問題串組層層遞進 抽象概念自然生成 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選問題串組層層遞進抽象概念自然生成——人教A版必修第二冊“有限樣本空間與隨機事件”的教學(xué)研究摘要：概率研究的對象是隨機現(xiàn)象，概率是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。隨機現(xiàn)象的在日常生活中具有普遍性，故我們可以用適當(dāng)?shù)淖帜?、?shù)字或數(shù)對表示隨機試驗的結(jié)果，構(gòu)建樣本空間，這是將實際問題數(shù)學(xué)化的重要步驟。在抽象概念形成的過程中，教師以問題串形式引領(lǐng)，適當(dāng)指導(dǎo)他們將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言（即集合語言），促進學(xué)生對核心概念“隨機事件”的深入理解。 關(guān)鍵詞：問題串；隨機性；核心概念形成；核心問題解決概率研究的對象是隨機現(xiàn)象，為人們從不確定的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法。實際上，隨機事件、概率的描述性定義以及古典概型，學(xué)生在初中已經(jīng)有了初步的了解，而樣本點、樣本空間、用集合定義隨機事件、事件的關(guān)系與運算卻是首次接觸。人教A班高中數(shù)學(xué)必修第二冊第十章“10.1.1有限樣本空間與隨機事件”首先是在大量實例的基礎(chǔ)上，利用集合的相關(guān)知識，抽象出樣本點、樣本空間，將隨機事件看成是樣本空間的子集，對隨機事件的概念構(gòu)建了由直觀描述到數(shù)學(xué)集合語言刻畫的精確化過程[1]。本文筆者在市級比賽課中授課此課題，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，精心設(shè)計了問題串組。課堂深入淺出，驅(qū)動核心概念形成，核心問題解決，引導(dǎo)學(xué)生在概率的初始章節(jié)，以生活中形象的實例掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，受到了評委的一致好評，筆者也有幸獲得本次比賽一等獎的好成績。下面以本節(jié)“有限樣本空間與隨機事件”的教學(xué)為例，淺談問題串式數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容核心概念：隨機現(xiàn)象，隨機試驗，隨機事件。核心問題：如何用集合語言刻畫隨機試驗的所有可能結(jié)果?2．內(nèi)容解析世界中處處存在隨機現(xiàn)象，偶然現(xiàn)象中蘊含著必然的規(guī)律。概率論就是研究隨機現(xiàn)12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，本節(jié)作為概率這一章的起始節(jié)，2017版課標(biāo)教材（簡稱新教材）與上一版試驗課標(biāo)教材（簡稱舊教材）不同的是，舊教材在必修三“3.1.1隨機事件的概率”這一節(jié)是直接給出隨機事件，不可能事件，必然事件的概念。新教材是類比學(xué)習(xí)函數(shù)的方法和手段來理解隨機事件是樣本空間的子集，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形。這樣每個事件都是樣本空間的一個子集。這樣的處理方法更注重整體性，過程性，聯(lián)系性。對于后續(xù)以函數(shù)和集合的觀點去學(xué)習(xí)概率的基本性質(zhì)是非常有幫助的。學(xué)生可以從本節(jié)中掌握用數(shù)學(xué)的方法來描述現(xiàn)實生活中的隨機現(xiàn)象。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間，理解隨機事件是樣本空間的子集。2．目標(biāo)解析結(jié)合具體實例，學(xué)生在上一章統(tǒng)計的學(xué)習(xí)中，基本掌握了數(shù)據(jù)分析的辦法，那么在本節(jié)核心概念的教學(xué)重點是用數(shù)學(xué)集合的觀點去描述生活中處處可見的隨機現(xiàn)象，并且完成這一從定性到定量的過程，提高數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，這樣才能繼續(xù)下面關(guān)于事件的關(guān)系和運算的學(xué)習(xí)。本節(jié)核心問題的教學(xué)難點在于如何經(jīng)歷自然語言描述，到符號語言，最后到集合語言描述樣本空間。這對于高一學(xué)生來說，是有難度的，教學(xué)時需要注意問題串組設(shè)置的進度和難度。3．教學(xué)重難點重點：有限樣本空間及隨機事件的概念

難點：用集合語言定義隨機事件，構(gòu)建樣本空間三、教學(xué)過程設(shè)計圖1為本節(jié)課的教學(xué)過程圖。22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選一個視頻，發(fā)現(xiàn)問題：提出問題：這分析問題：解決問題：理解核心概兩個游戲下列試驗，個隨機試驗應(yīng)該用什念和解決核心問題，體進行課堂說說它們的共有多少個么語言去會用集合語言（數(shù)對或引入，激發(fā)共同特點是可能結(jié)果?如描述樣本數(shù)串）表示樣本空間的學(xué)習(xí)興趣什么？何表示這些空間？巨大優(yōu)勢結(jié)果?圖1本節(jié)課的教學(xué)過程圖1．課堂引入請同學(xué)們觀看一個視頻，參與兩個游戲。視頻：庫里投籃

①10位學(xué)生分別擲一枚硬幣一次，觀察正面向上的次數(shù)。 ②搖獎器是一個不透明盒子，其中裝有標(biāo)號分別為0號，1號，2號，…，9號的小球，經(jīng)過充分攪拌后，請一位同學(xué)上來摸出一個球，觀察這個球的號碼?！驹O(shè)計意圖】以生活中常見的隨機現(xiàn)象引入，可以設(shè)問“這樣的擲硬幣實驗可以再做一次嗎”（可重復(fù)性），“摸球游戲可以摸出11號球嗎”（可預(yù)測性），“雖然庫里是NBA的優(yōu)秀球員，但是他可以保證每次投籃的一定投進嗎”（隨機性），這樣學(xué)生可以自己總結(jié)出隨機試驗的三個特點。2．發(fā)現(xiàn)問題問題1：考察下列試驗，分別說一說它們有哪些可能的結(jié)果：（1）投籃一次，是否進框的情況；

（2）同時拋擲兩枚硬幣,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況;

（3）拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上面的點數(shù)；

（4）從你所在的班級隨機選擇10名學(xué)生,觀察近視的人數(shù)。 師生共同歸納核心概念：隨機現(xiàn)象

這類現(xiàn)象的共性是:就一次觀測而言,出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性，但在大量重復(fù)觀測下,各個結(jié)果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，這類現(xiàn)象叫隨機現(xiàn)象。【設(shè)計意圖】此處教師需要板書，隨機現(xiàn)象。概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，所以我們對隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性的研究是很有必要的。問題2：考察下列試驗，說說它們的共同特點是什么？（依然是問題1的四個試驗）師生共同歸納核心概念：隨機試驗。32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱隨機試驗,簡稱試驗,常用字母E表示。 我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行;(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確的,并且不止一個;(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果。 【設(shè)計意圖】此處教師需要板書，隨機試驗。并提醒學(xué)生注意這三個特點，可以追問“你還能說出哪些隨機試驗的例子嗎”，引發(fā)學(xué)生熱烈的討論。3．提出問題 問題3：體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號0,1,2,…,9的球放入搖獎器中,經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球,觀察這個球的號碼。

這個隨機試驗共有多少個可能結(jié)果?如何表示這些結(jié)果?師生共同歸納核心概念：樣本點、樣本空間、有限樣本空間把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點。全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間。一般地，我們用W表示樣本空間，用w表示樣本點。W={ww1 2,L,wn}為如果一個隨機試驗由n個可能結(jié)果ww1 2,L,wn則稱樣本空間有限樣本空間?！驹O(shè)計意圖】教師可以將剛剛的搖獎器的盒子拿出來，再請一位同學(xué)來摸出一個球，并說出問題3的答案。這樣學(xué)生對隨機試驗的所有可能結(jié)果有了更加直觀的認識。教師順勢總結(jié)出剛剛摸球游戲的每一個可能結(jié)果就是一個樣本點，所有的樣本點組成了樣本空間，我們研究的一般都是有限樣本空間，也就是可以用列舉法寫出所有可能的結(jié)果。4．分析問題拋擲一枚硬幣,觀察它落地時哪一面朝上,寫出試驗的樣本空間。拋擲一枚骰子,觀察它落地時朝上的面的點數(shù),寫出試驗的樣本空間。拋擲兩枚硬幣,觀察它們落地時朝上的面的情況,寫出試驗的樣本空間。師生共同歸納核心問題：樣本空間的表示方法 自然語言，符號語言，集合語言（數(shù)對或數(shù)串）

【設(shè)計意圖】3個例題的作用是讓學(xué)生充分理解樣本空間的概念，掌握如何表示樣本空間的方法，學(xué)生會從最簡單的自然語言描述開始。發(fā)現(xiàn)集合語言才是最簡練的表示方法，實際上在后續(xù)教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法來研究概率。42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選概率是什么樣的映射？→三要素是什么？→概率的性質(zhì)ì

?

í

?

?"值域:0￡P(guān)(A)￡1(B)特殊值:P()W=1,(?=0單調(diào)性:若AíB,則P(A)￡P(guān) →概率模型（古典概型）

由此可見，用集合表示樣本空間是很合理的，這里的數(shù)對（數(shù)串）形式最為簡練易懂，這樣可以為以后學(xué)習(xí)兩點分布打基礎(chǔ)。尤其是例3的教學(xué)，可以畫樹狀圖分析，樣本空間的表示方法不止一種，選擇最優(yōu)形式。這樣就突破了本節(jié)課的難點，即核心問題：樣本空間的表示方法。追問：例3中，擲兩枚硬幣的試驗特征：兩個結(jié)果，2次重復(fù)。推廣：其他兩個結(jié)果，2次重復(fù)的隨機試驗

E1：某運動員投球兩次，進或不進的可能結(jié)果；

E2：向某一目標(biāo)射擊兩次，命中或不命中的可能結(jié)果；E3：任選有二胎的家庭，考慮兩個小孩性別的可能情況?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生明白同類型的隨機試驗不單單只有擲硬幣和擲骰子，現(xiàn)實生活中這樣的隨機現(xiàn)象無處不在。5．解決問題問題4：在剛剛的體育彩票搖號試驗中,搖出“球的號碼是奇數(shù)”是隨機事件嗎?搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機事件?如果用集合的形式來表示它們,那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系?師生共同歸納核心概念：隨機事件，基本事件一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示。為了敘述方便，我們將樣本空間本點的事件稱為基本事件。W的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣追問：那么大家從集合的觀點可以解釋必然事件和不可能事件嗎？師生共同歸納核心概念：必然事件，不可能事件W作為自身的子集，包含了所有樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以W總會發(fā)生，我們稱W為必然事件?？占?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱W為不可能事件。【設(shè)計意圖】新教材對于必然事件、隨機事件和不可能事件的定義比舊教材要更加52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選合理，用集合的觀點去重新定義事件，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端，這樣每個事件都是樣本空間的一個子集，保證了定義的完備性，這樣也有利于學(xué)生理解概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，這其中特殊值：P()W=1,(?=0。 【例4】如圖2，一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效。把這個電路是否通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常。（1）寫出試驗的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！保籒=“電路是通路”；T=“電路是斷路”。圖2例4圖示【設(shè)計意圖】本例題是幫助學(xué)生深刻理解集合語言（數(shù)對或數(shù)串）表示樣本空間的巨大優(yōu)勢。讓學(xué)生自然養(yǎng)成用集合和函數(shù)的觀點去研究事件和概率。四、目標(biāo)檢測設(shè)計 E1：某運動員投球兩次，進或不進的可能結(jié)果；

E2：向某一目標(biāo)射擊兩次，命中或不命中的可能結(jié)果；

（1）分別寫出試驗E1,E2的樣本空間；

（2）在試驗E2中用集合表示事件A=“兩次都命中”

【設(shè)計意圖】這是在例3中推廣提到的其他兩個結(jié)果，2次重復(fù)的隨機試驗，在課堂中就可以突破本節(jié)的重難點，理解核心概念和解決核心問題，當(dāng)堂是讓學(xué)生上臺板書這兩小問的答案，大部分學(xué)生完成情況很好。五、教學(xué)反思與研究板書設(shè)計10.1.1有限樣本空間和隨機事件核心概念：隨機現(xiàn)象可重復(fù)性例題講解隨機試驗可預(yù)知性 隨機性

樣本點，樣本空間，有限樣本空間

隨機事件，必然事件，不可能事件

核心問題：樣本空間的表示方法（自然語言，符號語言，集合語言（數(shù)對或數(shù)串）） 62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 教學(xué)反思：

①在本節(jié)的教學(xué)過程中，筆者認為教學(xué)中要重視核心概念的數(shù)學(xué)抽象，引入樣本點、有限樣本空間概念，用樣本空間的子集表示隨機事件是隨機現(xiàn)象數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵一步。隨機事件在生活中隨處可見，用學(xué)生熟悉的例子，以“隨機現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”為設(shè)計問題串的指揮棒，以“不同表示方法”為手段，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，更加有助于他們認識和理解隨機現(xiàn)象[2]。②通過演示試驗和課件展示大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，用生活實例加強概念的理解，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概率的興趣，真切的感受到“數(shù)學(xué)是有用的”“數(shù)學(xué)是來源于生活的”，加大信息量，提高課堂效率。 ③學(xué)生在自學(xué)和互學(xué)中，發(fā)表自己的見解，互相評價，互相完善，在探索中完成抽象概念的形成過程，提高了學(xué)生的整體認識水平，更加有利于后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)。④本節(jié)課的不足之處是在“擲硬幣”游戲中，對全班學(xué)生試驗結(jié)果統(tǒng)計肯定是不現(xiàn)實的，課堂時間有限，應(yīng)當(dāng)及時補充Excel等軟件用隨機數(shù)模擬擲硬幣的結(jié)果，以便學(xué)生日后理解兩點分布（伯努利分布）就是多次獨立重復(fù)試驗。本節(jié)課程容量較大，既要形成核心概念又要解決核心問題，對于中等偏下的學(xué)生可能理解有困難，如果