4E,相似比為1.

②如圖4,當號二親寸，呆=梁.解得CE城.此時。、E兩點間的水平距離和豎直距

離都是10,所以E(10,8).

考點伸展

第(2)題我們在計算AABC的面積時，恰好AABC是直角三角形.

一般情況下，在坐標平面內計算圖形的面積，用割補法.

如圖5,作AA8C的外接矩形，CNM,MM/y軸.

由S距形"CNM=24,SAA“C=6,SAAMB=2,SABCN=8,得SAABC=8.

圖5。

例4如圖1,RSABC中，NACB=90。，AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā)，在8A邊上以

每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點。從點C出發(fā)，在C8邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運

動，運動時間為/秒(0</<2),連接PQ

(1)若4BPQ與4ABC相似,求t的值；

(2)如圖2,連接AQ、CP,若AQ_LCP,求/的值:

(3)試證明：P。的中點在AABC的一條中位線上.

B

B

p

P

C

A

圖1圖2

思路點撥

1.48尸。與AABC有公共角，按照夾角相等，對應邊成比例，分兩種情況列方程.

2.作PD_L8c于。，動點P、。的速度，暗含了BD=CQ.

3.PQ的中點”在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、”的位置，一目了然.

滿分解答

(1)RtAJBC中，NC=6,BC=8,所以W5=10.

△5P0與4W3C相似，存在兩種情況：

①如果黑=怨,那么昌解得匚

BQBC8-4rS

②如噴嚙，那么言哈?解帝哈

圖4

(2)作PD_LBC,垂足為￡).

4

在RtZkBPD中，8P=53cos8=—,所以BO=BPcosB=4r,PD=3f.

5

當AQ_LCP時，△ACQs/xcDP.

所以藍嚼，即品號?解得呼

圖5圖6

（3）如圖4,過P。的中點力作的垂線，垂足為尸，交.45于E.

由于月是的中點,HFPD,所以F是QD的中點.

又因為BD=C0=4t,所以BF=CF.

因此尸是的中點，E是AB的中點.

所以PQ的中點N在工的中位線EF上.

考點伸展

本題情景下，如果以PQ為直徑的?！芭cAABC的邊相切，求「的值.

如圖7,當04與AB相切時，QPLAB,就是"=些，r=—.

BQBA41

RPRA

如圖8,當?！ㄅcBC相切時，PQ1.BC,就是——=——，f=l.

BQBC

如圖9,當。H與AC相切時，直徑PQ=JPD。+QI）?=》⑶丫+（8-8/y,

半徑等于FC=4.所以"⑶)2+(8—8f)2=8.

例5如圖1,已知拋物線y=_L/—lg+i）x+2”是實數且6>2）與x軸的正半軸分別交于點A、B

444

（點4位于點2是左側），與y軸的正半軸交于點C.

（1）點B的坐標為，點C的坐標為（用含匕的代數式表示）;

（2）請你探索在第一象限內是否存在點P,使得四邊形尸COB的面積等于24且△PBC是以點P為直

角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由;

（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q,使得AQC。、△。。4和△QAB中的任意兩個三角形

均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點。的坐標；如果不存在，請說明理由.

圖1

思路點撥

1.第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等.

2.聯結0P,把四邊形PC08重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含匕的式子表示.

3.第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點。最大的可能在

經過點A與x軸垂直的直線上.

滿分解答

（D3的坐標為?0）,點C的坐標為?2）.

（2》如圖2,過點P作PDL,軸，PEL軸，垂足分別為E,那么喀△「國?.

因此PD=PE.設點P的坐標為（x：x）.

如圖3,聯結OP.

所以S二aFC0B=S"C0+S口B0=Lx=X-Lx6x=三取=2方?

242S

解得x=".所以點P的坐標為（應,竺）.

555

圖2圖3

（3）由i，=L：-L（b+i）x-e=_!_（x-l）（x-b）,得HLO）,0.4=1.

"4444

①如圖4,以。九0c為鄰邊構造矩形。/RC,那么△。?？凇鳌?。上

當生=@,即Q4：=3.4.Q4時，△50/s/k。。」.

QAOA

所以g）：=5-l.解得6=8=4".所以符合題意的點。為此2+/）.

②如圖5,以。C為直徑的圓與直線x=l交于點。，那么/。。。90°。

因此△OC0s△。。4.

當出=翌時，As。4s△00/.此時/。。3=90。.

OAOA

所以C、。、5三點共線.因此空=21,即2=3.解得3=4.此時31.4）.

COOAbI

4

考點伸展

第（3）題的思路是，A、C、。三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而NQO4與NQOC是互

余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況.

這樣，先根據△QOA與△QOC相似把點。的位置確定下來，再根據兩直角邊對應成比例確定點8的位

置.

如圖中，圓與直線x=l的另一個交點會不會是符合題意的點。呢？

如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與O8=4OC矛盾.

例6如圖1,已知拋物線的方程Cl：y=_J_（x+2）（x-加）（加＞0）與x軸交于點B、C,與y軸交于點

m

E,且點B在點C的左側.

（1）若拋物線C1過點Mil,2）,求實數m的值；

（2）在（1）的條件下，求ABCE的面積；

（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H,使得BH+EH最小，求出點，的坐標；

（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點凡使得以點B、C、F為頂點的三角形與A8CE相似？

若存在，求〃?的值；若不存在，請說明理由.

圖1

思路點撥

1.第(3)題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH+EH最小.

2.第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF,作NCB/=NEBC=45。，或者作BF//EC.再

用含，"的式子表示點F的坐標.然后根據夾角相等，兩邊對應成比例列關于〃，的方程.

滿分斛答

(1)將M(2,2)代入丁=一_-(x-i-2)(x-m)>得2=--x4(2-7n)?解得加=4.

mm

<2)當泡=4時，J，=_L(X+2)(X—4)=—1X：+LX-2.所以C(4,0),E(0,2).

442

所以S_JC￡=：COE」X6X2=6?

22

(3)如圖2,拋物線的對稱軸是直線x=l,當廿落在線段EC上時，BH+EH最小.

設對稱軸與x軸的交點為P,那么血=型.

CPCO

因此與=：.解得即=g.所以點H的坐標為(12).

(4)①如圖3,過點B作EC的平行線交拋物線于尸，過點尸作FFLx軸于F.

由于NBCfn/FBC,所以當仁=變，即8C2=CE-BF時，ABCEs/\FBC.

CBBF

1c,c',pc(X+2)(X—/7?))

設點尸的坐標為(羽_^。+2)?！?)，由士二絲，得〃------------=-.

mBF'COx+2m

解得x=m+2.所以斤(加+2,0).

由型="，得/一…所以8/=”也匹a.

CEBF7??+4BFm

由3c2=CE4尸，得(.+2/=dm2+4x+令'1+4

m

整理，得0=16.此方程無解.

②如圖4,作NCB尸=45°交拋物線于尸，過點尸作尸尸lx軸于尸，

由于NE5C=NCB尸，所以匹="1,即BC：=BEB尸時，A5CE<^A5FC.

BCBF

在RtZkBFF中，由尸尸,=5尸，得■i-（x-2Xx-a）=x-2.

解得x=2，”.所以尸（2甩0）.所以BF'=2〃!+2,BF=&Qm+2）-

由BC：=BEBF,得（加一2）：=20x或（2泄一2）.解得用=2±2或.

綜合①、②，符合題意的，”為2-20.

考點伸展

第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點尸、尸的坐標后，根據兩點間的距離公式求B廠的長.

【變式訓練】

1.如圖，在四邊形4BCD中，AD||BC,乙1BC=9O。，4B=8,4D=3,BC=4,點P為4B邊上一動點，若△P4D

與APBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】分類討論

①△PADfCBP

rPnA/AILD/XA.3D9

…cC——=——=一=----=>XZ—8]+12=0/c、/、Q￡

6

設4P=K,貝I]BP=8-X,BCBP48-x,(x-2)(x-6)=0,x、=2,x2=

PAADx324

—=—==—x=—

②△PADSBC,設/P為x,則BP=8-x,PBBCS-x4,4x=24-3x,7x=24,7,綜上，AP

24

為2,6,T,則滿足題意，P有三個點.

2.如圖“在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AD=2cm,BC=6cm,AB=7cm,點P是從點B出

發(fā)在射線BA上的一個動點，運動的速度是1on/s,連結PC、PD.若APAD與APBC是相似三角形，則滿

足條件的點P個數是()

A.5個.B.4個C.3個D.2個

【答案】A

【解析】

試題分析：因為AD"BC,ZABC=90:,所以NA=NABC=91,設點P運動t秒鐘時，^PAD與APBC是相

似三角形，當點P在緋殳BA上時，物AD=2Cffl,BC=6Cffl,AB=7Cffl,所以PB=t,PA=7-t,(1)當APAD

P44D7_t21P44D

s?BC時，,所以」解得t=(2)當APAIWACBP時，有蕓=且，所以

PBBCt64CBBP

一=2，解得t=3,t=4；當點P在2舞殳BA的延長線上時，PB=t,PA=t-7,同理：當APAESAPBC時，

解得t=4；當ARWCOACBP時，解得t=之或，因為t>0,所以t=三匣，綜上所述，t=4或t=3

2224

或t=4或1=4或1=泊1,所以滿足條件的點P共有5個，故選：A.

22

考點：相似三角形的判定與性質.

3.已知：如圖，在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC到點E,使CE=2,連接DE,動點P從點B出發(fā),

以每秒2個單位的速度沿BC-CD-DA向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為()秒時,

△ABP和4DCE全等.

A.1B.1或3C.1或7D.3或7

【答案】C

【解析】

解：因為AB=CD,若NAB?=NDCE=90。，BP=CE=2,根據SAS證得AABP建△DCE,

由題意得：BP=2t=2,

所以t=l,

因為AB=CD,若NBAP=NDCE=90"AP=CE=2,根據SAS證得ABAP竺△￡）€￡,

由題意得：AP=16-2t=2,

解得t=7.

所以，當t的值為1或7秒時.AABP和ADCE全等.

故選：C.

4.如圖，在AABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），乙4DE=NBa,DE交4c于

4

門cosa="cc

點、E,且5,則線段CE的最大值為.

【答案】6.4

【解析】

過點A作AGLBC于G,

：AB=AC,

.\BG=CG,

,/ZADE=ZB=a,

???cosB=esa嗤=豆

/.BG=S,

.\BC=2GB=16.

設BD=x,則CD=16-x,

VZADC=ZB+ZBAD,即NADE+NCDE=NB+NBAD,

:.ZCDE=ZBAD,

VZC=ZB,

AAABD^ADCE,

AB_BD10_x

/.CDCE,即16-％CE,

--x2+-x=-—(x-8)2+6.4

：.CE=I。510^,

???當x=8時，EC有最大值，最大值為6.4.

故答案為：6.4.

5.如圖，RfAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=3,AE，AC,P,Q分別是AC,上動點，且

PQ=AB,當AP二時，才能使AA8C和APQA全等.

【答案】3或8

【解析】試題解析：分為兩種情況：①當AP=3時,

'/BC=3,

AAP=BC,

VZC=90°,AE±AC,

???ZC=ZQAP=90°,

，在RtAABC和RsQAP中，

AB=PQ

{BC=AP

.?.RtAABC嶺RSQAP(HL),

②當AP=S時，

,/AC=8,

..AP=AC,

,.,ZC=90°,AE1AC,

.,.ZC=ZQAP=90°,

...在RtZiABC和RtuQAP中，

AB=PO

{?

AC=.4P

.,.RtAABC^Rt△QAP(HL),

故答案為:3或8.

6.如圖，在AABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點(不與B,C重合)，/ADE=/B=a,DE交

4

cosa=-

AC于點E,且5.下列結論：①△ADEs/\ACD；②當BD=6時，AABD與ADCE全等；③X

25

DCE為直角三角形時，BD為8或2；@CD2=CE?CA.其中正確的結論是(把你認為正確結論的

序號都填上)

【答案】①②③

【解析】

解：由AB=AC可知NB=/C,再由NADE=NB可知AADESAACD,故①正確；由三角形外角和定理可

得NADB=/DAC-/C,ZDEC=ZDAC-ZADE,而NB=NC=NADE,故NADB=/DEC.由AB=AC=10

且cosa可求解BC=16,則CD=16-6=10=AB.綜合上述，由NB=NC、/ADB=/DEC、CD=AB可證明

△ABE^ADCE；由上問可知/ADB=NDEC,當NDEC=9CP時，/ADB=90=,則D點為BC中點，BD=8.

當NEDC=9()n時，則NBAD=90：則BD=10x；=故③正確；若6=CE?CA,則荒=/，再由NC是

公共角，可得△ADEs^ACD,而根據題干條件并不能得到該相似結論，故④錯誤;

故答案為：①②③.

7.如圖，在RtzUBC中，NB4c=90°,"=60°,BC=24,點P是BC邊上的動點(點P與點隊C不重合),

過動點P作PD〃BA交4c于點D.若AABC與AMP相似，則乙1PD=?.

【答案】60°或30

【解析】

VZBAC=90°,PD〃AB,

.?./PDA=90°,

又；NC=60。，

，NAPD=3O?；?0。時，AABC與ADAP相似，

二/APD=30?；?0°.

8.如圖，直線曠=%+?與》軸交于點4(-4,0),與昨由交于點拋物線V=-'+bx+c,經過點4c.

(1)求拋物線的解析式

(2)已知點P是拋物線上的一個動點，并且點P在第二象限內，過動點P作PElx軸于點E,交線段4c于點。

①如圖1,過D作OF，y軸于點匕交拋物線于MW兩點(點M位于點N的左側)，連接EF,當線段EF的長度最

短時，求點BMW的坐標，

②如圖2,連接CD,若以&PQ為頂點的三角形與A4D母目似，求ACPD的面積.

Z-3-^/17\

【答案】9)y=-*2-3x+4；⑵①點P的坐標為(-2,6),點M的坐標為【2'人點N的坐標為

,-3+V17\

、2，/；②SACPD=4.

【解析】

(1)把4(-4.0)代入丫x+「得c4,

由m=0,得憶;3,?_/_3…

(2)①由題意可知，四邊形OEDF是矩形，所以°D=EF.

由(1)可知。4=。。=4,

當0DJ.4C時，0D最短，即EF最短，

此時點。是4c的中點，

所以DE=\0C-2,DF-\0A=2,

二點。的坐標為(-2.2),

將*=-2代入y=--3*-4得，y=6,

二點P的坐標為(-2.6),

將V=2代入.y廣3x-4得，2=0,

解得勺=三，一二竽，

/-3+V17\

二點M的坐標為I2'1點N的坐標為【2'J

②當A4DE~ACDP時(如圖2),貝C關于拋物線的對稱軸對稱，

_9

?'?P的坐標為(-3,4),二點。的坐標為(-3,1),:.PC=PD=3,dCPD2

當A4DE~APDC時(如圖3),則APDC是等腰直角三角形，APCZ)=90",

過點C作C"J.DP于點色設點P的坐標為?-a?-3a+4),

PH=-Q2-3a,HC=-Q,*,?-Q2-3Q=-Q,得;Q=—2,

11

SA“D=嚴CH=-x2PHCH=4

9.如圖，拋物線、="2+以+。與坐標軸交點分別為4(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直線BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為拋物線上第一象限內一動點,過點P作PDJ■碑］于點O,設點P的橫坐標為t(°<t<3),求AABP

的面積S與，的函數關系式；

(3)條件同(2),若△ODP與ACOB相似,求點尸的坐標.

卜

2244,8-1+J193-3+3J193

y=—*+-%+2S="-t2+-t+4t(0<t<3)(----、_,--X—)

【答案】(1)33；(2)33；(3)點尸的坐標為816

-1+71931+713

或(8,3),

【解析】

。一b+c=0

(1)把A(-LO),B(3,0),C(0.2)代入、ax，+bx-c得：9a+3b+e=0,

c-2

解得：a=b=gc2,

二拋物線的解析式為y=-，+%+25

,224、

(t,—C+—t+2)

(2)設點P的坐標為33,

???川-1,0),B(3,0),

.-.AB=4,

112448,仆

**?S——AB,PD=—x4x(—t2+—t+2x)=—t2+—t+4t(0<tV3)

2233,33

(3)當△ODPsaCOBfl寸，器=需，即;=弋*,

整理得：4t?+t120,

解得：t=三亙或t=士當(舍去)，

A0D=t=DP=-0D=

士8'嗎，2-'1儂6,’

??點P的坐標為(二

當△ODPSABOC,則;:'，即‘

整理得t?-t-3=0,

解得：一2或一2(舍去)，

-1+J19321+內

OD=t=--------DP=-0D=—―

833

/-1+^1931+V13\

二點P的坐標為183J,

-1+x/193-3+37193-1+^1931+V13

綜上所述點P的坐標為(—8—'16-)或(8'3)'

10.如圖，拋物線y=ax2+Zzx+c(a#0)的頂點坐標為(2,—1),并.且與y軸交于點C(0,3),與x軸交于

A、B兩點.

(1)求拋物線的表達式.

(2)如圖1,設拋物線的對稱軸與直線8c交于點。，點E為直線上一動點，過點E作y軸的平行

線用，與拋物線交于點尸，問是否存在點E,使得以。、E、尸為頂點的三角形與/C。相似.若存

在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=x2—4x+3；(2)(2—+V5)或(2+或(1,2)或(4,—1).

【解析】試題分析：(1)設拋物線的表達式為y=a(x-2)2-1(a/)),將點C的坐標代入即可得出答案；(2)

由直線BC的解析式知，ZOBC=ZOCB=45°.又由題意知NEFD=NCOB=90。，所以只有AEFDs/\C0B,

根據這種情況求點E的坐標即可.

試題解析：

(1)該拋物線的頂點坐標為(2,-1),所以該拋物線的解析式為y=a(x-2/-1,又該拋物線過點

C(0,3),代入y=a(x—2)2—l得：

4。一1=3,解得a=l,故該拋物線的解析式為y=(x—2)2—1=/—4x+3.

(2)假設存在點E,使得以D、E、F為頂點的三角形與ABCO相似.

由(1)知,該拋物線的解析式是y=x7x-3,即［(x-1)(x-3),

..?該拋物線與x軸的交點坐標分別是A(1,0),B(3,0).

,/C(0,3),

..?易求直線BC的解析式為：尸x-3.

.\ZOBC=ZOCB=453.

又二.點D是對稱軸上的一點，

/.D(2,1).

如圖，連接DF.

.「EFUy軸，

,只有NEFD=NCOB=90’.

?以D、E、F為頂點的三角形與&BCO相似，

.,.ZDEF=ZFDE=45S,

,只有AEF3ACOB.

設E(x,-x-3),則F(x,1),

.,.l=x2-4x*3,

解得x=2土6，

當x=2-時，y=*x—3=1-；

當x=2-C時，y=-x+3=I+>/2；

AE,(2-\/2,1+V2),E2(2+V2,1-V2).

ZEDF=90°；易知，直線AD：y=x-L聯立拋物線的解析式有:

X2-4X+3=X-1,解得XI=1、X2=4；

當x=l時，y=-x+3=2；

當x=4時，y=-x+3=-l；

???E3(1,21E4(4r-1).

二綜上，點E的坐標為(2-逝，1+JI)或(2+&，1-.V2)或(1,2)或(4,-1).

11.如圖，在平面直角坐標系x°y中，直線y=x+4與坐標軸分別交于AB兩點，拋物線y=-x24-hx+c過

人B兩點，點D為線段4B上一動點，過點D作CD_Lx軸于點C,交拋物線于點E.

(1)求拋物線的解析式.

(2)求A/1BE面積的最大值.

(3)連接BE,是否存在點D,使得ADBE和AMC相似？若存在，求出點D坐標；若不存在，說明理由.

【答案】⑴y=-'-3x+4.⑵存在點口,使得ADBE和AD4C相似，點D的坐標為(-3,1)或(-2,2).

【解析】

(1)在直線解析式y(tǒng)=*+4中，令x0,得y4;令y=0,得x=-4,

.,.4(-4.0),8(0,4).

?..點4(-4.0),8(0,4)在拋物線y=-x;+bx+c上，

.1-16-4d+c=0

''1c=4

解得：b=-3,c=4,

??.拋物線的解析式為：丁=--3X?4.

(2)如圖，連接4E、過點E作EP_Ly軸于點F,

設點C坐標為（m，°）（m<0）,則點E坐標為（m,-m2-3n?+4）,

則0。=_m,OF=-m2-3m+4,

?.?OA=OB=4,

.?.BF=-m2-3m,

貝45二43E=5梯彬40FE-SJAOB一^^BEF

二：x(-m+4)(-zn2-3ni*4)-^x4x4-^x(-m)x(-m2-3/n).

=-2m2-8m

=-25+2)2-8,

"."-4<FH<0,

?,?當小=2時，S取得最大值，最大值為8?

即△48E面積的最大值為8?(3)設點C坐標為(m,0)(小V0),則0C=7*CD=AC=4+m,

BD=>/20C=-6n>

則。(m,4+m).

???△4CD為等腰直角三角形，△DBE和△D/C相似

???aDBE必為等腰直角三角形.

C)若乙BED=90°,則BE=DE,

?.?BE=OC=-m,

/.DE=BE=-mt

CE=4+m-m=4,

:.E(m,4).

?.?點E在拋物線y=---3x+4上，

：.4=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意，舍去)或m=-3,

A0(-3,1)；

ii)若乙EBD=9?！?=BD=-y/2mt

在等腰直角三角形E8D中，DE=&BD=-2m,

.\CE=4+-2m=4一小,

4-ni).

...點￡在拋物線y=-M-3x+4上，

.'.4-m=-m2-3m+4,解得小0(不合題意，舍去)或m=-2,

.\D(-2.2).

綜上所述，存在點使得工。8￡和△入(：相似，點。的坐標為(-3.1)或(-2.2).

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