定積分的物理應用

定積分的物理應用第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一一、平面物質(zhì)線段的質(zhì)量已知在閉區(qū)間[a,b]上的物質(zhì)直線段L，線密度為(x)，且(x)是連續(xù)函數(shù)，求線段L

的質(zhì)量.質(zhì)量元素：從而線段L的質(zhì)量為L第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例1一金屬棒長3(m)，離棒左端x(m)處的線密度為(x)=問：x為何值時，[0,x]一段的質(zhì)量為全棒的一半？解[0,x]上一段的質(zhì)量為第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一而全棒的質(zhì)量為M(3)=2,故依題意有第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一二、功O問題：設物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從x＝a移動到x=b，力的方向與運動方向平行，求變力所作的功.由物理學，已知常力F0將質(zhì)點從點a移至b,所作的功為：1.變力沿直線所作的功第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一功W具有可用定積分計算的量的三個特征，故可考慮用定積分的“元素法”來計算.功元素：注當力的方向與質(zhì)點的運動方向一致時，W為正；當力的方向與質(zhì)點的運動方向相反時，W為負.xo第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例2自地面垂直地向上發(fā)射火箭.設火箭的質(zhì)量為m,求：(1)火箭離開地面距離為h

時，克服地球引力所作的功W;(2)若要火箭飛離地球，火箭的初始速度v0

至少為多少？解(1)1°建立坐標系(如圖)rO設地球的質(zhì)量為M,半徑為R.地平面第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一rO地平面?

r用于克服地球引力的外力：2o由萬有引力定律，地球?qū)ξ挥邳cr處的火箭的引力：?h?

r+dr功元素：R?地心第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一(2)當火箭飛離地球時，即若要火箭飛離地球，則火箭的初始動能至少要等于火箭飛離地球時克服地球引力所作的功(即由此功全部轉(zhuǎn)化成的火箭的位能)第二宇宙速度第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一一圓柱形蓄水池高為5米，底半徑為3米，池內(nèi)盛滿了水.2.從容器中抽出液體作的功例3分析把一桶重量為P的水(看成質(zhì)點),提到高度為h的地方，克服重力所作的功為：然而，現(xiàn)在的情形是將池內(nèi)的水連續(xù)不斷地問：要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？點擊圖片任意處播放\暫停第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一抽出，而不是象提水桶那樣，整體一下子提到某一高度。在水被抽出的過程中，液面到池口的距離是一個變量.解決的方法：把池中的水分成若干層，則“把池中的水抽空所作的功”=“分別把每層水從池中抽出所作的功的和”.而“把每層水從池中抽出所作的功”“把這層水看成一個整體從池中提到池口所作的功”.第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一解建立坐標系如圖這一薄層水的重力元素為:功元素：(千焦)．第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一三、液體側(cè)壓力設液體密度為,深為h處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用定積分來解決.平板一側(cè)所受的壓力為??面積為

A的平板第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例4小窄條上各點的壓強近似相等為

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解建立坐標系如圖.所論半圓利用對稱性,側(cè)壓力元素的方程為一水平橫放的半徑為R的圓桶,內(nèi)盛半桶密度端面所受側(cè)壓力為第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一注1°當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強近似為為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)2°對于選定的坐標系，平板邊界曲線的方程，水深，積分區(qū)間一定要匹配！第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一四、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,回顧：

兩質(zhì)點的引力則需用積分解決.第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例5設有一長度為l,線密度為

的均勻細直棒,在其中垂線上距

a

單位處有一質(zhì)量為m

的質(zhì)點

M,試計算該棒對質(zhì)點的引力.解

建立坐標系如圖.細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一注2°若考慮質(zhì)點沿y軸從a處移到

1°當細棒很長時,可視l為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.b

(a<b)處時，克服引力作的功,則有第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一引力大小為注意正負號3°當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容小結(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量Q,并計算之.2.定積分的物理應用:曲線弧段的質(zhì)量，變力作功,側(cè)壓力,引力等.條、段、環(huán)、帶、1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一思考題解如圖建立坐標系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹,把容備用題

例2-1求移動過程中氣體壓力所作的功.解建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強p與體積V成反比,即故作用在活塞上的力為器中的一個面積為S的活塞從點a處移動到點b處(如圖),第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一功元素為所求功為第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例2-2解當單位正電荷距離原點r時,由庫侖定律電場力為在一個帶

+q

電荷所產(chǎn)生的電場作用下,一個單位正電荷沿直線從距離點電荷a處移動到b處(a<b),求電場力所作的功.則功的元素為所求功為第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第例2-3解木板對鐵釘?shù)淖枇榻⒆鴺讼等鐖D，則第一次錘擊時所作的功為xox一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第n次錘擊時又將鐵釘擊入多少？第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一第一次錘擊時所作的功為設n次擊入的總深度為h厘米n次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等．n次擊入的總深度為第n次擊入的深度為xoh第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例2-4(99考研)解

作x軸如圖.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,在提升過程中污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重將抓起污泥的抓斗由x提升dx所作的功為400N,纜繩每米重50N,第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一提升抓斗中的污泥:克服纜繩重:抓斗升至x處所需時間:克服抓斗自重:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉

第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一解如圖所示建立坐標系.于是對半圓上任一點,有例3-1第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一故所求速度為第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一R-y功元素：第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一思考:若建立坐標系（如圖），又如何求功W?解x第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一功元素第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例4-1解建立坐標系如圖面積元素：壓力元素：壓力：第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例4-2斜邊為定長的直角三角形薄板,垂直放置于水解

選取坐標系如圖.設斜邊長為l,中,并使一直角邊與水面相齊,問斜邊與水面交成銳角

取多大時，薄板所受的壓力P最大.則其方程為第40頁，共43頁，2023年，2月20