人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修5-不等式-不等關(guān)系與不等式-不等式的性質(zhì)“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

第六章不等式初中教材介紹了不等式的概念，學(xué)習(xí)了一元一次不等式、一無一次不等式組的解法；高一在學(xué)習(xí)了—元二次不等式、簡單的分式不等式和含絕對值不等式的解法的基礎(chǔ)上，以實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)，研究了不等式的意義、不等式的性質(zhì)、不等式的證明和一些不等式的解法。上述內(nèi)容是本章研究的對象，但著眼點(diǎn)應(yīng)該是與不等式有關(guān)的思想方法。不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內(nèi)容有密切的聯(lián)系。例如討論方程或方程組的解的情況，研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值，討論幾何中量與量的關(guān)系等，都要經(jīng)常用到不等式的知識(shí)。不等式在解決實(shí)際問題中也有廣泛的應(yīng)用?？梢?，不等式內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)里占有重要地位，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)知識(shí)。本章內(nèi)容可分為五部分，另外還有兩個(gè)閱讀材料。第一部分是不等式的性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合，由實(shí)數(shù)的大小次序引出了實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，給出了不等式的基本性質(zhì)，共有五個(gè)定理和三個(gè)推論，并給出了嚴(yán)格的證明．這是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)和依據(jù)，也是后面不等式證明和解不等式的出發(fā)點(diǎn)。第二部分講算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)。教材首先證明了一個(gè)重要的不等式：a2+b2≥2ab，通過這一公式自然得出了兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理，然后，通過例題說明了此定理在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的應(yīng)用。這一部分內(nèi)容被單獨(dú)列出來，有別于其他教科書，重在強(qiáng)調(diào)不等式的應(yīng)用。第三部分內(nèi)容是不等式的證明。教材通過例題分別介紹了證明不等式的三種基本方法——比較法、綜合法和分析法。對每一種方法的邏輯依據(jù)和方法要點(diǎn)都簡單地給予了說明。第四部分舉例介紹了不等式與不等式組的解法，總結(jié)了一元二次不等式、——元二次不等式組、含絕對值不等式、簡單高次不等式和分式不等式的解法，介紹了簡單的無理不等式的解法，強(qiáng)調(diào)了轉(zhuǎn)化的思想方法。第五部分講含絕對值不等式。介紹了含絕對值不等式的—個(gè)定理(在“復(fù)數(shù)”部分可將該定理推廣，到復(fù)數(shù)集中去)及其證明，并給出了它的兩個(gè)推論，介紹了它們的應(yīng)用。本章教材的重點(diǎn)是解不等式和證明不等式；難點(diǎn)是不等式的證明和含絕對值的不等式；學(xué)習(xí)上要達(dá)到目的要求的關(guān)鍵是：掌握不等式的意義，理解不等式的基本性質(zhì)，注重基本解法和轉(zhuǎn)化思想，強(qiáng)調(diào)邏輯依據(jù)和證明思路以及不等式的圖解應(yīng)用。尤其是要理解本章內(nèi)容的“公理化”體系，從宏觀上把握不等式的知識(shí)，熟悉不等式知識(shí)之間的這種演繹建構(gòu)的形式。本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)如下：6．1不等式的性質(zhì)本節(jié)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)如下：一、教學(xué)目的1、了解不等式的概念，掌握并能熟練表示實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大之間的關(guān)系，掌握不等式的性質(zhì)五個(gè)基本定理及其推論；2、轉(zhuǎn)化的能力：比較兩個(gè)數(shù)的大小歸結(jié)為判斷兩數(shù)之差的符號；抽象概能力：通過五個(gè)基本定理及其推論的證明培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰透爬芰Γ?、通過感受和學(xué)習(xí)不等式知識(shí)，認(rèn)識(shí)到不等關(guān)系是刻劃現(xiàn)實(shí)世界客觀對象之間聯(lián)系的一種絕對關(guān)系，由此培養(yǎng)學(xué)生的辨證唯物主義思想；4、從化簡數(shù)學(xué)表達(dá)式遵循從鎊至簡的原則，感知數(shù)學(xué)的簡約美，不等式的五個(gè)性質(zhì)定理及其推論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱美及其內(nèi)在聯(lián)系的和諧美。二、知識(shí)點(diǎn)：本節(jié)主要學(xué)習(xí)比較兩式大小的重要方法：作差比較法(作差→變形→定號)以及不等式的有關(guān)性質(zhì)及證明方法；本節(jié)知識(shí)是不等式的變形、化簡、證明以及解不等式的理論依據(jù)及解題基礎(chǔ)，同時(shí)也是不等式中分類討論的主要依據(jù)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意與等式的性質(zhì)、運(yùn)算相對照，找出它們的異同之處。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及疑點(diǎn)(一)重點(diǎn)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，不等式的五個(gè)定理和三個(gè)推論。(二)難點(diǎn)：不等式的性質(zhì)和證明。(三)疑點(diǎn)：不等式的性質(zhì)中的推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系的區(qū)別、判定。不等式的性質(zhì)（第一課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；2．掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。二、教學(xué)過程1、引入：人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實(shí)際問題出發(fā)，說明本章知識(shí)的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么?分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖后的糖水濃度為，只要證>即可。怎么證呢?引人課題。2、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。3、例題分析例l已知a>b>0，m>0，試比較與的大小。解： ∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴∴>.從而揭示“糖水加糖甜更甜”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。得出結(jié)論：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小一般步驟是：作差→變形→定號。例2比較a4-b4與4a3(a-b)的大?。猓篴4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)2(當(dāng)且僅當(dāng)d＝b時(shí)取等號)∴a4-b44a3(a-b)。說明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。例3已知x>y，且y≠0，比較與1的大小。解：∵x>y，∴x-y>0當(dāng)y<0時(shí)，<0，即<1當(dāng)y>0時(shí)，>0，即>1。說明：變形的目的是為了判定符號，此題定號時(shí)，要根據(jù)字母取值范圍，進(jìn)行分類討論。4、練習(xí)：(學(xué)生板演，可用投影)1、比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大?。?、已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大?。?、如果x>0，比較與的大?。?、已知a≠0，比較與的大?。?、設(shè)x1，比較x3與x2-x+1的大?。?、小結(jié)：比較兩代數(shù)式的大小