電磁場理論時變場

優(yōu)選電磁場理論時變場目前一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點作業(yè)：5-4；5-5；5-8；5-10

目前二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點5.1法拉第電磁感應(yīng)定律圖5-1法拉第電磁感應(yīng)定律(5-1)目前三頁\總數(shù)八十二頁\編于十點當(dāng)回路線圈不止一匝時，例如一個N匝線圈，可以把它看成是由N個一匝線圈串聯(lián)而成的，其感應(yīng)電動勢為如果定義非保守感應(yīng)場Eind(稱為感應(yīng)電場）沿閉合路徑l的積分為l中的感應(yīng)電動勢，那么式(5-1)可改寫為(5-3)目前四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點如果空間同時還存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場Ec，則總電場E為兩者之和，即E=Ec+Eind。但是，所以式(5-3)也可改寫為引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強度B隨時間的變化，也可以是閉合回路l自身的運動(大小、形狀、位置的變化)。(5-4)目前五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點式(5-4)變?yōu)槔檬噶克雇锌怂?Stokes)定理，上式可寫為上式對任意面積均成立，所以目前六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點5.2位移電流在3-1節(jié)已學(xué)過，電荷守恒定律的數(shù)學(xué)描述就是電流連續(xù)性方程：其微分形式是：目前七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點靜態(tài)場中的安培環(huán)路定律之積分形式和微分形式為和因為任意矢量A，其旋度的散度恒為零，即兩式矛盾!有P298(A1.10)目前八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點麥氏修訂:目前九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點由于所以位移電流定義位移電流密度:于是,位移電流電流分類真實電流:包括傳導(dǎo)電流和運流電流,是實際電荷的運動形成的電流。位移電流:不是實際電荷的運動形成的電流，但與真實電流相同會產(chǎn)生磁場

（說明磁化電流)目前十頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例計算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的振幅之比（改書）。設(shè)銅中的電場為E0sinωt，銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。解：銅中的傳導(dǎo)電流大小為目前十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點*例證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。解：根據(jù)麥克斯韋方程可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為目前十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例在無源的自由空間中，已知磁場強度求位移電流密度Jd。解：無源的自由空間中J=0,式(5-22)變?yōu)槟壳笆揬總數(shù)八十二頁\編于十點5.3麥克斯韋方程組1.麥克斯韋方程組安培環(huán)路定律（修訂后）

法拉第電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性方程

高斯定律

目前十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點積分形式：目前十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點如果我們假設(shè)過去或?qū)砟骋粫r刻，▽·B在空間每一點上都為零，則▽·B在任何時刻處處為零，所以有各方程非獨立，例如：可見，由法拉第電磁感應(yīng)定律推得磁通連續(xù)性方程，方程非獨立。目前十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點2.麥克斯韋方程的輔助方程——本構(gòu)關(guān)系一般而言，表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為對于各向同性的線性媒質(zhì)，式(5-30)可以寫為(5-30)

在電磁場理論中，媒質(zhì)是以的不同加以區(qū)分的。目前十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點*3.洛侖茲力電荷(運動或靜止)激發(fā)電磁場，電磁場反過來對電荷有作用力。當(dāng)空間同時存在電場和磁場時，以恒速v運動的點電荷q所受的力為如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為ρ，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場力密度為上式稱為洛侖茲力公式。近代物理學(xué)實驗證實了洛侖茲力公式對任意運動速度的帶電粒子都是適應(yīng)的。目前十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點*例證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會有永久的自由電荷分布。

解：將J=σE代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有由于目前十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例已知在無源的自由空間中，其中E0、β為常數(shù)，求H。解：所謂無源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和電荷，即J=0,ρ=0。目前二十頁\總數(shù)八十二頁\編于十點由上式可以寫出：目前二十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點5.4時變電磁場的邊界條件圖5-3法向分量邊界條件目前二十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點1.一般情況如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為由上面兩式，得電位移矢量的法向分量邊界條件的矢量形式為目前二十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十點或者如下的標量形式：若分界面上沒有自由面電荷，則有然而D=εE，所以綜上可見，如果分界面上有自由面電荷，那么電位移矢量D的法向分量Dn越過分界面時不連續(xù)，有一等于面電荷密度ρS的突變。如ρS=0，則法向分量Dn連續(xù)；但是，分界面兩側(cè)的電場強度矢量的法向分量En不連續(xù)。目前二十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點磁感應(yīng)強度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為或者如下的標量形式的邊界條件：由于B=μH，所以目前二十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點圖---切向分量邊界條件將麥克斯韋方程目前二十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點*設(shè)n(由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1)、l分別是Δl中點處分界面的法向單位矢量和切向單位矢量，b是垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量，三者的關(guān)系為將麥克斯韋方程目前二十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點因為有限而h→0，所以如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流，則在回路所圍的面積上，綜合以上三式得*b是任意單位矢量，且n×H與JS共面(均切于分界面)，所以目前二十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點如果分界面處沒有自由面電流，那么由上式可以獲得目前二十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點目前三十頁\總數(shù)八十二頁\編于十點2.兩種特殊情況!

一、兩介質(zhì)面的邊界條件

因為不導(dǎo)電，所以面上ρs=0且JS=0，有：目前三十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點它們相應(yīng)的標量形式為目前三十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點二、理想導(dǎo)體與(理想)介質(zhì)的分界面理想導(dǎo)體是指σ→∞，所以在理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場。此外，在時變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部也不存在磁場。故在時變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電磁場，即所有場量為零。設(shè)n是理想導(dǎo)體的外法向矢量，E、H、D、B為理想導(dǎo)體外部的電磁場，那么理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：

重要結(jié)論電場垂直于導(dǎo)體表面，磁場平行于導(dǎo)體表面！目前三十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場強度為試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布（書上有錯?。?/p>

解：目前三十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點**例設(shè)區(qū)域Ⅰ(z<0)的媒質(zhì)參數(shù)εr1=1,μr1=1,σ1=0；區(qū)域Ⅱ(z>0)的媒質(zhì)參數(shù)εr2=5,μr2=20,σ2=0。區(qū)域Ⅰ中的電場強度為區(qū)域Ⅱ中的電場強度為試求：(1)常數(shù)A；(2)磁場強度H1和H2；(3)證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件。目前三十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點解：(1)在無耗媒質(zhì)的分界面z=0處，有由于E1和E2恰好為切向電場，目前三十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點(2)根據(jù)麥克斯韋方程有所以目前三十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點同理，可得(3)將z=0代入(2)中得目前三十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點5.5時變電磁場的能量與能流考慮一般情況。在一有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中存在電磁場，媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，電場會在此有耗導(dǎo)電媒質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流J=σE，根據(jù)焦耳定律，在體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流引起的功率損耗是由麥克斯韋方程式目前三十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點利用矢量恒等式目前四十頁\總數(shù)八十二頁\編于十點利用散度定理上式可改寫為這就是適合一般媒質(zhì)的坡印廷定理。目前四十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式對于各向同性的線性媒質(zhì)，即D=εE,B=μH,J=σE,可知，同理，目前四十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點對于各向同性的線性媒質(zhì)，坡印廷定理表示如下：為了說明式(5-44)的物理意義，我們首先假設(shè)儲存在時變電磁場中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場的相同，即w=we+wm。其中，we=1/2(D·E)為電場能量密度，wm=1/2(B·H)為磁場能量密度，它們的單位都是J/m3。另外，引如一個新矢量目前四十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十點稱為坡印廷矢量，單位是W/m2。據(jù)此，坡印廷定理可以寫成上式右邊第一項表示體積V中電磁能量隨時間的增加率，第二項表示體積V中的熱損耗功率(單位時間內(nèi)以熱能形式損耗在體積V中的能量)。根據(jù)能量守恒定理，上式左邊一項-∮SS·dS=-∮S(E×H)·dS必定代表單位時間內(nèi)穿過體積V的表面S流入體積V的電磁能量。因此，面積分∮SS·dS=∮S(E×H)·dS表示單位時間內(nèi)流出包圍體積V的表面S的總電磁能量。由此可見，坡印廷矢量S=E×H為通過S面上單位橫截面積的電磁功率。面積目前四十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點

討論之一：在靜電場和靜磁場情況下，由于電流為零以及，所以坡印廷定理只剩一項∮S(E×H)·dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在場中任何一點，單位時間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒有電磁能量流動。由此可見，在靜電場和靜磁場情況下，S=E×H并不代表電磁功率流密度。目前四十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點討論之二：在恒定電流的電場和磁場情況下，，所以由坡印廷定理可知，∫VJ·EdV=-∮S(E×H)·dS。因此，在恒定電流場中，S=E×H可以代表通過單位面積的電磁功率流。它說明，在無源區(qū)域中，通過S面流入V內(nèi)的電磁功率等于V內(nèi)的損耗功率。討論之三：在時變電磁場中，S=E×H代表瞬時功率流密度，它通過任意截面積的面積分P=∫S(E×H)·dS代表瞬時功率。目前四十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為σ，載有直流電流I的長直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗證坡印廷定理。

解：如圖5-5，一段長度為l的長直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有圖5-5坡印廷定理驗證目前四十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點在導(dǎo)線表面，因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有目前四十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點

例一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可以求出同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場和磁場：(見P43)目前四十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點上式說明電磁能量沿z軸方向流動，由電源向負載傳輸。通過同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為這一結(jié)果與電路理論中熟知的結(jié)果一致。（再舉例說明能量在導(dǎo)線外傳輸）目前五十頁\總數(shù)八十二頁\編于十點5.6正弦電磁場1.正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法

時變電磁場的任一坐標分量隨時間作正弦變化時，其振幅和初相也都是空間坐標的函數(shù)。以電場強度為例，在直角坐標系中:目前五十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點式中電場強度的各個坐標分量為與電路理論中的處理相似，利用復(fù)數(shù)或相量來描述正弦電磁場場量，可使數(shù)學(xué)運算簡化：對時間變量t進行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項的共同時間因子ejωt)。例如，目前五十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點可見有下一一對應(yīng)關(guān)系：目前五十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十點因此，我們也把稱為瞬時值Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos［ωt+φx(x,y,z)］的復(fù)數(shù)形式。給定函數(shù)Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos［ωt+φx(x,y,z)］，有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)；反之亦然。目前五十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點同理，電場強度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為目前五十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點式中稱為電場強度的復(fù)矢量，它只是空間坐標的函數(shù)，與時間t無關(guān)。這樣我們就把時間t和空間x、y、z的四維(x,y,z,t)矢量函數(shù)簡化成了空間(x,y,z)的三維函數(shù)，即

若要得出瞬時值，只要將其復(fù)振幅矢量乘以ejωt并取實部，便得到其相應(yīng)的瞬時值：目前五十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場矢量變換成瞬時值，或作相反的變換。目前五十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點例將下列場矢量的復(fù)數(shù)形式寫為瞬時值形式。目前五十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點2.麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式在復(fù)數(shù)運算中，對復(fù)數(shù)的微分和積分運算是分別對其實部和虛部進行的，并不改變其實部和虛部的性質(zhì)，故上式交換運算順序，有：目前五十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點因為t的任意性，故:以及電流連續(xù)性方程的復(fù)數(shù)形式：同理，有：（畫圖說明兩套方程的關(guān)系。同學(xué)作筆記）目前六十頁\總數(shù)八十二頁\編于十點3.時間平均坡印廷矢量對正弦電磁場，當(dāng)場矢量用復(fù)數(shù)表示時：從而坡印廷矢量瞬時值可寫為******目前六十一頁\總數(shù)八十二頁\編于十點它在一個周期T=2π/ω內(nèi)的平均值為Sav它與時間t無關(guān)，表示復(fù)功率流密度，其實部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無功功率流密度。注意式中的電場強度和磁場強度是復(fù)矢量而不是瞬時值；E*、H*是E、H的共扼復(fù)數(shù)，Sav稱為（時間）平均坡印廷矢量。(可以證明)目前六十二頁\總數(shù)八十二頁\編于十點*4.復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率媒質(zhì)在電磁場作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導(dǎo)，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。在靜態(tài)場中這些參數(shù)都是實常數(shù)；而在時變電磁場作用下，反映媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與場的時間變化有關(guān)，對正弦電磁場即與頻率有關(guān)。研究表明：一般情況下(特別在高頻場作用下)，描述媒質(zhì)色散特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù)，其實部和虛部都是頻率的函數(shù)，且虛部總是大于零的正數(shù)，即目前六十三頁\總數(shù)八十二頁\編于十點目前六十四頁\總數(shù)八十二頁\編于十點對于具有復(fù)介電常數(shù)的導(dǎo)電媒質(zhì)，考慮到傳導(dǎo)電流J=σE,上式表明，導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個等效的位移電流代替；導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率和介電常數(shù)的總效應(yīng)可用一個等效復(fù)介電常數(shù)表示，即其中目前六十五頁\總數(shù)八十二頁\編于十點

例已知無源(ρ=0,J=0)的自由空間中，時變電磁場的電場強度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：(1)磁場強度復(fù)矢量；(2)坡印廷矢量的瞬時值；(3)平均坡印廷矢量。

目前六十六頁\總數(shù)八十二頁\編于十點解：(1)由得目前六十七頁\總數(shù)八十二頁\編于十點(2)電場、磁場的瞬時值為所以，坡印廷矢量的瞬時值為目前六十八頁\總數(shù)八十二頁\編于十點(3)平均坡印廷矢量：目前六十九頁\總數(shù)八十二頁\編于十點5.7波動方程考慮媒質(zhì)均勻、線性、各向同性的無源區(qū)域(指無激勵源即J=0,ρ=0)且σ=0的情況，這時麥克斯韋方程變?yōu)槟壳捌呤揬總數(shù)八十二頁\編于十點同理，有瞬時值形式波動方程：E、H為瞬時值！E=E(x,y,z,