方程教學(xué)的教材比較與分析

“方程”教學(xué)的教材比較與分析

在教學(xué)人教版五年級上冊《較復(fù)雜的方程》時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在列方程和解方程這兩個(gè)環(huán)節(jié)上困難重重，這使我們對“用等式的性質(zhì)”解方程以及“教材解決問題的編排”這兩個(gè)問題產(chǎn)生了爭議和困惑。教材既然是遵循《課標(biāo)》理念、要求和建議編寫的，為什么教師還會(huì)有這么多的困惑？是教師不理解教材編排的意圖，還是教材所體現(xiàn)的理念與《課標(biāo)》所倡導(dǎo)的理念尚存在距離？帶著這些疑問，筆者對三個(gè)版本（人教版、杭州現(xiàn)代版和蘇教版）的教材進(jìn)行了比較分析。一、比較——“查”出一串新思考（一）內(nèi)容編排——“三版本”各自為營1.“未知數(shù)作為減數(shù)或除數(shù)”的內(nèi)容編排從內(nèi)容編排上看，蘇教版教材未出現(xiàn)形如a-x=b和a÷x=b的簡易方程，人教版教材只在第58頁出現(xiàn)“你會(huì)自己寫出一些方程嗎”一題，但沒要求學(xué)生求出方程的解。而且這兩個(gè)版本的教材明確指出在小學(xué)階段暫不出現(xiàn)以此類方程進(jìn)行計(jì)算求解的要求，依據(jù)是小學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，若利用等式的基本性質(zhì)解a-x=b，方程變形的過程及其算理解釋比較麻煩。至于形如a÷x=b的方程，本質(zhì)上是分式方程，若依據(jù)等式的基本性質(zhì)解需要先去分母，因此，教材認(rèn)為同樣不適合在小學(xué)階段學(xué)習(xí)?，F(xiàn)代版教材在編排中出現(xiàn)形如a-x=b和a÷x=b的簡易方程共11題（不包括總復(fù)習(xí)）。其中有1題在解決問題例題中出現(xiàn)，有2題要求學(xué)生判斷是否是方程，有8題要求學(xué)生求出方程的解?，F(xiàn)代版教材雖然出現(xiàn)此類方程，但其解法依據(jù)是“等式的基本性質(zhì)”，還是另有其法沒作說明。2.“列方程解決問題”的內(nèi)容編排雖然三個(gè)版本的教材均把“簡易方程”內(nèi)容安排在第二學(xué)段，但三版本在年級編排和整合編排情況上不盡相同，具體如下：(1)年級編排不同人教版和現(xiàn)代版教材的“簡易方程”所有內(nèi)容均編排在五年級上冊，蘇教版分三個(gè)年級編排：四年級（下冊）編排“用字母表示數(shù)”，五年級（下冊）編排“方程的意義、用等式的性質(zhì)解一步計(jì)算方程，列方程解答簡單的實(shí)際問題”；六年級（上冊）編排“類似于ax±b=c、ax±bx=c的方程，并用于解決稍復(fù)雜的實(shí)際問題”。(2)整合編排不同人教版和蘇教版教材為了突出教學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，將“解方程與列方程解決問題”的內(nèi)容整合在一起編排。特別是形如ax-b=c和ax+bx=c的較復(fù)雜的方程，每道例題都擔(dān)負(fù)著教學(xué)列方程和教學(xué)解方程的雙重任務(wù)?，F(xiàn)代版教材是將“解方程與列方程解決問題”分開編排的，先編排“解方程”的內(nèi)容，再編排“列方程解決問題”的內(nèi)容。現(xiàn)代版雖分開編排，但它在編排“解方程”的內(nèi)容時(shí)卻非常注重與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，總是置方程于具體的情境之中（如現(xiàn)代版教材第60頁例題），用方程表示直觀情境里的相等關(guān)系，再讓學(xué)生求出方程的解，只不過它的重點(diǎn)在于“解方程”，而“列方程解決問題”的重點(diǎn)在于找出數(shù)量關(guān)系并列出方程（如現(xiàn)代版教材第66～67頁）。這樣處理同樣體現(xiàn)《課標(biāo)》所倡導(dǎo)的“避免將運(yùn)算與應(yīng)用割裂開來”的理念。（二）書寫格式——“三版本”各有千秋雖然三個(gè)版本教材在解題依據(jù)上大同小異，但它們的書寫格式卻各不相同。從圖1和圖2可以看出，人教版教材（蘇教版同人教版）在解方程過程中兩邊都寫出“同時(shí)減去的數(shù)”，而現(xiàn)代版教材在解方程過程中只在一邊寫出“同時(shí)減去的數(shù)”，可見思路相同，書寫格式不同。筆者認(rèn)為，現(xiàn)代版教材這樣的書寫格式意義更大，因?yàn)檫@樣的書寫格式不僅與中學(xué)方程教學(xué)銜接，還考慮到小學(xué)生原有的知識儲(chǔ)備。其實(shí)在學(xué)生原有的知識儲(chǔ)備中解方程如“x+8=12”大致有以下幾種：一是利用加減法的關(guān)系；二是觀察后找出一個(gè)x的值代入方程看看左邊是否等于12；三是把12看成8+4，再利用等式性質(zhì)從兩邊減去8；四是直接從兩邊減去8。所以現(xiàn)代版這樣的書寫格式使學(xué)生的思路更廣，思考方法更多，掌握更靈活。但值得一提的是，現(xiàn)代版“較復(fù)雜的方程”（如圖3）的格式筆者卻不敢茍同，要使學(xué)生的思路在一步之內(nèi)完成，難度顯然偏大，很容易出錯(cuò)。（三）檢驗(yàn)方法——“蘇教版”獨(dú)辟蹊徑三個(gè)版本都非常注重對方程解的過程的檢驗(yàn)。但相比較而言，蘇教版刪繁就簡，不像人教版和現(xiàn)代版十分強(qiáng)調(diào)格式。如蘇教版五下第4頁例4中指出了解方程的檢驗(yàn)方法：“把x=40代入原方程，看看左右兩邊是不是相等”，至于檢驗(yàn)的過程則不要求寫出來。又如蘇教版五下第8頁例7的檢驗(yàn)不是代入原方程，因?yàn)榇朐匠讨荒軝z驗(yàn)解方程，不能檢驗(yàn)列出的方程是否符合實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。這道題要檢驗(yàn)算得的小軍的跳高成績是不是比小剛多0.06米，可以利用1.45-1.39、1.39+0.06或者1.45-0.06中的任何一個(gè)算式進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)方程不僅檢驗(yàn)解方程是否正確，而且檢驗(yàn)實(shí)際問題的答案是否合理。二、建議——“談”出一些新需求（一）教材——沒有最好，只有更好1。相輔而行——添“加減乘除法各部分關(guān)系”解題依據(jù)2007年4月定稿的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》已經(jīng)把《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡單方程”改為“能理解簡單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。顯然，今后利用“等式的性質(zhì)解方程”已不再是小學(xué)生解方程的惟一依據(jù)。雖然一線教師還不能真正解讀《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》修改的全部目的，但從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，在教學(xué)時(shí)以“等式的性質(zhì)”解答方法為重要依據(jù)，再以“加減乘除法各部分關(guān)系”解答方法為輔助依據(jù)進(jìn)行教學(xué)，與學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)相融合，不能說不是一種好策略。2.返本還源——留“x作為除數(shù)或減數(shù)的方程”一席之地倘若增添“加減乘除法各部分關(guān)系”為方程的解題依據(jù)，學(xué)生在解決問題時(shí)就不會(huì)只能選擇當(dāng)前能夠計(jì)算的思路列方程，而可以從不同的角度去思考，列出任何一種數(shù)量關(guān)系的方程，包括形如a-x=b和a÷x=b的簡易方程，也不必要轉(zhuǎn)換就能直接計(jì)算出來。這樣不僅可以拓展學(xué)生的思維，還能使學(xué)生的知識更系統(tǒng)，“x作為除數(shù)或減數(shù)”的方程的存在，也就非常有必要了。3.各得其所——調(diào)“解方程和列方程解決問題”到合理位置解方程與解決實(shí)際問題的有機(jī)整合教學(xué)體現(xiàn)了《課標(biāo)》指出的“避免將運(yùn)算與應(yīng)用割裂開來”的理念，這是我們大家所希望踐行的。但如果在整合中從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，將教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行分散，要么如蘇教版那樣分年段進(jìn)行教學(xué)，要么如現(xiàn)代版那樣既注重與生活的聯(lián)系，又在重難點(diǎn)上有所側(cè)重，做到循序漸進(jìn)，是不是更有利于學(xué)生的能力形成呢？4.刪繁就簡——裁“方程解的過程和檢驗(yàn)過程”書寫步驟眾所周知，就書寫習(xí)慣來說，有必要從一開始就強(qiáng)化書寫規(guī)范，以發(fā)揮首次感知先入為主的強(qiáng)勢效應(yīng)，促進(jìn)良好的書寫習(xí)慣的形成。但是，一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問題是，由于格式煩瑣致使很多學(xué)生不愿意使用方程，就五年級學(xué)生的思維特點(diǎn)來說，在價(jià)值觀判斷上更容易受方程外在格式煩瑣的影響，而忽視方程內(nèi)在的順向思維。當(dāng)然，數(shù)學(xué)提倡嚴(yán)密性，如果在嚴(yán)密的情況下再淡化解方程和檢驗(yàn)方程的過程，可以說是做到了兩全其美。（二）教學(xué)——從“綱”出發(fā)，以“生”為本1.合理運(yùn)用解題策略，遵循《課標(biāo)》倡導(dǎo)的教學(xué)理念不管教材以后對“解方程”的解題依據(jù)做怎樣的調(diào)整，筆者認(rèn)為，我們在教學(xué)時(shí)應(yīng)該突出以“等式的性質(zhì)”為重要的解題依據(jù)這一點(diǎn)，這樣即使出現(xiàn)“加減乘除法各部分關(guān)系”解題依據(jù)與之并存的情況，我們也會(huì)很好地處理兩者之間的關(guān)系?！酒我弧坷玫仁降男再|(zhì)解方程師出示x+3=9。師：x等于多少？你是怎么解的？生：x=9-3，x=6。師：9-3是怎么想的？生：求加數(shù)，加數(shù)＝和－另一個(gè)加數(shù)。師：那還有其他方法嗎？（教師期望學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向利用等式的性質(zhì)解方程，可學(xué)生沒反應(yīng)，只得引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)課本）師：書上是怎么做的？看得懂嗎？……師：今天我們就用等式的性質(zhì)來解方程?！酒味坷玫仁降男再|(zhì)解方程師出示場景圖：共9個(gè)皮球，盒內(nèi)x個(gè)，盒外3個(gè)。師：你能根據(jù)圖列出方程嗎？（板書：x+3=9）師啟發(fā)：怎樣解這個(gè)方程？你有什么辦法？把你的辦法先和小組里的同學(xué)交流。學(xué)生交流后，教師用課件動(dòng)態(tài)演示天平圖，并板書解方程的過程（略）。學(xué)生在學(xué)習(xí)解方程時(shí)，剛剛學(xué)過等式的性質(zhì)，但在使用片段一解方程的方法時(shí)，學(xué)生并未對這一性質(zhì)進(jìn)行嘗試。這是因?yàn)樵摻處煹慕虒W(xué)著眼點(diǎn)僅僅是求方程的解的過程，并沒有讓學(xué)生在求解的過程中，進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的變換，進(jìn)一步體會(huì)“相等關(guān)系”。而片段二中的“天平”為處理方程提供了一個(gè)強(qiáng)有力的智力圖像。用天平平衡的道理，形象直觀地幫助學(xué)生深化對“相等關(guān)系”的理解，幫助學(xué)生建立如下規(guī)則：在等式的兩邊進(jìn)行相同運(yùn)算的同時(shí)，平衡也得到了維持。因此，在教學(xué)“解方程”時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)不同的題目和學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，選擇合適的方法解決方程，遵循《課標(biāo)》倡導(dǎo)的教學(xué)理念。2.增強(qiáng)方程應(yīng)用意識，突出用方程解決問題的優(yōu)勢雖然人教版的“方程”教學(xué)只安排在五年級上冊，但方程的教學(xué)不是一蹴而就的，對方程思想的深層次認(rèn)識也并非單元教學(xué)就能形成的，還需要教師在以后的教學(xué)中進(jìn)行不斷滲透與運(yùn)用，畢竟學(xué)生經(jīng)以算術(shù)方法解決問題的長期強(qiáng)化訓(xùn)練所形成的思維定勢已經(jīng)根深蒂固。教師要把方程思想