人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修4-基本初等函-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)·正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象·教案

教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法．過程與方法：通過學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)的圖象．教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備為了學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法，首先復(fù)習(xí)以前所學(xué)的相關(guān)知識(shí)．1．復(fù)習(xí)學(xué)過的函數(shù)．（1）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）．它的圖象為直線，如圖1．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）．它的圖象是拋物線．如圖2．（3）冪函數(shù)y=xα，α≠0，其圖象為下表．

（4）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1），其圖象如圖3．（5）對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1），其圖象如圖4．2．復(fù)習(xí)圖象變換知識(shí)．（1）平移變換（2）對稱變換3．復(fù)習(xí)相關(guān)的誘導(dǎo)公式．sin（α+2π）=sinα，sin（x+π）=-sinxcos（α+2π）=cosαcos（x+π）=-cosx以上基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)為下面的新課教學(xué)做好了準(zhǔn)備工作．二、新課講授1．正弦函數(shù)圖象的畫法．（1）（板書）畫出y=sinx，x∈［0，2π］的圖象．師：畫函數(shù)圖象的步驟是：第一步列表；第二步，根據(jù)表中每組x，y的取值逐一在直角坐標(biāo)系下找到相應(yīng)的點(diǎn)；第三步，用平滑曲線將所描各點(diǎn)連接．此題函數(shù)定義域?yàn)椋?，2π］，所以表中自變量x可選擇此范圍成列表．（在完成此表時(shí)，當(dāng)x∈［π，2π）時(shí)，也可使用誘導(dǎo)公式sin（π+α）=-sinα來計(jì)算．）根據(jù)此表在直角坐標(biāo)系下描出相應(yīng)的點(diǎn)．再用平滑曲線連接．如圖5．在這里應(yīng)該提醒學(xué)生注意以下兩點(diǎn)：（i）在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，x軸的刻度應(yīng)以π為單位長取值，而y由此可見，這種描點(diǎn)法是對函數(shù)值取近似值后畫的函數(shù)圖象，不是準(zhǔn)確圖象．這種畫法也叫代數(shù)描點(diǎn)法．（2）（板書）畫出y=sinx的圖象．請學(xué)生比較（1）與（2）兩個(gè)小題：生：這兩個(gè)題的定義域不同．第（1）題定義域?yàn)椋?，2π］，第（2）題的定義域?yàn)镽．師：這一點(diǎn)非常重要，在函數(shù)三要素（即定義域，對應(yīng)法則，值域）中，定義域是基礎(chǔ)，是函數(shù)的決定因素之一．定義域不同，函數(shù)不同，函數(shù)圖象也不同．但有區(qū)別也有聯(lián)系．這種聯(lián)系對函數(shù)圖象的畫法有什么影響呢？學(xué)生：［0，2π］是R的真子集．所以第（2）題當(dāng)x∈［0，2π］時(shí)的函數(shù)圖象就是第一題的結(jié)果．所以面臨的新問題實(shí)質(zhì)上只需考慮x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）時(shí)的函數(shù)圖象即可．師：對x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）的函數(shù)圖象的思考可以分為x∈（2π，+∝）和x∈（-∝，0）兩部分．因?yàn)閟in（x+2π）=sinx，所以x∈（2π，+∝）時(shí)，sinx=sin（x-2π），即y=sinx，x∈［2π，4π］的圖象是把y=sinx，x∈［0，2π］的圖象右移2π個(gè)單位長，y=sinx，x∈［4π，6π］的圖象是y=sinx，x∈［2π，4π］右移2π個(gè)單位長的結(jié)果……依此類推下去，就可得到y(tǒng)=sinx（x≥0）時(shí)的函數(shù)圖象．下面只需考慮x＜0時(shí)y=sinx的圖象．（請學(xué)生思考．）生：由于sin（-x）=-sinx，所以x≤0時(shí)，y=sinx的圖象是y=sinx（x≥0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的結(jié)果，它的理論根據(jù)是函數(shù)y=f（x）與y=-f（-x）之間圖象變換的特點(diǎn)．師：這樣我們就得到了y=sinx，x∈R時(shí)的完整的圖象．（板書）由此可見，畫出y=sinx的圖象關(guān)鍵是首先要畫出y=sinx在［0，2π］內(nèi)的圖象．而y=sinx在［0，2π］的圖象有這樣五個(gè)點(diǎn)很重要：分別是函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)．所以這五個(gè)點(diǎn)是確定y=sinx圖象的基本點(diǎn)．因此，代數(shù)描點(diǎn)法也可簡稱為“五點(diǎn)法”，以后再畫y=sinx圖象時(shí)，就可直接使用五點(diǎn)法了．（板書）（“五點(diǎn)法”作圖往往是在精度要求不太高時(shí)的作函數(shù)簡圖的方法．）下面再學(xué)習(xí)一種函數(shù)圖象的畫法——幾何描點(diǎn)法．請學(xué)生閱讀課本P167，從第7行開始，邊閱讀邊講解．師：幾何描點(diǎn)法是利用單位圓中的三角函數(shù)線來作圖．先建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，在x負(fù)半軸上取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為心每取到一個(gè)角的終邊位置都將正弦線平移至右側(cè)坐標(biāo)系的相應(yīng)位置后，就可得到正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)．（如圖8）用平滑曲線將各正弦線的端點(diǎn)連結(jié)．便可得正弦函數(shù)圖象．（如圖9）師：比較代數(shù)描點(diǎn)法與幾何描點(diǎn)法的區(qū)別在于：代數(shù)描點(diǎn)法所取的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是近似值，不能描出對應(yīng)點(diǎn)的精確位置，因此作出的圖象不夠準(zhǔn)確；而幾何描點(diǎn)法作圖準(zhǔn)確，但真正畫圖卻較難實(shí)現(xiàn)．2．余弦函數(shù)圖象的畫法．師：正弦函數(shù)圖象是我們遇到的第一個(gè)三角函數(shù)圖象．所以對它的畫法的研究需從最基本的描點(diǎn)法開始．而余弦函數(shù)圖象是繼正弦函數(shù)圖象之后的第二個(gè)函數(shù)圖象，對它的畫法的研究可以借鑒正弦函數(shù)圖象的畫法．方法1：代數(shù)描點(diǎn)法．（可由學(xué)生完成）列表后描點(diǎn)，用平滑曲線相連得到y(tǒng)=cosx，x∈［0，2π］的圖象．再根據(jù)cosx=cos（x-2π），cos（-x）=cosx可得到完整的y=cosx的圖象．當(dāng)精確度要求不很高時(shí)，也可用“五點(diǎn)法”畫出y=cosx的簡圖．五π，1），其中（0，1），（2π，1）為最高點(diǎn)，（π，-1）為最方法2：幾何描點(diǎn)法．基本思路同正弦函數(shù)圖象．方法3：平移變換法．其中方法3表明了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象之間的關(guān)系．3．課堂練習(xí)．畫出下列函數(shù)的圖象．（1）y=2sinx（2）y=-cosx（3）y=sinx+1（4）y=sinx+cosx，x∈［0，2π］解答過程如下：（1）y=2sinx．先用“五點(diǎn)法”畫出y=sinx圖象，再縱向伸至2倍．（2）y=-cos是把y=cosx圖象作關(guān)于x軸的對稱變換．（3）y=sinx+1的圖象可將y=sinx圖象向上平移1個(gè)單位．師：此題y=sinx+cosx是否還有其它作法？4．課堂小結(jié)．這節(jié)課學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法．除了它們共同的代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法之外，余弦函數(shù)圖象還可由平移交換法得出．這節(jié)課講授的“五點(diǎn)法”是比較常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握．通過學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法，學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)遇到新問題時(shí)善于調(diào)動(dòng)所學(xué)過的知識(shí)，較好地運(yùn)用新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，才能提高分析問題、解決問題的能力．作業(yè)：課本P169練習(xí)．P177練習(xí)第1～7題．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)可概括為：1．復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)．（1）以前學(xué)過的函數(shù)；（2）圖象變換知識(shí)；（3）誘導(dǎo)公式．2．新課．（1）正弦函數(shù)圖象（代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法）；（2）余弦函數(shù)圖象（代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法、平移交換法）．重點(diǎn)突出“五點(diǎn)法”．3．小結(jié)．這節(jié)課涉及到過去所學(xué)的知識(shí)較多，可利用這個(gè)機(jī)會(huì)對它們加以鞏固復(fù)習(xí)．也可采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思考要解決的正弦函數(shù)圖象的畫法．先回顧我們以前所學(xué)到函數(shù)圖象是如何得到的，引出描點(diǎn)法，而正弦函數(shù)是建立在角到角的正弦值之間的對應(yīng)關(guān)系上，所以要解決y=sinx，x∈R時(shí)的圖象可先從y=sinx，x∈［0，2π］的圖象研究起，即遵從從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，由y=sinx，x∈［0，2π］的圖象，再根據(jù)sin（x+2π）=sinx得到y(tǒng)=sinx（x≥0）時(shí)的圖象，體現(xiàn)了知識(shí)間的聯(lián)系．而后得到的y=sinx，x∈R圖象，是借用對稱變換的知識(shí)．使學(xué)生看到一個(gè)新問題的解決并不是深不可測，關(guān)鍵在于我們能否較好地恰當(dāng)?shù)卣{(diào)動(dòng)學(xué)過的舊知識(shí)．這種對知識(shí)的調(diào)動(dòng)、遷移能力是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷領(lǐng)悟、不斷實(shí)踐、不斷提高的．在調(diào)動(dòng)、遷移的過程中需要學(xué)生分析新舊知識(shí)的聯(lián)系，利用舊知識(shí)解決新問題．而余弦函數(shù)圖象的畫法的解決可以以y=sinx的圖象為起點(diǎn)，利用得到．這是利用舊知識(shí)解決新問題的又一很好的例證．另外，這節(jié)課講述了代數(shù)描點(diǎn)法，幾何描點(diǎn)，它們都是通過描點(diǎn)得到函數(shù)圖象．但又有所區(qū)別，這點(diǎn)應(yīng)讓學(xué)生給予注意．在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，既要有代數(shù)思想又要有幾何思想，這種意識(shí)應(yīng)在教學(xué)過程中加以培養(yǎng)．本節(jié)課講授了兩個(gè)三角函數(shù)圖象的畫法．這兩個(gè)圖象不妨可以按如下方法加以比較：同一個(gè)內(nèi)容采用不同的方法加以比較，從不同角度去認(rèn)識(shí)，一定可以幫助學(xué)生加深對知識(shí)的認(rèn)識(shí)程度，培養(yǎng)靈活的思維方式．本節(jié)課最后出了四個(gè)練習(xí)題，都是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與圖象變換知識(shí)的綜合題．既是為了鞏固本節(jié)課的知識(shí)，使學(xué)生能較熟練地畫出y=sinx，y=cosx圖象，強(qiáng)化了“五點(diǎn)法”畫圖，又為后續(xù)課程講正弦型曲線打下了基礎(chǔ)．從開始畫y=sinx，x∈［0，2π］的圖象，到畫出y=sinx，x∈R圖象，再到這四個(gè)練習(xí)題，體現(xiàn)了從特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律．在這種螺旋式上升的過程中，學(xué)生不僅學(xué)到了本節(jié)課的知識(shí)，而且還提高了思維水平和認(rèn)知能力．這節(jié)課圖形多，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，尤其在復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生對一次函數(shù)、二次函數(shù)掌握得較熟練，對指數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可能記憶得不很準(zhǔn)確，既然遇到了還是應(yīng)該幫學(xué)生復(fù)習(xí)一下．為了節(jié)省時(shí)間，可課前寫成投影片的形式．對于函數(shù)圖象的幾何描點(diǎn)法，學(xué)生能理解，可不必在此耽誤時(shí)間．“五點(diǎn)法”應(yīng)是重點(diǎn)掌握的．對于余弦函數(shù)圖象的畫法，基礎(chǔ)好的學(xué)生可以直接用“五點(diǎn)法”畫出y=cosx，x∈［0，2π］的圖象，再利用cosx=cos（x-2π）和cosx=cos（-x）的性質(zhì)