工程塑性理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

工程塑性理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

塑性力學(xué)的基本方程與彈性力學(xué)基本方程的差別主要表現(xiàn)在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系上。

塑性變形時(shí)，應(yīng)力不僅與應(yīng)變有關(guān)，還與變形歷史、材料微觀結(jié)構(gòu)有關(guān)。

通常將塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程，也叫做物理方程。第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中：E—拉壓彈性模量；μ—泊松比；

G—剪切彈性模量。廣義虎克定律：第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一＋＋＋＋球應(yīng)變與球應(yīng)力成正比。應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性體積變化。第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一—第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一｛｝第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一偏應(yīng)變與偏應(yīng)力成正比。應(yīng)力偏張量使物體產(chǎn)生彈性形狀變化。第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一物體的體積變形與球應(yīng)力成正比，與偏應(yīng)力無(wú)關(guān)；物體的形狀變化與偏應(yīng)力成正比，與球應(yīng)力無(wú)關(guān)。在進(jìn)行應(yīng)力分析與應(yīng)變分析時(shí)，將一點(diǎn)的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量是有明確物理意義的：這一結(jié)論對(duì)研究塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是十分重要的。第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可以將廣義虎克定律寫(xiě)成張量的形式，即

第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形時(shí)假設(shè)比例系數(shù)為未知，并求之.第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2

塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

2.1增量理論

2.2全量理論

2.3應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.1增量理論

增量理論又稱流動(dòng)理論。在增量理論中，應(yīng)用最廣泛的有：

列維—米塞斯(Levy—Mises)理論；

普朗特—?jiǎng)谒?Prandtl—Reuss)理論。第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)

(a)假設(shè)材料為剛塑性材料，即彈性應(yīng)變?cè)隽繛榱?，塑性?yīng)變?cè)隽烤褪强偟膽?yīng)變?cè)隽浚?/p>

(b)材料符合米塞斯屈服準(zhǔn)則：；

(c)在每一加載瞬時(shí)，應(yīng)力主軸與應(yīng)變?cè)隽恐鬏S重合；

(d)材料在塑性變形過(guò)程中滿足體積不變條件，即應(yīng)變?cè)隽繌埩烤褪菓?yīng)變?cè)隽科珡埩俊?/p>

（1）列維—米塞斯理論第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，可假設(shè)應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力偏張量成正比，即式中：dλ—正的瞬時(shí)常數(shù)，在加載的不同瞬時(shí)是變化的，在卸載時(shí)，dλ=0。第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將上式正應(yīng)變兩兩相減，并寫(xiě)出切應(yīng)變公式：代入以下公式第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一P42類似廣義Hooke定律第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將增量理論式兩邊除以時(shí)間dt，可得應(yīng)力—應(yīng)變速率方程，稱為圣文南塑性流動(dòng)方程。即：（2）應(yīng)力—應(yīng)變速率方程第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一與粘性流體的牛頓公式相似，故稱為塑性流動(dòng)方程。Levy-Mises方程實(shí)際上是塑性流動(dòng)方程的增量形式。若不考慮應(yīng)變速率對(duì)材料性能的影響，二者是一致的。第23頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

列維—米塞斯理論沒(méi)有考慮彈性變形的影響，因此，僅適用于大塑性變形問(wèn)題。

普朗特—?jiǎng)谒估碚摽紤]了彈性變形部分，即（3）普朗特—?jiǎng)谒?Prandtl-Reuss)理論第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一塑性應(yīng)變?cè)隽坑闪芯S—米塞斯理論給出，彈性應(yīng)變?cè)隽坑蓮V義虎克定律的微分形式給出。

將廣義虎克定律式微分后，可得第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.2全量理論

增量理論雖然比較嚴(yán)密，但在應(yīng)用時(shí)需沿加載路徑進(jìn)行積分，從工程應(yīng)用的角度上講是不方便的。因此，許多學(xué)者例如漢蓋(Hencky)、那達(dá)依(Nadai)、伊留申(Ильюшин)相繼提出了描述應(yīng)力與全量應(yīng)變之間的關(guān)系，稱為全量理論，也稱形變理論。在此只介紹較為實(shí)用的伊留申全量理論。第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

伊留申指出，在塑性變形時(shí)，只有滿足簡(jiǎn)單加載（也稱比例加載）條件時(shí)，才可以建立全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。所謂簡(jiǎn)單加載，是指在加載過(guò)程中，所有的外力從一開(kāi)始就按同一比例增加。第27頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

為了建立全量理論，需提出如下幾點(diǎn)假設(shè)，即

(a)應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向是重合的；

(b)塑性變形時(shí)體積保持不變；

(c)應(yīng)力偏量分量與應(yīng)變偏量分量成比例；

第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(d)等效應(yīng)力是等效應(yīng)變的函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)對(duì)每個(gè)具體材料都應(yīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定，即式中：E/—塑性模量

E/與材料性質(zhì)和塑性變形程度有關(guān)。第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)以上假設(shè)，可以寫(xiě)出如下方程，即式中：G’—塑性剪切模量。G’與材料性質(zhì)和塑性變形程度有關(guān)。第30頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.3應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律

◆應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)關(guān)系

◆應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)關(guān)系第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系2s

231ss+

2e

0

應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系的含義是：

當(dāng)

的關(guān)系保持不變時(shí)，相應(yīng)地有

第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3等效應(yīng)力—等效應(yīng)變曲線的單一性

塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系，總可歸結(jié)為等效應(yīng)力與等效應(yīng)變之間的關(guān)系，即

這種關(guān)系只與材料性質(zhì)、變形條件有關(guān)，而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。實(shí)驗(yàn)表明，按不同應(yīng)力組合所得到的等效應(yīng)力與等效應(yīng)變曲線與簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線基本相同。第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

因此，通?？梢约僭O(shè)，對(duì)于同一種材料，在變形條件相同的條件下，等效應(yīng)力與等效應(yīng)變曲線是單一的，稱為單一曲線假設(shè)。由此假設(shè)，就可以采用最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)方法來(lái)確定材料的等效應(yīng)力與等效應(yīng)變曲線。常用的實(shí)驗(yàn)方法有以下三種:

（1）單向拉伸實(shí)驗(yàn)

（2）單向壓縮實(shí)驗(yàn)

（3）平面應(yīng)變壓縮實(shí)驗(yàn)第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圓柱體單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為：

σ1

，σ2=σ3=0；

應(yīng)變狀態(tài)為：

ε1=-（ε2+ε3），ε2=ε3＝-ε1/2。（1）單向拉伸實(shí)驗(yàn)第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圓柱體單向壓縮時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為：

σ3

，σ1=σ2=0；

應(yīng)變狀態(tài)為：

ε3=-（ε1+ε2），ε1=ε2＝-ε3/2。（2）單向壓縮實(shí)驗(yàn)

第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

除應(yīng)力的正負(fù)號(hào)相反外，圓柱體單向壓縮與單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)是相同的，仍有

第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

單向拉伸實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于縮頸的出現(xiàn)，使得應(yīng)變量較小，從而限制了其使用范圍。為了獲得較大應(yīng)用范圍的曲線，就需要采用圓柱體試樣的軸對(duì)稱單向壓縮實(shí)驗(yàn)。單向壓縮實(shí)驗(yàn)的主要問(wèn)題是試樣與工具之間不可避免地存在著摩擦，摩擦力的存在會(huì)改變?cè)嚇拥膯蜗蚓鶆驂嚎s狀態(tài)，并使圓柱體試樣出現(xiàn)鼓形，由此所得到的應(yīng)力也就不是真實(shí)應(yīng)力。因此，消除接觸表面間的摩擦是獲得精確的單向壓縮應(yīng)力—應(yīng)變曲線的關(guān)鍵。第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）平面應(yīng)變壓縮實(shí)驗(yàn)

如果被加工工件為厚度較薄的板料，進(jìn)行圓柱體單向拉伸實(shí)驗(yàn)或單向壓縮實(shí)驗(yàn)是非常困難的，此時(shí)可以采用平面應(yīng)變壓縮實(shí)驗(yàn)。

第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)平面應(yīng)變壓縮時(shí)的板料寬度為W，工具寬度為b，厚度為h，則一般取W/b=6～10，b=(2～4)h，此時(shí)，沿板料寬度方向的寬展可忽略不計(jì)，可將板料看作是處于平面應(yīng)變狀態(tài)。第44頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

平面應(yīng)變單向壓縮時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)為第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4等效應(yīng)力—等效應(yīng)變曲線

的簡(jiǎn)化模型

采用上述的實(shí)驗(yàn)方法所得到的等效應(yīng)力—等效應(yīng)變曲線比較復(fù)雜，不能用簡(jiǎn)單的函數(shù)形式來(lái)描述，在應(yīng)用上是不方便的。在工程應(yīng)用上，通常將實(shí)驗(yàn)所得到的曲線處理成可以用某一函數(shù)表達(dá)的形式。第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）理想彈塑性材料模型該模型適合于應(yīng)變不太大、強(qiáng)化程度較小的材料。第47頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）理想剛塑性材料模型對(duì)于熱加工范圍內(nèi)的金屬變形都宜采用該模型。第48頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）冪指數(shù)硬化材料模型對(duì)大多數(shù)金屬材料都是適用的。

第49頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（4）剛塑性非線性硬化材料模型適合于預(yù)先經(jīng)過(guò)冷加工的金屬。材料在屈服前為剛性的，屈