2023屆福建省南平市建甌芝華中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在4次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為A． B． C． D．2．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在平面四邊形，，，則四邊形的面積為（）A． B． C．15 D．4．對于實數(shù)，，若或，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．函數(shù)f(x)=x+1A． B． C． D．6．已知x，y滿足不等式組則z="2x"+y的最大值與最小值的比值為A． B． C． D．27．用反證法證明命題“已知為非零實數(shù)，且，，求證中至少有兩個為正數(shù)”時，要做的假設(shè)是（）A．中至少有兩個為負數(shù) B．中至多有一個為負數(shù)C．中至多有兩個為正數(shù) D．中至多有兩個為負數(shù)8．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有極值點，則的取值范圍為A． B． C． D．10．設(shè)，則（）A． B． C． D．11．現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，存在唯一的負數(shù)零點，則實數(shù)的取值范圍是________.14．周長為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.15．點在直徑為的球面上，過作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的倍，則這三條弦長之和的最大值是_________.16．若方程有實數(shù)解，則的取值范圍是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學(xué)科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認為：網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對多數(shù)學(xué)生來講，容易產(chǎn)生依賴心理，對學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜題在學(xué)生中的使用情況，某校對學(xué)生在一周時間內(nèi)進行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取了男、女學(xué)生各50人進行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：將學(xué)生在一周時間內(nèi)進行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題”，不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題”.（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表（單位：人）中數(shù)據(jù)的填寫，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下有把握認為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)？（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中，采用隨機抽樣的方法每次抽取一個人，抽取4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：18．（12分）在直角坐標系中，圓C的方程為，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．(1)求圓C的極坐標方程；(2)直線的極坐標方程是，射線與圓C的交點為，與直線的交點為，求線段的長．19．（12分）某校為了推動數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革，學(xué)校將高一年級部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學(xué)，乙班實施教學(xué)方法改革.經(jīng)過一年的教學(xué)實驗，將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學(xué)生的平均成績均在，按照區(qū)間，，，，進行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制)為優(yōu)秀.完成表格，并判斷是否有以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”；(2)從乙班，，分數(shù)段中，按分層抽樣隨機抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望.20．（12分）已知展開式中的倒數(shù)第三項的系數(shù)為45，求：（1）含的項；（2）系數(shù)最大的項．21．（12分）(1)已知可逆矩陣的逆矩陣為，求的特征值.(2)變換是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是：變換對應(yīng)用的變換矩陣是，求函數(shù)的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程.22．（10分）已知函數(shù)有兩個零點，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為，則，解得．故選A．點睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時，通常從事件的反而入手可能較簡單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．2、C【解析】

對a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時分兩種情況討論，比較兩個函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域為[1,+∞），函數(shù)的值域為[0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[a+2,-a+2],因為a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時函數(shù)g(x)的值域為（2a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[-a+2,a+2],當(dāng)a≥時，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】

首先根據(jù)得到，再求四邊形的面積即可.【詳解】因為，所以，所以四邊形的面積.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于簡單題.4、B【解析】

分別判斷充分性和必要性，得到答案.【詳解】取此時不充分若或等價于且，易知成立，必要性故答案選B【點睛】本題考查了充分必要條件，舉出反例和轉(zhuǎn)化為逆否命題都可以簡化運算.5、A【解析】

可分類討論，按x>0，x<-1，-1<x<0分類研究函數(shù)的性質(zhì)，確定圖象．【詳解】x>0時，f(x)=logax是增函數(shù)，只有A、B符合，排除Cx<-1時，f(x)=-loga(-x)＜0，只有A故選A．【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選取圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)排除一些選項，如通過函數(shù)的定義域，單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)值的符號、函數(shù)的特殊值等排除錯誤的選項．6、D【解析】

解：因為x，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過點（2,2）取得最大，過點（1,1）取得最小，比值為2，選D7、A【解析】分析：用反證法證明某命題時，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題的否定為：“a、b、c中至少有二個為負數(shù)”，由此得出結(jié)論．詳解：用反證法證明某命題時，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而：“中至少有二個為正數(shù)”的否定為：“中至少有二個為負數(shù)”．故選A．點睛：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進行否定，得到要證的結(jié)論的反面是解題的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．8、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤．9、D【解析】

利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的極值點，可得2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范圍．【詳解】∵函數(shù)＝sin2ωx﹣2?1＝sin2ωxcos2ωx+1＝2sin（2ωx）+1在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有極值點，∴2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z．解得kω，或kω，令k＝0，可得ω∈故選D．【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的極值點，屬于中檔題．10、A【解析】

利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】因為，，所以，故選A.【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】先排剩下5人，再從產(chǎn)生的6個空格中選3個位置排甲、乙、丙三人，即，選C.12、D【解析】分析：根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的求導(dǎo)法則得到結(jié)果即可.詳解：函數(shù)，故答案為：D.點睛：這個題目考查了具體函數(shù)的求導(dǎo)計算，注意計算的準確性，屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對，，三種情況分別討論可得到取值范圍.【詳解】當(dāng)時，而時，，則零點在右段函數(shù)取得，故時，，解得；當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，負零點在左端點取得，于是時，，成立；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)含參零點問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力，計算能力，分析能力，難度較大.14、【解析】

設(shè)矩形的一邊長為,則另一邊長為,,再利用圓柱的體積公式求得體積的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【詳解】設(shè)矩形的一邊長為,則另一邊長為,,則圓柱的體積==,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.故答案為:.【點睛】本題考查了圓柱的體積公式和基本不等式,屬中檔題.15、【解析】

設(shè)三條弦長分別為x,2x,y,由題意得到關(guān)于x,y的等量關(guān)系，然后三角換元即可確定弦長之和的最大值.【詳解】設(shè)三條弦長分別為x,2x,y,則：,即：5x2+y2=6,設(shè),則這3條弦長之和為：3x+y=,其中,所以它的最大值為：.故答案為．【點睛】本題主要考查長方體外接球模型的應(yīng)用，三角換元求最值的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】

關(guān)于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可得c的范圍．【詳解】解：關(guān)于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x為實數(shù)，則2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2【點睛】本題主要考查兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列表見解析，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下有把握認為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，【解析】

（1）根據(jù)樣本頻數(shù)分布表的數(shù)據(jù)即可完成列聯(lián)表，再利用列聯(lián)表求出觀測值，根據(jù)獨立性檢驗的思想解求解.（2）根據(jù)二項分布求出隨機變量的概率，列出分布列即可求解.【詳解】（1）由題意得：經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題合計男生222850女生381250合計6040100∵∴在犯錯誤的概率不超過1%的前提下有把握認為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān).（2）依題意，.；.的分布列為：01234【點睛】本題考查了獨立性檢驗的基本思想、二項分布以及數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)3.【解析】

（1）通過直角坐標與極坐標互化公式，即可求得圓C的極坐標方程；（2）直接聯(lián)立直線方程和射線方程可以解出點Q，聯(lián)立圓的方程和射線方程求出點P，即可求得線段的長。【詳解】(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，得圓C的極坐標方程為.(2)設(shè)P(ρ1，θ1)，則由,解得ρ1＝2，θ1＝.設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由,解得ρ2＝5，θ2＝.所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3.【點睛】本題主要考查普通方程與極坐標方程的互化，曲線交點的求法以及極坐標方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。19、(1)有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.(2)分布列見解析.【解析】試題分析：（1）依題意得，則有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.（2）由題意可得隨機變量的所有可能取值為且，據(jù)此可得分布列，計算數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）依題意得有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”（2）從乙班分數(shù)段中抽人數(shù)分別為2，3，2依題意隨機變量的所有可能取值為，則分布列：所以20、(1)210x3(2)【解析】

（1）