高考數(shù)學(xué)必修知識講解指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算提高

指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計算；行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化；能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡化根式運(yùn)算.掌握無理指數(shù)幕的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實數(shù)集；重要性，在抽象的符號或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力；通過對根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的關(guān)系的認(rèn)識，能學(xué)會透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì).【要點梳理】要點一、整數(shù)指數(shù)幕的概念及運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)幕的概念a°=l（a工0）運(yùn)算法則(ab)'"^ambm.要點二、根式的概念和運(yùn)算法則n次方根的定義：若x"=y(nGN*,n>l,yGR),則x稱為y的n次方根.nyy的奇次方根為零，記為詢=0；n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為土葉；負(fù)數(shù)沒有偶次方根;零的偶次方根為零，記為洞=0.兩個等式(1)當(dāng)”>1且“wN*時，(麗)=a；要點詮釋：①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；②計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成IaI的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤.要點三、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定a>0,n,HIGN*,且一為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)幕可如下定義：nj__an=昭mQ=(⑹"=0要點四、有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(a>0,b>0,a,/3eQ)⑴aa-ap=a"(aa)fl=aafi-(ab)a=a分；a〉0,p為無理數(shù)時，a"是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)仍適用.要點詮釋：根式問題常利用指數(shù)幕的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算；2H)2；2 丄(3)幕指數(shù)不能隨便約分.如(-4)4M(-4)2.指數(shù)幕的一般運(yùn)算步驟a2~b2=(a+b),(ab)(a土b)3=o3±3?2Z?+3ab2±Z?3a3—bi(a—b)(a'+ab+Z^),(a+b)(a?—ab+夕)的運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)算.【典型例題】類型一、根式例1.計算：(1)丁5+2亦+』7_4巧—』6-A近；]]V2+1V2-1【答案】2V2;2A/2【解析】對于(1)需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運(yùn)算性質(zhì)求解.對于(2),則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1) 52“+朋-』6-4血=7(^/3)2+2^3XV2+(A/2)2+^22-2x2^3+(A/3)2-Q—2x2血+(血尸=7(73+V2)2+7(2-A/3)2-J(2—毎=|V3+V2|+|2-^3-I2-V2=73+^2+2-巧-(2-V2)=2^2(2) ]]V2+1V2-1邁_\

V2+1(72+1)(72-1)(血_1)(邁+1)=72-1+72+1=2邁【總結(jié)升華】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全"次方，再解答，或者用整體思想解題.化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例(2)中,的分 1子、分母中同乘以(忑-1).舉一反三：1】化簡：(1)J3-2血+尋(1-殲+#(1_4；(2)寸分-2兀+1—yjx^+6%+9(|x|<3)

A/2+II—【答案】(1)V2-1(2)

—2x—2(—3<%<1),o類型二、指數(shù)運(yùn)算、化簡、求值例2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕形式表示下列各式(式中a>0)：(1)a2? ；(2)cr'?yj;(3)yjciyfu；(4)5n3 5【答案】戶；ay；/；滬【解析】先將根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，再利用幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可。丄 2+丄 5(1)a2-y[a? =a空=&;m (a〉0,加,“GN*,n〉1)。當(dāng)所求根式含有多重根號時,【總結(jié)升華】此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用亦_(2) a3-yja2=a3

2 + 11=a3=o3；.---丄丄丄丄3yjayja=(a-a^y=a^；二h解法二：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕。1 114y(、A<C66、4y丿Y3<A丿5舉_反三:【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050例1】【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡1 3 _2【答案】(1)2^a^(2)x丐?！咀兪?】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕:2^ 3 11 _3【答案】2遠(yuǎn)；戶；丄(ZV（(2)

211

?2^=22

=2】2；3丄1(3) =b3-b^=Z?y；1^==13,1-1T-21=—=x

13,x-x53, (")3例3.計算：1- -1(1)(0.0081)—3x 85+⑵7^3-3^24-63||+^31/3⑶$-125+#(-36)2_|_Q(”一4)6_Q(3—冗丁?！敬鸢浮?；0；2【解析】⑴原式=（0.3）T—丄（丄+2「2=12-1=3；33 3 3 3（2） 原式=7狗—6狗—2叭+明=0；（3） 原式=-5+6+4疋-（3-兀）=2；【總結(jié)升華】（1）運(yùn)算順序（能否應(yīng)用公式）；（2）舉一反三：【變式1】計算下列各式：

指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕.0+80-25xV2+(V2XV3)6；

4 1巾、cP-Sa^b('-2a3+2\[ab+4b【答案】（1）112（2）a（11才）

丄l+(23)zx24+(2^)6x(32)6=2+24^+—1 ill—

1L22X33=112；a(b)1）原式83

a3 1

弓3(°_8b)(2)

_—x—--------------------xa T

二a.(/)2+

'i2歷厲+(2

r 3/—2滬

11(/)3-(2茯)3例4.化簡下列各式.（/滬）路亍(1)(2)

yjab5m+mx+2i~I

_i⑶ (o-【答案】一；m2+m209a【解析】（1）（2）字母運(yùn)算的理解要求較高，即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系；（3）2x(—丄)丄一丄丄,.b a小卄/ 22，b a

j(1)原式=-------j_5----------=a3< 1 1\2m2+m2m+m_12⑵— I 丿7- 1 1-m2+m22(3)(0.027)§+

27125

m2+m2j_3

0.5=(“0.027尸

125

眷0.09+|一1=0.09舉_反三:i】化簡*：+丁x：-y：X3+y3 %3-y3【答案】—2空_2【解析】應(yīng)注意到匸亍與X』之間的關(guān)系，對分子使用乘法公式進(jìn)行因式分解,原式=

_2_2 _2_2(小+(亍)3 (匸亍)3—(y匕)3_2_2兀彳一歹3=(x亍尸一兀亍?y亍+(y')2_[(兀亍)2+兀亍y'+(y^)2]_2=-2(xyV【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式.（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為221,且不含非正整數(shù)指數(shù)幕；（3）被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式2】化簡下列式子：(3)A/X2+2X+1+A/X3-3X2+3X-1【答案】2^2+76；旳i+邁；＜⑵(個+邁)2=(個尸+2個?邁+(嫗$2X(X>-1)-2(x<-1)=V18+2^/18^2+V2=3^2+2^+72=472+2A/6>0???由平方根的定義得：血+2舲(3) VX3-3X2+3X-1=Q(x-1尸=x-l/—：-------fx+l(x>-1)VX2+2X+1=|X+1|=^-x-l(x<-1)?■-厶"+1+心3-3/+3X-1=］；；：二【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050例4】—— 兀2-I-X23例5.已矢E+八“求—可的值。【答案】-3【解析】從已知條件中解出x的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件*2+X2=3的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值。+x=3,:.x+2+x~'=9, %+%-1=7X2+2+x~2=49,:.X2+%-2=47Yz—Vz(2)已知x+y=12,xy二9,且x〈y,求一j 的值.+護(hù)【答案】宀3a；—￥【解析】（1）8'+8「'=2"+2（2、）3+（2「、）3=(2'+2"')[(2')2-2X?2"A+(2"v)2]=(2'+2"')[(2')2+2?2X?2"A+(2"v)2=(2"+2")[(2’+2"尸-3]=a(a2-3)-a3—3a.

-3-2A-2"A]1丄丄1/c、兀-y1x1-

1丄 丄丄(x^-y^)2

1(x+y)-2(xy)^(2) = = =........................................- - - - - - -2 -2 x-y兀2+y2兀2+y2兀2_y2又Tx+y二12,xy=9,1丄

丿(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4X9=10&X-y=6A/3代入(1)

"_y：

12-2x92：-6A/3：【總結(jié)升華】（1）對幕值的計算，一般應(yīng)盡可能把幕化為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)幕，再考慮同底幕的運(yùn)算法則以及乘法公式.（2）—x,y,2'2、+2x+yxy整體代入后再求值.丄_1【變式2］己知x+x"=4, 求兀°+兀Rx-x~r的值.【答案】V6；±2巧【解析】Tx+x_1=4,/.x>0,丄_丄貝|」（?？?兀方）2=兀+兀一1+2=4+2=6,_L_丄則x2+x2=-J6,(x+x“)2=%2+A'+2=16,則X2+X~2=14,(X—x")2"+f2—2=14—2=12,A—.X1=+A/12=+2y/3.2例6.（2016甘肅期末）（1）—+b=l.F2（2）化簡（丄）三?少弘）］@>0,b>0）4 0.1"f【思路點撥】（1）化簡所求表達(dá)式，利用已知條件求解即可.（2）利用有理指數(shù)幕以及根式運(yùn)算法則化簡求解即可.4丄【答案】（1）3（2）—b-25【解析】（1）—+b=l,2上、9“.3"^-r=^=府3