電路基礎(chǔ)-電感元件與電容元件

電路基礎(chǔ)——電感元件與電容元件第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二基本要求：熟練掌握電容元件端口特性方程、能量計算及串并聯(lián)等效變換。電容構(gòu)成原理圖5.1電容的基本構(gòu)成電容的電路符號電解電容器瓷質(zhì)電容器聚丙烯膜電容器圖5.3a固定電容器實際電容器示例一般電容可變電容電解電容第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二管式空氣可調(diào)電容器片式空氣可調(diào)電容器5.3b可變電容器電容元件是一種動態(tài)元件，其端口電壓、電流關(guān)系為微分（或積分）關(guān)系。當電容器填充線性介質(zhì)時，正極板上存儲的電荷量q與極板間電壓u成正比電容[系數(shù)]，單位：F(法拉)表示。常用單位有μF(微法)及pF(皮法)，分別表示為10-6F及10-12F。圖5.4線性電容電路符號和特性在u、q取關(guān)聯(lián)參考方向且C是正值時，線性電容的電路符號和它的電荷、電壓關(guān)系曲線如圖5.4所示。第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二已知電流i，求電荷q，反映電荷量的積儲過程

極板上電荷量增多或減少，在電容的端線中就有電流產(chǎn)生，如圖5.4(a)（電容元件的VCR方程）

可見線性電容的端口電流并不取決于當前時刻電壓，而與端口電壓的時間變化率成正比，所以電容是一種動態(tài)元件。物理意義：t

時刻電容上的電荷量是此刻以前由電流充電（或放電）而積累起來的。所以某一瞬刻的電荷量不能由該瞬間時刻的電流值來確定，而須考慮此刻以前的全部電流的“歷史”，所以電容也屬于記憶元件。對于線性電容有在關(guān)聯(lián)參考方向下，輸入線性電容端口的功率：電容存儲的電場能量第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二當u(t)↑

→

儲能↑也即吸收能量→吸收功率當u(t)↓

→儲能↓也即釋放能量→發(fā)出功率

同時電容的輸入功率與能量變化關(guān)系為:

電容儲能隨時間的增加率從全過程來看，電容本身不能提供任何能量，正值的電容是無源元件。

綜上所述，電容是一種動態(tài)、記憶、儲能、無源元件。假設(shè)

所以電容是儲能元件.式（5.8)、(5.9)說明電容吸收的總能量全部儲存在電場中，所以電容又是無損元件。反之截止到t

瞬間，從外部輸入電容的能量為：第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二[解]電阻消耗的電能為電容最終儲存的電荷為由此可知

[補充5.1]圖示RC串聯(lián)電路，設(shè)uC(0)=0，i(t)=Ie-t/RC。求在0<t<∞時間內(nèi)電阻消耗的電能和電容存儲的電能，并比較二者大小。補充

5.1iR_+Cu電容最終儲能為第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)在串聯(lián)前電容上無電荷，根據(jù)KVL及電容元件的電壓－電流關(guān)系得

串聯(lián)等效電容的倒數(shù)等于各電容的倒數(shù)之和。如圖5.5(b)所示。

圖5.5(a)電容的串聯(lián)在使用電容器時，除了要關(guān)注其電容值外，還要注意它的額定電壓。使用時若電壓超過額定電壓，電容就有可能會因介質(zhì)被擊穿而損壞。為了提高總電容承受的電壓，可將若干電容串聯(lián)起來使用，如圖5.5(a)所示。

第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二由于并聯(lián)電容的總電荷等于各電容的電荷之和，即

所以并聯(lián)等效電容等于各電容之和，等效電路如圖5.6(b)所示

注：如果在并聯(lián)或串聯(lián)前電容上存在電荷，則除了須計算等效電容外還須計算等效電容的初始電壓。為了得到電容值較大電容，可將若干電容并聯(lián)起來使用，如圖5.6(a)所示。

第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二在直流電路中電容相當于開路，據(jù)此求得電容電壓分別為所以兩個電容儲存的電場能量分別為

圖示電路，設(shè)，，電路處于直流工作狀態(tài)。計算兩個電容各自儲存的電場能量。第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)0.2F電容流過的電流波形如圖(a)所示，已知。試計算電容電壓的變化規(guī)律并畫出波形。(1)：，電容充電電容電壓計算如下第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二(2)：，電容放電(3)：此時，電容電壓保持不變，電容電壓的變化規(guī)律波形如右圖第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二幾種實際的電感線圈如圖5.9所示。

圖5.9幾種實際電感線圈示例圖5.10電感線圈原理示意圖盡管實際的電感線圈形狀各異，但其共性都是線圈中通以電流i，在其周圍激發(fā)磁場(magneticfiled)，從而在線圈中形成與電流相交鏈的磁通(flux)Φ

（兩者的方向遵循右螺旋法則），與線圈交鏈成磁鏈ψ

，如圖5.10所示。

基本要求：熟練掌握電感元件端口特性方程、能量計算及串并聯(lián)等效變換。第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二電感元件的特性用電流與磁鏈關(guān)系來表征，其電路符號如圖5.11所示對應的磁鏈－電流關(guān)系是一條通過平面原點的直線且位于Ⅰ、Ⅲ象限，圖5.11(c)表示其特性

圖5.11線性電感的符號及其特性電感[系數(shù)](inductance)。單位亨[利](符號H)如果線圈的磁場存在于線性介質(zhì)，稱為線性電感，磁鏈與電流成正比可調(diào)電感固定電感第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二對線性電感，其端口特性方程

即線性電感的端口電壓與端口電流的時間變化率成正比。因為電感上電壓－電流關(guān)系是微分或積分關(guān)系，所以電感也屬動態(tài)元件。若已知電壓求磁鏈或電流，則此兩式表明，電感中某一瞬間的磁鏈和電流決定于此瞬間以前的全過程的電壓，因此電感也屬于記憶元件。

根據(jù)電磁感應定律和楞茨定律，當電壓、電流方向如圖下圖所示，并且電流與磁通的參考方向遵循右螺旋法則時，端口電壓u與感應電動勢e關(guān)系如下第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二線性電感吸收的功率為電感存儲的磁場能量（）截止到t時刻電感吸收的能量為:上式說明電感吸收的總能量全部儲存在磁場中，所以電感又是無損元件。電感的串聯(lián)：電感也可以串聯(lián)或并聯(lián)。仿照電容串、并聯(lián)電路的分析可以得出結(jié)論：電感串聯(lián)時，等效電感等于各電感之和，即

圖5.12電感的串聯(lián)等效電感也是儲能元件。第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二電感的并聯(lián)：電感并聯(lián)時，等效電感的倒數(shù)等于各電感倒數(shù)之和，即說明：從電路模型上講，電感在串聯(lián)或并聯(lián)之前可以假設(shè)存在一定的磁鏈或電流。這樣，串聯(lián)或并聯(lián)聯(lián)接后，除須計算等效電感外，還須計算等效電感的初始磁鏈或初始電流。

圖5.13電感的并聯(lián)等效第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)電流的變化規(guī)律，分段計算如下電路如圖(a)所示，0.1H電感通以圖(b)所示的電流。求時間電感電壓、吸收功率及儲存能量的變化規(guī)律。圖5.14例題5.3第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二電壓、功率及能量均為零。各時段的電壓、功率及能量的變化規(guī)律如右圖(c)、(d)、(e)所示。小結(jié)：本題可見，電流源的端電壓決定于外電路，即決定于電感。而電感電壓與電流的變化率成正比。因而當時，雖然電流最大，電壓卻為零。第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二當幾個線圈之間存在著磁耦合，便形成了多端口電感。本節(jié)只討論二端口電感，習慣上稱為互感[元件]，如圖5.15所示。

圖5.15

兩個線圈的磁耦合

(a)(b)基本要求：透徹理解同名端的概念、熟練掌握互感元件端口方程和互感元件的串并聯(lián)等效電路。第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二每一線圈的總磁鏈是自感磁鏈和互感磁鏈代數(shù)和。在線性條件下，自感磁鏈和互感磁鏈均正比與激發(fā)它們的電流，設(shè)電流與自感磁鏈的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，則式中互感磁鏈前正負號，由自感磁鏈和互感磁鏈的方向而定，一致取“

+”

；否則取“

–

”—

自感；

簡寫成—互感；一般實際線圈

自感應磁鏈

互感應磁鏈

圖5.15兩個線圈的磁耦合第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二在圖5.16a中，可明顯地判斷自感磁鏈和互感磁鏈的方向是相同或相反。但當將實際線圈抽象成圖5.16(b)所示的電路模型時，就靠電流進、出同名端來判斷互感磁鏈的+（或-）。第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二同名端

使所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致的兩個線圈電流的進端或出端。

換言之，兩個端口電流都流進（或流出）同名端，表示它們所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致，（總磁鏈在原自感磁鏈基礎(chǔ)上增強）。則互感磁鏈前應取正號。當兩個電流的參考方向是從非同名端流入時，它們所激發(fā)的自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，則互感磁鏈前應取負號。如圖5.17

同名端也可以等價說成：當某線圈電流增加時，流入電流的端子與另一線圈互感電壓為正極性的端子為同名端。根據(jù)這一原理，在實驗中，使某線圈流入遞增電流，通過測試另一線圈互感電壓的極性便可找出同名端。

第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)電磁感應定律，在端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，并且自感磁通與電流符合右手螺旋關(guān)系時，互感元件的電壓電流方程為若式中u1、i1

或u2、i2的參考方向相反，則L1或L2前應添入負號；若u1、i2

或u2、i1的參考方向相對星標*是相同的，則M前取正號，否則應取負號.第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二實用上，上述列寫互感方程的方法稱為逐項判斷法。分析1）從圖(a)知，端口1的電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓前為正，2）引起互感電壓的電流參考方向是從所在端口2的非*指向*端，與引起的電流從自端口*端指向非*端方向相反，因此前取負；3）端口2的電壓和電流為非關(guān)聯(lián)參考方向,自感電壓前為負，4）引起互感電壓的電流參考方向是從端口1的*指向非*端，相對與端口2來說與的參考方向關(guān)聯(lián)一致，故前取正。故圖（a）所示的互感元件特性方成為：[補充5.2]列出圖示兩個互感元件的特性方程第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二基于相似解釋，圖（b）所示互感元件的特性方程。

第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二正如一端口電感那樣，輸入互感的總能量將全部轉(zhuǎn)化為磁場能量，磁能

如果沒有磁耦合，M=0，磁能就是兩個自感元件分別儲能之和。存在磁耦合時，要增減一項Mi1i2，增與減要視互感的作用是使磁場增強還是使磁場減弱而定。

定義耦合系數(shù)

用來衡量互感耦合的程度

互感總功率，在關(guān)聯(lián)參考方向下

第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二含互感元件電路的聯(lián)接由此可得串聯(lián)等效電感如圖5.18c所示，

圖5.18c注：正串2M前取正,等效電感大于倆自感之和;反串2M前取負，等效電感小于倆自感之和1互感元件的串聯(lián)電流從同名端流入→正串(或順接)電流從異名端流入→反串(或反接)圖5.18a圖5.18b第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二2互感元件的并聯(lián)（3）代入（1）得：（3）代（2）得：由此消去互感的等效電路如圖5.19(b)圖5.19(a)互感兩同名端并聯(lián)電路

圖5.19(a)表示兩個同名端相接。為求其等效電路，分別列KCL和KVL方程：圖中各等效電感為

第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二同理，異名端聯(lián)接時的總等效電感為

對于實際的耦合線圈，無論何種串聯(lián)或何種并聯(lián)，其等效電感均為正值。所以自感和互感滿足如下關(guān)系

耦合系數(shù)滿足

如無需計算電流，根據(jù)電感的串、并聯(lián)等效，圖5.19(b)可進一步等效成一個電感，如圖5.19(c)，

圖5.19(c)等效電感第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

3互感線圈的T型聯(lián)接圖5.20(b)中各等效電感為

圖5.20互感的T型等效電路如圖5.20(a)所示，圖5.20(b)是不含磁耦合的等效電路由于耦合線圈含有電阻，在較接近實際的電路模型中兩自感都含有串聯(lián)電阻。其等效電感的計算與式(5.36)相同。就是說，即便模型中含有串聯(lián)電阻,也可以通過這種方法來消除互感，得到無互感等效電路。第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二一個實際耦合電感，例如空心變壓器(一種繞在非鐵磁材料上的變壓器)，一般需要考慮繞組電阻，此時可用帶有串聯(lián)等效電阻的互感來表示其電路模型，如圖5.21所示。圖中u1與i2參考方向相對星標*是相反的，u2與i1也是相反的，故M前均應取負號，端口特性方程將是：第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二理想變壓器是實際電磁耦合元件的一種理想化模型，如圖5.22和5.23。理想化認為