定積分第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)

定積分第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

第五章第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積abxyo第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一觀察與思考

在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形,當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí),小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?

怎樣求曲邊梯形的面積？第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一求曲邊梯形的面積

(1)分割:

ax0<

x1<

x2<

<

xn1<

xn

b,Dxi=xi-xi1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi1<xi<xi);

(2)近似代替:

(4)取極限:

設(shè)max{Dx1,

Dx2,,

Dxn},曲邊梯形的面積為

(3)求和:曲邊梯形的面積近似為

;第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一2

（求變速直線運(yùn)動的路程）思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一二、定積分定義

任一種分法任取總趨于確定的極限

I,

則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一定理1.定理2.且只有有限個間斷點(diǎn)

(證明略)定積分存在的條件第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一例1.

用定積分表示下列極限:解:第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一定積分的幾何意義abxyo圖5－1,,在上連續(xù)，oyabx圖5－3第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一

既有正值又有負(fù)值時(shí)，

各部分面積的代數(shù)和第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一利用幾何意義求定積分

解

函數(shù)

y1x在區(qū)間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.

因?yàn)橐詙=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形是一個直角三角形,

其底邊長及高均為1,

所以

例2

習(xí)題：

利用定積分的幾何意義，說明下列等式：41102p=-òdxx第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。?、定積分的性質(zhì)第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)1性質(zhì)2補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.性質(zhì)3（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）性質(zhì)4第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)5推論1：（1）推論2：（2）第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一解令于是第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)6第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一解第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一使即積分中值公式的幾何解釋：第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理矩