2023屆遼寧省本溪高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)3．若函數(shù)是奇函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．5．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．6．在的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．40 B．80 C．20 D．107．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．8．一車間為規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了4次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下零件數(shù)（個(gè)）2345加工時(shí)間（分鐘）264954根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（）A．37.3 B．38 C．39 D．39.59．某單位為了了解用電量(度)與氣溫()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫()101318－1用電量(度)38342464由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中的，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量度數(shù)約為（）A．64 B．65 C．68 D．7010．已知x，y的取值如下表示：若y與x線性相關(guān)，且，則a=（）x0134y2.24.34.86.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.911．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．14．已知可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)滿足，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則所有這些零點(diǎn)之和為_(kāi)_________．15．已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則_________.16．設(shè)，其中、、、、是各項(xiàng)的系數(shù)，則在、、、、這個(gè)系數(shù)中，值為零的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（I）解不等式：；（II）若函數(shù)的最大值為，正實(shí)數(shù)滿足，證明：18．（12分）如圖，已知三點(diǎn)，，在拋物線上，點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱（點(diǎn)在第一象限），直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).（Ⅰ）若的重心為，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)，的面積分別為，求的最小值．19．（12分）已知等軸雙曲線：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線且垂足為，.（1）假設(shè)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，求的值；（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.20．（12分）某種設(shè)備的使用年限(年)和維修費(fèi)用(萬(wàn)元),有以下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):34562.5344.5（Ⅰ）畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（Ⅱ）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅲ）估計(jì)使用年限為10年，維修費(fèi)用是多少萬(wàn)元？（附：線性回歸方程中，其中，）．21．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足：，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.（I）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）男生4人和女生3人排成一排拍照留念.（1）有多少種不同的排法（結(jié)果用數(shù)值表示）？（2）要求兩端都不排女生，有多少種不同的排法（結(jié)果用數(shù)值表示）？（3）求甲乙兩人相鄰的概率.（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，并將所求不等式化為，利用單調(diào)性可解出該不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，則，，可得，即，，因此，不等式的解集為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，通過(guò)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.2、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在解出不等式可得出所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，，解不等式，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般是先求出導(dǎo)數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)不等式，將解集與定義域取交集得出單調(diào)區(qū)間，但單調(diào)區(qū)間不能合并，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、C【解析】的定義域?yàn)椋鼞?yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又時(shí)，，，為奇函數(shù).又原不等式可以化為，所以，所以，選C.點(diǎn)睛：如果一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么它的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)去求奇函數(shù)或偶函數(shù)中的參數(shù)的值.4、B【解析】

分別求出時(shí)左端的表達(dá)式，和時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是歸納推理，需要結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解，熟知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，最關(guān)鍵的是從到，考查學(xué)生仔細(xì)觀察的能力，是中檔題.5、D【解析】

試題分析：由，，可知6、A【解析】

把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得的展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】解：由的展開(kāi)式中，，令，可得，可得的展開(kāi)式中的系數(shù)是：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解析】

先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).8、C【解析】

求出，代入回歸方程，即可得到實(shí)數(shù)的值?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可得：,，根據(jù)回歸方程過(guò)中心點(diǎn)可得：，解得：；故答案選C【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程中參數(shù)的求法，熟練掌握回歸方程過(guò)中心點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解析】

先求解出氣溫和用電量的平均數(shù)，然后將樣本點(diǎn)中心代入回歸直線方程，求解出的值，即可預(yù)測(cè)氣溫為時(shí)的用電量.【詳解】因?yàn)?，所以樣本點(diǎn)中心，所以，所以，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程的求解以及利用回歸直線方程估計(jì)數(shù)值，難度較易.注意回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心.10、B【解析】

求出，代入回歸方程可求得．【詳解】由題意，，所以，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程，掌握回歸直線方程的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn)．11、D【解析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式，之后在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果.詳解：當(dāng)時(shí)，，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖像，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)再過(guò)時(shí)，斜率，由圖象可知當(dāng)時(shí)，兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要先確定函數(shù)的解析式，之后在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的曲線，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決，非常直觀，在做題的時(shí)候，需要把握動(dòng)直線中的定因素.12、B【解析】方程，可化簡(jiǎn)為：，即.整理得，表示圓心為(0,，半徑為的圓.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、64【解析】分析：由題意，根據(jù)數(shù)列的和的關(guān)系，求得，即可求解的值.詳解：由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列中和的關(guān)系，其中利用數(shù)列的和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.14、【解析】

根據(jù)為奇函數(shù)得到關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，計(jì)算得到答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱函數(shù)滿足關(guān)于對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱恰有個(gè)零點(diǎn)所有這些零點(diǎn)之和為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的中心對(duì)稱，找出中心對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.15、3【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)的周期性，得出函數(shù)的周期，然后利用函數(shù)的周期和的值，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足條件，則，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，令，則，即，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定和函數(shù)值的求解，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件求得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

求出的展開(kāi)式通項(xiàng)為，列舉出在的所有可能取值，從而可得出、、、、這個(gè)系數(shù)中值為零的個(gè)數(shù).【詳解】，而的展開(kāi)式通項(xiàng)為.所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的可能取值有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，因此，在、、、、這個(gè)系數(shù)中，值為零的個(gè)數(shù)為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為零的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵就是借助二項(xiàng)展開(kāi)通項(xiàng)，將項(xiàng)的指數(shù)可取的全都列舉出來(lái)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）（2，6）；（II）詳見(jiàn)解析.【解析】

（I）按零點(diǎn)分類討論，去掉絕對(duì)值，分別求解不等式，即可得絕對(duì)值不等式的解集；（II）由函數(shù)，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】（I）當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，無(wú)解.綜上所述，原不等式的解集為（2，6）.（II）證明：=，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解，以及不等式的證明問(wèn)題，其中解答中合理分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)是解答含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵，同時(shí)注意基本不等式在不等式證明中的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)A,P,Q三點(diǎn)的坐標(biāo)，將重心表示出來(lái)，且A,P,Q在拋物線上，可解得A,P兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線AP；(Ⅱ)設(shè)直線PQ和直線AP，進(jìn)而用橫坐標(biāo)表示出，討論求得最小值。【詳解】(Ⅰ)設(shè),,則，所以，所以，所以(Ⅱ)設(shè)由得所以即又設(shè)由得，所以所以所以即過(guò)定點(diǎn)所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系以及圓錐曲線中的最值問(wèn)題，屬于拋物線的綜合題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法.19、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)為過(guò)作一條漸近線的垂線的垂足，以及，可求出雙曲線中的值，借助雙曲線中，，的關(guān)系，得到雙曲線方程．根據(jù)直線的方向向量以及點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出，的值，代入中，即可求出的值．（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解，，用含的式子表示，再代入中，若為常數(shù)，則結(jié)果與無(wú)關(guān)，求此時(shí)的值即可．【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，雙曲線為等軸雙曲線，則漸近線為，由對(duì)稱性可知，右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等，且．為等腰直角三角形，則由又等軸雙曲線中，等軸雙曲線的方程為：.設(shè)，，，為雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，，直線的方向向量為，直線的方程為，即代入雙曲線的方程，可得，，，而（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，其中，，，，為雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，①當(dāng)直線與軸不垂直是，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程，可得，由題意可知，，則有，，要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，.②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn)，，若，亦為常數(shù).綜上可知，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查等軸雙曲線的方程、直線與雙曲線位置關(guān)系中定點(diǎn)、定值問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，對(duì)運(yùn)算求解能力的要求較高．20、(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3)當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元.【解析】（1）直接將四個(gè)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中描出；（2）先計(jì)算，，再借助計(jì)算出，求出回歸方程；（3）依據(jù)線性回歸方程求出當(dāng)時(shí)，的值：【試題分析】（1）按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：先驗(yàn)證時(shí)成立，再假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，分析推證時(shí)也成立：(1)(2)；所求的線性回歸方程：(3)當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）設(shè),利用復(fù)數(shù)相等的概念求出復(fù)數(shù)z;（Ⅱ）先計(jì)算出，再求a的值.【詳解】解；（Ⅰ）設(shè)，則，解得或（舍去）..（Ⅱ），，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的求法和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）5040；（2）1440；（3）.【解析】

（1）根據(jù)排列的定義及排列數(shù)公式,即可求得總的排列方法.