彈塑性力學(xué)第八章

彈塑性力學(xué)第八章2023/4/291第1頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

在第五章的最后我們以圓柱形桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明空間三維問(wèn)題的求解過(guò)程。（無(wú)體力）對(duì)于圓桿扭轉(zhuǎn)：（扭矩Mz=MT）

應(yīng)力：x=y=z=xy=0

，

位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=0,

K為單位長(zhǎng)扭轉(zhuǎn)角。

2023/4/292第2頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

對(duì)于一般等截面桿扭轉(zhuǎn)w0

稱為自由扭轉(zhuǎn)，為了求解一般等截面桿自由扭轉(zhuǎn)，參考圓桿扭轉(zhuǎn)解進(jìn)行假設(shè)——半逆解?！?-1位移法求解

對(duì)于一般等截面桿自由扭轉(zhuǎn)，可設(shè)位移分量：

u=-Kyz,v=Kxz,

（u、v與園桿扭轉(zhuǎn)一致）

w=K(x,y)

w不能為零,

為x,y函數(shù)。而(x,y)稱為扭曲函數(shù)。2023/4/293第3頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解

無(wú)體力等截面桿扭轉(zhuǎn)位移表達(dá)式已設(shè)定。未知量為：K和(x,y)。（工程）應(yīng)變分量：

u=-Kyz,v=Kxz,

w=K(x,y)

2023/4/294第4頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解應(yīng)力分量：x=y=z=xy=0，

所有物理量均由K和(x,y)

表示。

2023/4/295第5頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解

按位移法求解，基本方程為平衡微分方程（三個(gè)）。

或2=0

兩個(gè)平衡微分方程自然滿足，而第三個(gè)方程為：2023/4/296第6頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解基本方程僅為一個(gè)，求解(x,y)的方程。由基本方程可見(jiàn)(x,y)為一個(gè)調(diào)合函數(shù)。同時(shí)在基本方程中不出現(xiàn)K。K的確定當(dāng)然也應(yīng)通過(guò)邊界條件來(lái)確定。扭曲函數(shù)(x,y)除了滿足2=0,還需要滿足邊界條件，2023/4/297第7頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解首先考察扭桿側(cè)邊的邊界條件：（主要邊界）在側(cè)邊上方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)

面力：

滿足

xyozMTMT2023/4/298第8頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解

yxonMT-dxdy

上式也可以用

——邊界條件用(x,y)的偏微分表示。

由于

則

代入側(cè)面邊界條件

2023/4/299第9頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解在扭桿端面（如z=0):法線的方向余弦

(l,m,n)=(0,0,-1)

桿端截面法線方向面力，滿足；合力為零合力矩為零xyozMTMT而在桿端截面面內(nèi)的面力分布不清楚，應(yīng)用圣維南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求

2023/4/2910第10頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解上式也可以表示為可以證明當(dāng)扭曲函數(shù)(x,y)在主要邊界上力邊界條件滿足時(shí)，則和自然滿足。見(jiàn)以下：

2023/4/2911第11頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解利用格林公式2=0

2023/4/2912第12頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-1位移法求解

而第三個(gè)方程為：

——扭矩MT與K和(x,y)的關(guān)系。

小結(jié)：

用位移法求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題歸結(jié)為求解扭曲函數(shù)(x,y)和單位扭轉(zhuǎn)角K。2023/4/2913第13頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2=0

在V上在桿側(cè)邊上由求(x,y)

§8-1位移法求解當(dāng)(x,y)確定后，利用桿端面條件——求K

令

——扭轉(zhuǎn)剛度

當(dāng)(x,y)

和K均找到后，則扭桿的位移、應(yīng)力均可求出。

2023/4/2914第14頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一作業(yè)：

證明扭曲函數(shù)能用來(lái)求橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，其中a和b

為橢圓截面的半軸長(zhǎng)度，并且扭矩為2023/4/2915第15頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解按位移法求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題要求在V內(nèi)求解調(diào)和方程2=0,其邊界條件

((x,y)

的微分形式）但能滿足邊界條件調(diào)合函數(shù)

(x,y)

是不易找到的。下面討論按應(yīng)力法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題基本方程以及應(yīng)力函數(shù)法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的作法。2023/4/2916第16頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解2.1按應(yīng)力法求解方程

同圓桿扭轉(zhuǎn)類似，設(shè)x=y=z=xy=0僅存在zx(x,y)=xz和zy(x,y)=yz兩個(gè)應(yīng)力分量，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力法的基本方程九個(gè)（三個(gè)平衡和六個(gè)相容方程）2023/4/2917第17頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解三個(gè)平衡方程：

前兩式自然滿足，剩下一個(gè)控制方程無(wú)體力相容方程為：

由于設(shè)x=y=z=0，=0

2023/4/2918第18頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解則相容方程中有四個(gè)自然滿足，僅剩下兩個(gè)控制方程

2zx=0

和

2zy=0按應(yīng)力法求解基本方程為三個(gè)

2zx=02zy=02023/4/2919第19頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解邊界條件：在側(cè)邊：方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)

面力：；前兩個(gè)方程滿足；

第三個(gè)力邊界條件：lzx+mzy=0

在端面：方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)

面力：滿足。

2023/4/2920第20頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解在

x,y方向面力應(yīng)用圣維南原理2023/4/2921第21頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解2.2按應(yīng)力函數(shù)(x,y)求解

設(shè)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系為

則應(yīng)力法第一個(gè)基本方程（平衡微分方程）自然滿足。2023/4/2922第22頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解常數(shù)C是什么？C和位移法公式中的系數(shù)有什么關(guān)系?

將上式代入應(yīng)力法的其它兩個(gè)基本方程，得

2=C（泊松方程）

由應(yīng)力函數(shù)法和位移法可知

2023/4/2923第23頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解

將應(yīng)力函數(shù)代入桿側(cè)邊的邊界條件

lzx+mzy=0

2023/4/2924第24頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解而

代入邊界條件，得

則應(yīng)力函數(shù)在扭桿側(cè)邊應(yīng)該為常數(shù):s=C1

yxonMT-dxdylzx+mzy=0

2023/4/2925第25頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解對(duì)于單連域：可取s=0

xyS1S0S2對(duì)于復(fù)連域：可取一條邊界線上s為零，而其它邊界s為非零常數(shù)：

s0=0,si=Ci0,i=1,2,3再將(x,y)代入端面上的邊界條件：方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)，面力：滿足。2023/4/2926第26頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解在x,y方向面力應(yīng)用圣維南原理第一、二方程恒滿足。

第一個(gè)方程

第二個(gè)方程

2023/4/2927第27頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解在x,y方向面力應(yīng)用圣維南原理第三個(gè)方程

yxoMTXY2023/4/2928第28頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解當(dāng)為單連域時(shí)：在s上s=0當(dāng)為多連域時(shí)：

s0=0,si=Ci0,i=1,2,32023/4/2929第29頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解(Ai為si圍成的面積。)

2023/4/2930第30頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解總結(jié)：

按應(yīng)力函數(shù)(x,y)求解,(x,y)須滿足

2=-2KG=C，且(x,y)與MT

之間滿足

（單連域）

（多連域）2023/4/2931第31頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解在柱體側(cè)邊

s=0

（單連域）

si=Ci

（多連域）

當(dāng)K和(x,y)由上述方程確定后，可求出zx、zy以及應(yīng)變和位移。2023/4/2932第32頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬

對(duì)于截面形狀比較復(fù)雜的柱體，不管采用位移法還是應(yīng)力法求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題解答（解析解）是很困難的，而普朗特（Prondtl）在1903年提出了薄膜比擬，它利用薄膜在均勻壓力下的垂度與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學(xué)上的相似性，用薄膜來(lái)比擬扭桿，它可以幫助我們尋找扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解答,尤其是對(duì)截面較復(fù)雜的扭轉(zhuǎn)可以避開數(shù)學(xué)上的困難，而采用實(shí)際薄膜比擬實(shí)驗(yàn)測(cè)定，形象的獲得一些有價(jià)值的解。

2023/4/2933第33頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬xyooxzq

TTTTTTdydx

一均勻薄膜形狀同扭桿截面，周邊固定，并使薄膜受均勻微小壓力q作用，薄膜將微微凸起，而形成曲面

z=z(x,y)，薄膜僅承受張力（拉力）T。

下面來(lái)尋求薄膜垂度z=z(x,y)

所應(yīng)滿足的方程和邊界條件。2023/4/2934第34頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬xyooxzq

TTTTTTdydx

尋求z=z(x,y)應(yīng)滿足的方程，即求解方程是由薄膜微元dxdy的z方向的平衡條件來(lái)確定(Fz=0)。2023/4/2935第35頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬xyooxzq

TTTTTTdydx整理后，得

或——

z(x,y)

所應(yīng)滿足的方程。

2023/4/2936第36頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬xyooxzq

TTTTTTdydx與扭轉(zhuǎn)問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)(x,y)所應(yīng)滿足方程和邊界條件相比（2=-2KG

，s=0

），

與z之間存在比擬關(guān)系:薄膜垂度z=z(x,y)

所應(yīng)滿足的邊界條件：zs=0（單連域）。2023/4/2937第37頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬薄膜垂度z(x,y)可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，再根據(jù)上再根據(jù)上式可確定的分布規(guī)律。在應(yīng)力函數(shù)解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，考慮邊界條件還有——由此式確定比例系數(shù)（單連域）

扭矩MT與薄膜垂度所圍成體積的兩倍之間也同樣存在一致的比擬關(guān)系。2023/4/2938第38頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬對(duì)于多連域，在孔邊上應(yīng)為常數(shù)，所以在薄膜比擬試驗(yàn)中，開孔區(qū)應(yīng)用平行于x-y平面的無(wú)重剛性平板來(lái)代替。扭桿剪應(yīng)力：

剪應(yīng)力分量的大小與該薄膜垂度上對(duì)應(yīng)點(diǎn)沿垂直方向的斜率成正比2023/4/2939第39頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬yxsnzyzx扭轉(zhuǎn)截面上任意點(diǎn)總剪應(yīng)力（應(yīng)力矢量t）數(shù)值和方向確定:任意點(diǎn)總剪應(yīng)力數(shù)值可利用薄膜等高線，平行于x-y面的平面與薄膜相截可獲得一系列閉合曲線——薄膜等高線。2023/4/2940第40頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬在等高線上任意點(diǎn)應(yīng)力可沿x,y方向分解，也可沿n,s方向分解。根據(jù)剪應(yīng)力分量與薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例:在等高線上,所以在等高線上

yxsnzyzx2023/4/2941第41頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬任意點(diǎn)總剪力

（等高線切方向）與垂度等高線的垂直方向斜率成正比。薄膜等高線為扭桿橫截面上的剪應(yīng)力線。發(fā)生在薄膜具有最陡斜率的點(diǎn)處，一般在桿邊界上。

yxsnzyzx截面上的最大剪應(yīng)力

2023/4/2942第42頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-3薄膜比擬總結(jié)薄膜比擬與桿扭轉(zhuǎn)各物理量之關(guān)系

柱扭轉(zhuǎn)(x,y)

2GK

Mzzx,zy（等高線方向）薄膜比擬z(x,y)q/T

2V,2023/4/2943第43頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例ba

yx

采用應(yīng)力函數(shù)解法求扭轉(zhuǎn)問(wèn)題,應(yīng)力函數(shù)(x,y)

在域內(nèi)滿足方程

2=-2KG

——（1）例題1.橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)。

在邊界上滿足方程

s=0

——（2）以及

——（3）2023/4/2944第44頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例由于橢圓桿截面方程為

因此，可設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y)

為則(x,y)自然滿足方程s=0。ba

yx2023/4/2945第45頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例代回(x,y)

再代回（3）式

注意

，，將(x,y)代入基本方程2=-2KG

，得

2023/4/2946第46頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例再代回（3）式

注意

得

2023/4/2947第47頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例應(yīng)力分量

各點(diǎn)總剪應(yīng)力：

最大剪應(yīng)力在柱截面邊界上（）：

設(shè)ab，當(dāng)y=b時(shí)

為最大。

2023/4/2948第48頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例應(yīng)變:x=y=z=xy=0，

位移：當(dāng)不考慮剛體位移時(shí)

橢圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿縱向發(fā)生位移。

2023/4/2949第49頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例例題2.

等邊三角形截面（高為a）受扭矩Mz

作用，求截面剪應(yīng)力。

x-a=0ax

y解：對(duì)于單連域，應(yīng)力函數(shù)

s=0，考慮此原因，設(shè)

時(shí)同橢圓桿扭轉(zhuǎn)一樣，取三角形截面桿的邊界方程為

的因子。2023/4/2950第50頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例

設(shè)

則(x,y)自然滿足方程

s=0。2=-2KG

得4ma=-2KG,將(x,y)代入基本方程

x-a=0ax

y2023/4/2951第51頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例利用

或

得，則

2023/4/2952第52頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例應(yīng)力分量為

截面上最大剪應(yīng)力：

2023/4/2953第53頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例例題3.矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)。

y=-b/2y=b/2x=a/2

xx=-a/2y矩形截面

(ab)

受扭矩Mz作用，應(yīng)力函數(shù)中要求

s=0

如果假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

滿足s=0，但

2=-2kG不能滿足。

2023/4/2954第54頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例

所以直接采用上述s=0

的假設(shè)式不能作為扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù).x

yab

利用薄膜比擬，來(lái)判斷狹矩形截面的應(yīng)力函數(shù)特點(diǎn)。

對(duì)于矩形截面桿扭轉(zhuǎn)首先考慮ab時(shí)的情況,情況1:2023/4/2955第55頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例同樣形狀薄膜周邊固定受均勻壓力作用時(shí)，薄膜垂度變化如圖，ozz

yxx

yab可見(jiàn)垂度曲面沿x方向很長(zhǎng)一段為柱面，在此段

，只是在狹矩形截面兩端部，但區(qū)域很小，近似法忽略兩端影響.2023/4/2956第56頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例=(y)

這樣狹矩形界面扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)也認(rèn)為

應(yīng)滿足基本方程為

——（1）

ozz

yx2023/4/2957第57頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例

s=0

——（2）

——（3）

x

yab2023/4/2958第58頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例由式（1）積兩次分，得

將上式代入式（2），得

C1=0,C2=GKb2/4

=-GK(y2-b2/4)

則2023/4/2959第59頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例最后將

代入式（3），得

=-GK(y2-b2/4)

2023/4/2960第60頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例解得

則

應(yīng)力分量截面上最大剪應(yīng)力（y=b/2）：

x

yab2023/4/2961第61頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例原因是忽略了zy（近似的），如不忽略zy（很?。?，但力臂大，產(chǎn)生另一半

Mz/2，按近似計(jì)算，偏于保守。實(shí)際上x

yab將應(yīng)力分量對(duì)截面形心取矩，得2023/4/2962第62頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例情況2：一般矩形截面扭矩（ab

且ab

）:

a/2a/2b/2b/2x

y按應(yīng)力函數(shù)求解，則(x,y)應(yīng)滿足

2=-2KG

b/2=

0,，

a/2

=

0

(x,y)

和

K為待定。

2023/4/2963第63頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例1.將求解(x,y)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)調(diào)和函數(shù)F(x,y)

的問(wèn)題.考慮在狹矩形截面的應(yīng)力函數(shù)為1=-GK(y2-b2/4)能滿足

21

=-2KG和

1y=b/2=0條件，選一般矩形截面的

(x,y):

=1+F(x,y)=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)a/2a/2b/2b/2x

y2023/4/2964第64頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例由于(x,y)滿足2=-2KG，s=0,.因此F(x,y)需要滿足2F=0

Fy=b/2

=

0,

Fx=a/2

=

GK(y2-b2/4)

=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)2023/4/2965第65頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例2.根據(jù)F(x,y)為調(diào)合函數(shù)以及滿足對(duì)稱邊界條件，F(xiàn)(x,y)亦采用級(jí)數(shù)形式的分離變量函數(shù)。即：

Am為待定系數(shù)。

2023/4/2966第66頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例3、利用邊界條件

Fa/2=

GK(y2-b2/4)

將GK(y2-b2/4)展開為cos(my/b)的級(jí)數(shù)，可將Am用GK表示。

2023/4/2967第67頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例4.最后利用，

將GK用Mz表示，并可確定應(yīng)力分量zx,zy。具體過(guò)程參看徐芝綸（上冊(cè)）P.330－333。2023/4/2968第68頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)

薄壁桿件在工程中經(jīng)常碰見(jiàn)，它們可分為開口薄壁和閉口薄壁桿件。下面分別討論它們的計(jì)算方法。5.1開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)開口薄壁桿為單連域，其截面可由曲邊等寬狹長(zhǎng)矩形截面或由幾個(gè)直邊等寬狹長(zhǎng)矩形截面組成。

2023/4/2969第69頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)

對(duì)于曲邊狹長(zhǎng)形截面可近似以等寬的直邊狹長(zhǎng)截面代替進(jìn)行計(jì)算。

從薄膜比擬看兩者圍成的體積和最大斜率不會(huì)有多大差別，當(dāng)兩者受相同扭矩時(shí)，兩個(gè)柱體的K和剪應(yīng)力沒(méi)有多大差別。baMbax

yM2023/4/2970第70頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)baMbax

yM直邊狹長(zhǎng)截面剪應(yīng)力計(jì)算式2023/4/2971第71頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)

對(duì)于由幾個(gè)（若干個(gè)）同樣材料的狹矩形截面組成的薄壁桿,其中第i個(gè)狹矩形截面長(zhǎng)ai，寬bi

，則它應(yīng)承受扭轉(zhuǎn)為：MM3總的扭轉(zhuǎn)為：

MM3M2M1M2M12023/4/2972第72頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)則代回Mi表達(dá)式

第i個(gè)狹矩形截面上的最大剪應(yīng)力為2023/4/2973第73頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)5.2閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)

閉口薄壁桿為多連域，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí)基本方程：

2=-2KGs0=0,si=Ci0,i=1,2…Ai為si圍成的面積。

2023/4/2974第74頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)對(duì)于二連域薄壁扭轉(zhuǎn)桿（一個(gè)孔洞）：

2=-2kGs0=0,s1=C1

S0s

yxS12023/4/2975第75頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)S0sx

yS1對(duì)于薄膜比擬，在外邊固定，而內(nèi)周用無(wú)重剛性平板薄膜垂度方程

2z=-q/Tzs0=0,zs1=h

hqTTxz使薄膜受均勻壓力q后，在S0上：z=0,在S1上：z=h.2023/4/2976第76頁(yè)，共87頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)對(duì)于閉口薄壁桿已知：

Mz,，s（壁厚變化）.

求任一點(diǎn)剪應(yīng)力s和k:

而

S0s

yxS1S0sx

yS1hqTTxz2023/4/2977第77頁(yè)，共87頁(yè)，202