冪級(jí)數(shù)及其收斂性

冪級(jí)數(shù)及其收斂性第1頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一般形式為②冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過(guò)變量代換y=x-x0方法化為式②.一、冪級(jí)數(shù)及其收斂性第2頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則稱冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的，否則稱為缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù).例如冪級(jí)數(shù)缺x的奇次冪，叫缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，又如是不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù).第3頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理如果該冪級(jí)數(shù)收斂;該冪級(jí)數(shù)發(fā)散.記作

R,R=.即第4頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因?yàn)樗灰欢ㄊ钦?xiàng)級(jí)數(shù)，證若將x看成是一個(gè)確定的值，那么就得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，為此，我們可對(duì)冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值，得這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù).運(yùn)用比值審斂法.因?yàn)榈?頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一也就是說(shuō)顯然，此時(shí)所給冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值越來(lái)越大，一般項(xiàng)不趨近于零.由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知該冪級(jí)數(shù)發(fā)散.因此它必然收斂.第6頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可運(yùn)用上述定理求收斂半徑例2試求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.解

所給的冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的，它是發(fā)散的.此為調(diào)和級(jí)數(shù)，第7頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第8頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例3求冪級(jí)解所給冪級(jí)數(shù)缺少x的奇次冪項(xiàng)，對(duì)此正項(xiàng)級(jí)數(shù)利用比值審斂法因此不能直接利用公式求收斂半徑R.是一個(gè)缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，第9頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所求冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第10頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一冪級(jí)數(shù)收斂.

例4

解

運(yùn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法.第11頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一區(qū)間端點(diǎn)處:當(dāng)x=0時(shí)，第12頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、麥克勞林(Maclaurin)公式二、直接展開(kāi)法三、間接展開(kāi)法8.2.2、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第13頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一泰勒

(Taylor)公式

如果函數(shù)

f(x)在x=x0有直到

(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有如下公式:一、麥克勞林(Maclaurin)公式①第14頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

其中稱為拉格朗日型余項(xiàng).①式稱為泰勒公式

.就得到②第15頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

②式稱為麥克勞林公式.冪級(jí)數(shù)我們稱之為麥克勞林級(jí)數(shù).那么它是否以函數(shù)f(x)為和函數(shù)呢?③第16頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即那么，級(jí)數(shù)③收斂于函數(shù)f(x)的條件為若令麥克勞林級(jí)數(shù)③的前n+1項(xiàng)和為第17頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級(jí)數(shù)③的關(guān)系，可知于是，當(dāng)時(shí)，有反之，若必有第18頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這表明，麥克勞林級(jí)數(shù)③以f(x)為和函數(shù)的充要條件，這樣，我們就得到了函數(shù)f(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：②④第19頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一也表示了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的.它就是函數(shù)f(x)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式.冪級(jí)數(shù):稱為泰勒級(jí)數(shù).第20頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用麥克勞林公式將函數(shù)f(x)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法，稱為直接展開(kāi)法.解例1試將函數(shù)f(x)=ex展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).可以得到二、直接展開(kāi)法第21頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此我們可以得到冪級(jí)數(shù)顯然，這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(,+).因?yàn)棰蔻薜?2頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注意到，對(duì)任一確定的x值，而級(jí)數(shù)⑥是絕對(duì)收斂的，因此其一般項(xiàng)當(dāng)n時(shí)，≤所以，當(dāng)n時(shí),第23頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由此可知因此有⑥,e)(

xxf=確實(shí)收斂于這表明級(jí)數(shù)第24頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解于是可以得到冪級(jí)數(shù)例2試將第25頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一且它的收斂區(qū)間為因?yàn)樗o函數(shù)的麥克勞林公式的余項(xiàng)為所以可以推知第26頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此得到≤第27頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解而所以根據(jù)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的法則，可得例3試求函數(shù)三、間接展開(kāi)法第28頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因?yàn)閮缂?jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變，所以，上式右端級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R=1;故收斂域?yàn)?/p>

1<x

≤1.當(dāng)x=1時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂.而當(dāng)x=1時(shí)該級(jí)數(shù)發(fā)散，第29頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解

因?yàn)槔?試將函數(shù)x的冪級(jí)數(shù).展開(kāi)成第30頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以且第31頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)冪級(jí)數(shù)和的運(yùn)算法則，其收斂半徑應(yīng)取較小的一個(gè)，故R=1，因此所得冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為1<x<1.第32頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解令x1=y，則x=y+1，代入得例

7將函數(shù)收斂區(qū)間為(0,2).所以因第33頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例8試將函數(shù)解則原題就轉(zhuǎn)化成將函數(shù)

于是有第34頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第35頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一最后，我們將幾個(gè)常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式列在下面，以便于讀者查用.≤第36頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第37頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一