根軌跡法課件

根軌跡法課件1第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一設(shè) 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)2第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡上的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn))與特征方程式的重根相對(duì)應(yīng)。若為二重根，必同時(shí)滿足和。因此求得：消去，可得到：便于忘記，上式又可寫成：或以上分析沒有考慮(且為實(shí)數(shù))的約束條件，所以只有滿足的這些解，才是真正的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。3第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例:設(shè)系統(tǒng)試求該系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗(yàn)：s1代入，求得：K＜0，故s1舍去；s2代入，求得K＞0。所以s2會(huì)合點(diǎn)。(舍去)

4第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一檢驗(yàn)K1只要得到的符號(hào)即可,不必出具體的數(shù)值。

一般來說:如果根軌跡位于實(shí)軸上兩相鄰的開環(huán)極點(diǎn)(零點(diǎn))之間；則個(gè)分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)與一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)之間，則或者既不存在分離點(diǎn)，也不存在會(huì)合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)，又存在會(huì)合點(diǎn)。5第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

四重分離點(diǎn)

復(fù)數(shù)分離點(diǎn)6第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

另外兩種表達(dá)形式：(1)因?yàn)榱?即得到7第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一仍以上例說明:因?yàn)榱钋蟮?舍去)

8第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一(2)

因?yàn)榧雌渲屑此?/p>

-9第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一仍以上例說明:因?yàn)橄シ帜附馍鲜降玫? 經(jīng)檢驗(yàn)，s2是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。對(duì)于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面兩種方法都是從第一種方法派生出來的，所以求得的結(jié)果一定要檢驗(yàn)，舍去K＜0所對(duì)應(yīng)的值。

（舍去）

10第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一復(fù)雜情況用試探法。在-2-3之間存在一個(gè)分離點(diǎn)。所以分離點(diǎn)的位置為11第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一7、根軌跡的出射角與入射角若根軌跡的一個(gè)分支離開復(fù)極點(diǎn)的出射角為，則（各零點(diǎn)到的向量幅角之和）

（其它各極點(diǎn)到的向量幅角之和）

若根軌跡的一個(gè)分支終止于復(fù)零點(diǎn)的入射角為，則

(各極點(diǎn)到的向量幅角之和)(其它各零點(diǎn)到的向量幅角之和)

12第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

出射角(或入射角)是指根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)(或終止復(fù)零點(diǎn))處切線的傾角。在根軌跡曲線上取試驗(yàn)點(diǎn)s1，與復(fù)極點(diǎn)-pa的距離為。當(dāng)時(shí)，可近似地認(rèn)為s1在切線上，切線的傾角就等于復(fù)極點(diǎn)的出射角。所以的出射角:

13第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一8.根軌跡與虛軸交點(diǎn)

根軌跡與虛軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為滿足特征方程的值。工作在此點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。介紹常用的三種方法。(1)

利用特征方程求取。用替代s，令虛部、實(shí)部分別等于零，求得和對(duì)應(yīng)的K1。(2)利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點(diǎn)多于兩個(gè)，則應(yīng)取勞斯陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。(3)利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇滿足幅角條件的試探點(diǎn)求出，再利用幅值條件確定交點(diǎn)處的K1值。14第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

解：起點(diǎn)：0－3－1＋j－1-j

終點(diǎn)：∞∞∞∞

(1)漸近線：n-m=4條。傾角：與實(shí)軸的交點(diǎn)：

(2)實(shí)軸上的根軌跡：例試?yán)L制根軌跡圖15第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一16第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一(3)分離點(diǎn)：試探法求得(4)–p2出射角:-p1,-p3,-p4到-p2

的幅角分別、、.所以同理不難求得極點(diǎn)-p3處的出射角：(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：

方法一：由特征方程求：特征方程：17第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行首項(xiàng)為零，即求K1=8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程

(舍去)1.13-=w1.12=w01=w18第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一9.根軌跡的走向

當(dāng)n-m≥2滿足時(shí)，隨著K1增加，一些根軌跡分支向左方移動(dòng)，則另一些根軌跡分支將向右方移動(dòng)。開環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：

當(dāng)滿足n-m≥2時(shí)，上式sn-1項(xiàng)將沒有同次項(xiàng)可以合并，通常把稱之為極點(diǎn)的“重心”。19第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)K1變化時(shí)，極點(diǎn)的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當(dāng)一部分根軌跡隨著的增加向左方移動(dòng)時(shí)，另一部分根軌跡將向右方移動(dòng).例20第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一10.根軌跡上K1值的計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)S1處的K1可由幅值條件來確定。即

=

21第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

例:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試畫根軌跡，并確定時(shí)K1的值。解：只對(duì)根軌跡曲線的特征點(diǎn)進(jìn)行分析。

(1)漸近線：3條。漸近線的夾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（2）分離點(diǎn)：

即

（舍去）22第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（3）與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得實(shí)部方程:

虛部方程： 解得：

(舍去)（4）確定時(shí)的K1

值：過原點(diǎn)作OA射線交根軌跡于A，使得，測量得:求得23第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，即閉環(huán)的一個(gè)極點(diǎn)位置:K1=44.5時(shí)另外兩個(gè)極點(diǎn)同理可求得根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)-1.57處對(duì)應(yīng)的K1=17。24第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī)則1起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）2分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（nm）3對(duì)稱性對(duì)稱于實(shí)軸4漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為：傾角為：5實(shí)軸上分布實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)25第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一序內(nèi)容規(guī)則6分離（回合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會(huì)合）點(diǎn)——（必要條件）7出射角入射角復(fù)極點(diǎn)處的出射角：復(fù)零點(diǎn)處的入射角：8虛軸交點(diǎn)（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及K1響應(yīng)的值）；9走向當(dāng)時(shí)，一些軌跡向右，則另一些將向左。10K1計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)處的K1：26第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一一、復(fù)域分析1．穩(wěn)定性分析：當(dāng)K1=240時(shí)，有一對(duì)虛根，處于臨界穩(wěn)定，輸出等幅振蕩。當(dāng)K1>240時(shí)，根軌跡曲線進(jìn)入S右半平面，系統(tǒng)有一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)K1<240時(shí)，系統(tǒng)根的實(shí)數(shù)部分均為負(fù)值，即根都分布在S左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2．穩(wěn)態(tài)性能分析：系統(tǒng)的開環(huán)根跡增益K1與開環(huán)放大系數(shù)成正比，因此對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)來說，K1越大，ess越小，穩(wěn)態(tài)性能也越好，但K1最終不能大于240，否則，系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。4.3控制系統(tǒng)性能的復(fù)域分析27第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一3．動(dòng)態(tài)性能分析：當(dāng)0<K1≤17時(shí)，系統(tǒng)根為負(fù)實(shí)數(shù)，可看成三個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。當(dāng)17<K1<240時(shí)，兩個(gè)根軌跡分支進(jìn)入復(fù)平面，產(chǎn)生一對(duì)共軛復(fù)根，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)帶有振蕩特性。K1越大，振蕩越厲害。若取ζ=0.5，極點(diǎn)：s1=-1.2+j2.1，s2=-1.2-j2.1，s3=-7.6。s1、s2可看成主導(dǎo)極點(diǎn)，s3可忽略，即可用二階系統(tǒng)的來近似該系統(tǒng)。求得復(fù)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：ζ=0.5，ωn=2.4對(duì)應(yīng)的時(shí)域指標(biāo)：

ts==2.9s σp=16.3%28第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一二、增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響系統(tǒng)根軌跡的整體格局是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)所共同決定的。開環(huán)零、極點(diǎn)位置不同，根軌跡的走向差異很大。1．增加極點(diǎn)（以具體系統(tǒng)加以說明）

一般可以認(rèn)為，當(dāng)函數(shù)G(s)H(s)在s左半平面增加極點(diǎn)，會(huì)促使原根軌跡向右半部移動(dòng)，穩(wěn)定性下降。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：增加極點(diǎn):s=-b

29第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一

增加極點(diǎn)軌跡向右彎曲，漸近線角度由