2019年數(shù)學(xué)江蘇南京高三三模數(shù)學(xué)試卷

2019年數(shù)學(xué)江蘇南京高三三模數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(共14小題；共70分)

1.已知全集U={-1,2,3,研，集合M={-1,3}.若QM={2,5},則實(shí)數(shù)a的值為

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+4i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共輒復(fù)數(shù)為.

3.甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(jī)(單位：環(huán))如下表：

選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪

甲9.89.910.11010.2

乙9.410.310.89.79.8

則甲、乙兩位選手中成績(jī)最穩(wěn)定的選手的方差是.

4.從2個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黃球這5個(gè)球中隨機(jī)取出兩個(gè)球，則取出的兩球中恰有一個(gè)紅球的

概率是.

5.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，輸出的結(jié)果是.

S-1

1<-2

WhileS<100

I-I+2

S-Sxi

EndWhile

PrintI

6.已知a,0是兩個(gè)不同的平面，I,m是兩條不同直線，11a,mu0.

給出下列命題：①a〃/?=>/1m；②a〃0=③m//a=>/1/?；④l//p=m//a.

其中正確的命題是(填寫所有正確命題的序號(hào)).

7.設(shè)數(shù)列{即}的前n項(xiàng)和為S,滿足Sn=2a—2,則”=______.

nna6

8.設(shè)F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF的中點(diǎn)恰為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則

雙曲線的離心率為.

9..如圖，已知4,8分別是函數(shù)/'(X)=J5sinwx(w>0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一

個(gè)最低點(diǎn)，且乙4OB=1,則該函數(shù)的周期是.

10.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，，/(x)=2%-2,則不等式/(x-1)<2的解集

是

11.如圖，在梯形4BCD中，AB//CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2'MD.若亞?麗=-3,

則而.而=.

DC

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(x—a)2+(y+a-3)2=l(a>0),點(diǎn)N為圓M上任意—*

點(diǎn).若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的最小值為.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=[V,X-°g(x)=fM-b,若存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn),

I—%-l,x<a,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

14.若實(shí)數(shù)X,y滿足2/+盯—y2=i,則我既演的最大值為.

二、解答題(共12小題；共156分)

15.在△4BC中，已知Q,b,c分別為角4,B,C的對(duì)邊.若向量沅=(Q,COSA),向量元=

(cosC,c),且沅?記=3bcosB.

I求cosB的值；

n若a,b,c成等比數(shù)列，求一三+三的值.

tar)j4tanC

16.如圖，在直三棱柱48C-A1B1G中，。為棱BC上一點(diǎn).

I若4B=AC,D為棱BC的中點(diǎn)，求證：平面4DC1J.平面BCGB1.

H若4/〃平面4DG，求差的值.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系如中，己知橢圓C:《+'=l(a>b>0)的離心率為苧，點(diǎn)(2,1)

在橢圓C上.

I求橢圓C的方程；

II設(shè)直線I與圓。:/+y2=2相切，與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn).

①若直線I過橢圓C的右焦點(diǎn)F,求△OPQ的面積；

②求證：OP10Q.

18.如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD,其四條邊均為道路，AD//BC,Z.ADC=90°,

48=5千米，BC=8千米，CD=3千米.現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從4地出發(fā)勻速前往。地,

中的路線是4D,速度為6千米/小時(shí)，乙的路線是48CD,速度為u千米/小時(shí).

I若甲、乙兩管理員到達(dá)。的時(shí)間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；

11已知對(duì)講機(jī)有效通話的最大距離是5千米.若乙先到達(dá)。，且乙從4到。的過程中始終能用

對(duì)講機(jī)與甲保持有效通話，求乙的速度"的取值范圍.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=—X3+mx2—m(m>0).

I當(dāng)m=l時(shí)-，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間：

II設(shè)g(x)=|/(x)|>求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,m］上的最大值：

III若存在t<0,使得函數(shù)f(x)圖象上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)，且函數(shù)f(x)的圖象在這兩點(diǎn)處

的兩條切線都經(jīng)過點(diǎn)(2,t),試求m的取值范圍.

20.已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)的和為Sn,記bn=乎.

I若｛aj是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列，其中a,d均為正數(shù).

①當(dāng)3瓦，2b2,①成等差數(shù)列時(shí)，求?的值；

②求證：存在唯一的正整數(shù)n,使得an+1<bn<an+2-

11設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝是公比為q(q>2)的等比數(shù)列，若存在r,t(r,t6N*,r<t)使得貫=巖，求q

的值.

21.如圖，已知半圓。的半徑為2,P是直徑BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，P4與半圓。相切于點(diǎn)4”是

OC的中點(diǎn)，AH1BC.

1求證：AC是^PAH的平分線；

II求PC的長(zhǎng).

22.已知曲線C:/+2xy+2y2=1,矩陣4=（；所對(duì)應(yīng)的變換7把曲線C變成曲線G，求曲

線G的方程.

23.設(shè)極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合.已知橢圓C的參數(shù)方

程為=2言"（&為參數(shù)），點(diǎn)時(shí)的極坐標(biāo)為（1，若P是橢圓C上任意一點(diǎn)，試求PM

的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

24.求函數(shù)/（x）=5五+78-2K的最大值.

25.從0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)中任選三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，記X為所組成的三位數(shù)各位

數(shù)字之和.

I求X是奇數(shù)的概率；

II求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)PQo,yo）在曲線y=/（x>0）上.已知2（0,—1）,匕（解,％1），

neN,.記直線4%的斜率為%?

I若匕=2,求匕的坐標(biāo)；

II若均為偶數(shù)，求證：能為偶數(shù).

答案

第一部分

1.5

2.3-i

3.0.02

4.-

5

5.8

6.①④

7.4

8.V5

9.4

10.[-1,3]

11.-

2

12.3

13.(-1-專，2)

14.包

4

第二部分

15.(1)因?yàn)殂?日=3bcosB,

所以acosC4-ccosA=3bcosB.

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosB,

所以sin(i4+C)=3sinBcos8,

所以sinB=3sinBcosB.

因?yàn)锽是△ABC的內(nèi)角，

所以sinBH0,

所以cosB=

(2)因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列，

所以b2=ac.

由正弦定理，得sin2B=sinA?sinC.

因?yàn)閏osB=g,B是AABC的內(nèi)角，

所以sinB=9.

又

-^―+-^―cos'cosC

---------1---------

tan/ltanCsinAsinC

cosAsinC+sinAcosC

sin/lsinC

sin(4+C)

sinAsinC

sinB

sinzlsinC

sinB

sin2B

1

sinB

3V2

4°

16.(1)因?yàn)锳B=AC,點(diǎn)。為棱BC中點(diǎn),

所以AD1BC.

因?yàn)锳BC-是直三棱柱，

所以BB1±平面4BC.

因?yàn)锳Du平面ABC,

所以BB、LAD.

因?yàn)锽CnB&=B,BCu平面BCG/,u平面BCQBi，

所以AD1平面BCQBi.

因?yàn)?Du平面4DQ,

所以平面4DG1平面BCC/i.

(2)連接&C,交4cl于0,連接。。，所以。為4cl中點(diǎn).

因?yàn)?8〃平面4DQ,4/u平面AiBC,平面C平面&BC=。。,

所以AXB//OD.

因?yàn)?。?cl中點(diǎn)，所以。為中點(diǎn)，

所以*L

17.(1)由題意，得工="，4+^=1-

解得。2=6,爐=3.

所以橢圓的方程為=+==1.

(2)①解法一：橢圓C的右焦點(diǎn)F(g,0).

設(shè)切線方程為y=k(x-g),即kx-y-gk=0,

所以離=2,解得k=±或，

所以切線方程為y=±V2(x-V3).

4V3+3V24V3-3V2

y-V2(x-V3),X=———X=---

由方程組MM,解得'或

3=1，—V6+6—V6-6

6

'4鳳3魚-V6+6\4>/3-3V2—76—6

所以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為、5，-5-)’,5，~5~.

所以PQ=竽.

因?yàn)?。到直線PQ的距離為四，

所以的面積為

因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性，當(dāng)切線方程為y=-&(x-向時(shí)，AOPQ的面積也為

綜上所述，AOP。的面積為”.

解法二橢圓C的右焦點(diǎn)F(V3,0).

設(shè)切線方程為y=k(x—V3),即kx—y—V3fc=0,

所以獸=&,解得k=±&,

Vfc2+1

所以切線方程為y=±V2(x-V3).

把切線方程y=V2(x-V3)代入橢圓C的方程，消去y得5/-86x+6=0.

設(shè)Pg%)，Q(x2,y2),則有Xi+x2=

由橢圓定義可得，PQ=PF+FQ=2a-e(x^+x2)=2x乃一日、W=警.

因?yàn)?。到直線PQ的距離為V2,

所以AOPQ的面積為?.

因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性，當(dāng)切線方程為y=-V2(x-何時(shí)，

所以AOPQ的面積為華.

綜上所述，的面積為路.

②解法一：

(i)若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x=々或％=—&.

當(dāng)乂=企時(shí)，P(V2,V2),Q(V2,-V2).

因?yàn)辂?麗=0,

所以O(shè)P10Q.

當(dāng)?shù)?一企時(shí)，同理可得OP1OQ.

(ii)若直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為丫=入+小，即kx-y+m=0.

因?yàn)橹本€與圓相切，所以，嗎=/，即m2=2/+2.

將直線PQ方程代入橢圓方程，得(1+2k2筑+4kmx+2m2-6=0.

設(shè)P(xi，yj,Q(.x2,y2),則有石+上=一提j,祖孫=筌段.

因?yàn)?/p>

xx

OPOQ=xxx2+yiy2=i2+(kx、+7n)(fcx2+血)

27n

=(1+fc)%1%2++%2)+2

=(1+1)*蹤+?’-黑)+小

將m?=2盾+2代入上式可得OPOQ=0,

所以O(shè)P10Q.

綜上所述，0P10Q.

解法二:設(shè)切點(diǎn)「(沏/。)，則其切線方程為+y()y-2=0,且以+y]=2.

(i)當(dāng)先=0時(shí)，則直線PQ的直線方程為％=&或工=一注.

當(dāng)?shù)?魚時(shí)，P(V2,V2),(?(V2,-V2).

因?yàn)辂?麗=0,

所以O(shè)P1OQ.

當(dāng)x=—我時(shí)，同理可得。P10Q.

(ii)當(dāng)為#0時(shí)，

(xox+yoy-2=0,

由方程組消去y得(2瑤+詔)*2-8x()x+8-6詔=0.

設(shè)尸(%/1),<?(孫/2)，則有石+彳2=Xl%2=瑟奈?

所以麗?麗=X62+y02=X1X2+(2-*。小)尸。嶗=-8短網(wǎng);6.

1N八八I/y2y2(2x2+y2)

因?yàn)樵t+據(jù)=2，代入上式可得而?麗=0,所以。P_LOQ.

綜上所述，OP10Q.

18.(1)由題意，可得4。=12千米.

由題可知——I<->

16V?4

解得<V<y-.

(2)解法一：經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f(t).

由于先乙到達(dá)。地，故竺<2,即。>8

V

①當(dāng)0V"W5,即ovtw,時(shí)，

/Q)=(6t)24-("尸—2x6txvtxcosZ-DAB=(v2—yv4-36)t2.

因?yàn)楹笠涣wu+36>0,

所以當(dāng)t時(shí)，f(t)取最大值，

所以(/—+36)x(3)<25,

解得V>T.

②當(dāng)5<vt<13,即三時(shí)，

VV

2

/(t)=(yt—1—6t)2+9=(v—67(t—+9.

因?yàn)関>8,

所以<~f(v—6)2>0,

所以當(dāng)￡=片時(shí)，/?)取最大值，

所以(u—6)2—+9<25,解得<v<也

③當(dāng)13<vt<16,軍工t"時(shí)，

VV

/(t)=(12-6t)2+(16—vt)2,

因?yàn)?2-6t>0,16-vt>0,

所以當(dāng)f(t)在遞減，

所以當(dāng)"？時(shí)，f(t)取最大值，(12-+解得

因?yàn)関>8,

所以8<v4?.

4

解法二:設(shè)經(jīng)過t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為/(t).

由于先乙到達(dá)。地，故竺<2,即。>8.

V

以4點(diǎn)為原點(diǎn)，4。為x軸建立直角坐標(biāo)系.

①當(dāng)0V"45時(shí)，f(t)=Qvt-6￡)2+6況)2.

由于(刎一6。+(|戊)W25,所以(，一6)+(|“三|對(duì)任意0Vt嚀都成立，

所以6)2+gv)2<v2,解得米

②當(dāng)5V"V13時(shí)，f(t)=(vt-1-6t7+32.

由于(計(jì)一1一6￡)2+32425,

所以—43"—1—6t34對(duì)任意-Vt<—都成立，即《3對(duì)任意-三t三一都成立,

"v--<v-6vv

、c

V~6-S,反殂39/139

所以一合0一6解得百"‘7

③當(dāng)134aW16即藍(lán)WtW爭(zhēng)此時(shí)")=(12-6t尸+(16-vt)2.

由①及②知：8<"學(xué)于是0<12-6鵬12-*12-矍=4,

又因?yàn)?W16-utW3,

所以f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2<42+32=25恒成立.

綜上①②③可知8<v<—.

4

19.(1)當(dāng)m=1時(shí)，/(x)=-X34-x2-1./'(%)=-3x2+2%=-x(3x-2).

由f'M<0,

解得XV0或%>|.

所以函數(shù)/(X)的減區(qū)間是(-00,0)和(|,+8).

(2)依題意m>0.

因?yàn)?(%)=—X3+mx2—m,

所以/*(%)=—3/+2mx=—x(3x—2m).

由「(%)=0,

得％=等或％=0.

當(dāng)ov%〈等時(shí)，/(%)>o,

所以f(x)在(0,等)上為增函數(shù)：

當(dāng)丁V%<m,/*(x)<0,

所以fM在(等,血)上為減函數(shù)；

所以，/Q)極大值=/(等)=/加3—乙

33

①當(dāng)^m-m>m,即m之手，ymax--^m-m.

3

②當(dāng)^m—m<m,即0<m<乎時(shí)，ymax=m.

綜上，'max='27?3后

m,0<m<——

V2

(3)設(shè)兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x2.

32

則函數(shù)/(x)在這兩點(diǎn)的切線的方程分別為y-(-%i+m%1-m)=(一3%/+2mx1)(x一%),

322

y—(―x2+^nx2—m)=(―3x2+2mx2)(%一%2).

將(2")代入兩條切線方程，得

t-(一/3+7nxi2—TH)=(-3%/+27nxi)(2-.)，

32

t-(―x2+-ni)=(―3x2+2m%2)(2—%2).

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)圖象上有且僅有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，

所以方程t-(-%3+mx2-m)=(-3/+2mx)(2-x)有且僅有不相等的兩個(gè)實(shí)根.

整理得t=2x3—(6+m)%24-4mx—m.

設(shè)h(x)=2x3—(6+m)x2+4mx—m,h'(x)=6x2—2(6+m)x+4m=2(3%—m)(x—2).

①當(dāng)m=6時(shí)，/i'(x)=6(%—2)2>0,

所以九(%)單調(diào)遞增，顯然不成立.

②當(dāng)mH6時(shí)，"(%)=0,

解得％=2或%=].

列表可判斷單調(diào)性，可得當(dāng)％=2或%=

/i(x)取得極值分別為九(2)=3m—8,或九管)=~~m3+~m2—m.

要使得關(guān)于x的方程t=2x3-(6+m)x2+4mx-m有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

則t=3m—8,或t=——m3+-m2—m.

273

因?yàn)閠<0,

所以3n1—8W0,(*),或一上tn?+—機(jī)工0.(**)

273

解(*),得znW￡解(**),得mW9—3遍或m39+3乃.

因?yàn)閙>0,

所以m的范圍為(0,|]U[9+376,4-00).

20.(1)①因?yàn)?b2,以成等差數(shù)列，

所以4b2=3bl+壇，即4x3"/_3(2。+d)+

解得，”不

a4

②由Q?i+i工bn<@九+2,

(n+2)nd

(n+l)a+-

得Q+nd工一-------VQ+(n+l)d,

n

n2—n—<0,

整理得a

n24-n——>0,

a

因此存在唯一的正整數(shù)九，使得an+i〈bnVan+2.

37+1)

(2)因?yàn)榘譼(i-q)_1+2

ai(1-qr+】)一百

r(l-q)

qt+1-lqr+1-1

所以

t(t+2)r(r+2)

設(shè)=n",n￡N*.

n+2n+1(九)

貝ijf(n4-1)-/(n)q-lq-lqn+”ql)2+2(q2Ti3]+27i+3

(n+l)(n+3)n(n+2)n(n+l)(n+2)(n+3)

因?yàn)閝>2,n>2,

所以(q—1)幾2+2(q—2)n-3>n2-3N1>0,

所以f(n+1)-f(ri)>0,

即/(n+1)>f(n),

即單調(diào)遞增.

所以當(dāng)rZ2時(shí)，t>r>2,

則fQ)>f(r)，

即冷qr+1-1

r(r+2)'

這與蔡h募I互相矛盾—

所以'=1,即裝

若tN3,則f(t)2f(3)=喂q2-lq2+l>q2-l

353

qt+1-lq2-l

即t(t+2)>3'

t+l11

與篇n目相矛盾.

于是t=2,

所以『=中，

83

即3q2-5q-5=0.

又q>2,

所以q=處咨.

O

21.(1)連接48,

因?yàn)镻A是半圓0切線,

所以/.PAC=乙ABC.

因?yàn)锽C是圓。的直徑，

所以AB1AC.

又因?yàn)锳H1BC,

所以Z.CAH=/.ABC,

所以APAC=ACAH.

所以4c是NP4H的平分線.

(2)因?yàn)镠是。C中點(diǎn)，半圓。的半徑為2,

所以BH=3,CH=1.

又因?yàn)榱1BC,

所以力“2=BH?HC=3,

所以4H=6.

在RtZkAHC中，AH=V3,CH=1,

所以^CAH=30°.

由(1)可得/.PAH=2Z.CAH=60。，

所以PA=2V3.

由P4是半圓。的切線，

所以242=pc.

所以PC.(PC+BC)=(2b)=12,

所以PC=2.

22.設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P(x,y),P在矩陣4=(；/對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(x',y').

則(")◎=(；)

即％+2y=%',%=

所以x=y,9y=三匕.

代入x2+2xy+2y2=1,

得1+2廣?+2(等y=i,

即”+y，2=2,

所以曲線G的方程為/+y2=2.

23.M的極坐標(biāo)為(1弓)，故直角坐標(biāo)為M(0,i),且P(2cos8,sin。)，

所以

PM=7(2cos0)24-(sinfl—l)2

=V-3sin20—2sin04-5,

sin。G[—1,1].

當(dāng)sin9=—：時(shí)，PMmax=此時(shí)cos6=±^^.

所以，PM的最大值是竽，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(士竽，一》

24.函數(shù)定義域?yàn)閇0,4],且/(%)20.

由柯西不等式得卜2+(V2)2][(Vx)2+(V4-%)2]>(5-V%+V2-，4-%)[

BP27x4>(5-Vx+V2-V4^x),

所以5Vx+V8-2x<6V3.

當(dāng)且僅當(dāng)夜次=5次^^，即％=甯時(shí)，取等號(hào).

所以，函數(shù)/(x)=5Vx+V8-2x的最大值為6V3.

25.(1)記“X是奇數(shù)”為事件4

能組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是48.

X是奇數(shù)的個(gè)數(shù)有28,所以P(4)=普=2.

4812

答：X是奇數(shù)的概率為

(2)X的可能取值為3,4,5,6,7,8,9.

當(dāng)X=3時(shí),組成的三位數(shù)只能是由0,1,2三個(gè)數(shù)字組成，所以P(X=3)=怖=4；

4812

當(dāng)X=4時(shí),組成的三位數(shù)只能是由0,1,3三個(gè)數(shù)字組成，所以P(X=4)=2=白

4812

當(dāng)X=5時(shí),組成的三位數(shù)只能是由0,1,4或0,2,3三個(gè)數(shù)字組成，所以P(X=5)=4=3

486

當(dāng)X=6時(shí),組成的三位數(shù)只能是由0,2,4或1,2,3三個(gè)數(shù)字組成，所以P(X=6)=