江蘇省南通市海安中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A．56 B．72 C．64 D．842．若，則等于（）A．2 B．0 C．-2 D．-43．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）A．72 B．108 C．144 D．1965．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A．1 B．2C．3 D．46．已知，，且，若，則（）A． B． C． D．7．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為A． B． C． D．8．如圖所示，圓為正三角形的內(nèi)切圓，為切點(diǎn)，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該正三角形內(nèi)，在已知豆子落在圓內(nèi)的條件下，豆子落在（陰影部分）內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．9．已知m∈R，若函數(shù)f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-910．甲乙丙丁四名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人只報(bào)一項(xiàng)，記事件“四名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)單獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”，則()A． B． C． D．11．若，，如果與為共線向量，則（）A．， B．，C．， D．，12．在一次試驗(yàn)中，測得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是______.14．若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是__________．15．如果一個(gè)凸多面體是棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線中共有對異面直線，則_____．16．已知是以為直徑的半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，為圓心，為中點(diǎn)，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.18．（12分）已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14111人，女生11111人，該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取121人，統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，如下表：（平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間單位：小時(shí)，該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是[0,3]）.男生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間分布情況：女生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間分布情況：（1）請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（結(jié)果精確到1.1）；（2）若規(guī)定平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.①請根據(jù)樣本估算該?！斑\(yùn)動(dòng)達(dá)人”的數(shù)量；②請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.15的前提下認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’與性別有關(guān)？”參考公式：k2=n參考數(shù)據(jù)：P(1．111.151.1251.1111.1151.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.82820．（12分）已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．21．（12分）已知，命題對任意，不等式恒成立；命題存在，使得成立.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若為假，為真，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在以為頂點(diǎn)的多面體中，平面，平面，．（1）請?jiān)趫D中作出平面，使得，且，并說明理由；（2）求直線和平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色和A、C同色兩大類.詳解：分兩種情況：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色）：有4×3×2×2=48種；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色）：有4×3×1×3=36種．共有84種，故答案為：D.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.2、D【解析】

先求導(dǎo)，算出，然后即可求出【詳解】因?yàn)?，所以所以，得所以，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，較簡單.3、C【解析】

分段令，解方程即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)零點(diǎn)的求解，涉及指數(shù)和對數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

分步完成，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。驹斀狻堪搭}意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。虼颂罘倲?shù)為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理．解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法．5、C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個(gè)數(shù).詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個(gè)，故選C.點(diǎn)睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時(shí)可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進(jìn)行還原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進(jìn)而可進(jìn)行棱長、表面積、體積等相關(guān)問題的求解.6、B【解析】當(dāng)時(shí)有，所以，得出，由于，所以.故選B.7、D【解析】因?yàn)榍€，所以切線過點(diǎn)（4，e2）

∴f′（x）|x=4=e2，

∴切線方程為：y-e2=e2（x-4），

令y=0，得x=2，與x軸的交點(diǎn)為：（2，0），

令x=0，y=-e2，與y軸的交點(diǎn)為：（0，-e2），

∴曲線在點(diǎn)（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=×2×|-e2|=e2.

故選D．8、A【解析】

設(shè)正三角形的邊長為，內(nèi)切圓半徑為，求得內(nèi)切圓半徑，即可得陰影部分的面積；再求得三角形的面積，結(jié)合幾何概型的求法即可得解.【詳解】設(shè)正三角形的邊長為，內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積公式可得，解得，則，所以由幾何概型概率可得落在陰影部分的概率為,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何概型概率求法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

通過參變分離、換元法，把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成直線y=m與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數(shù)f(x)在-1<x≤0有兩個(gè)不同零點(diǎn)?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個(gè)不同的根?y=m∴-【點(diǎn)睛】通過換元把復(fù)雜的分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟知的二次函數(shù)，但要注意換元后新元的取值范圍.10、D【解析】

求出，根據(jù)條件概率公式即可得解.【詳解】由題：，.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求條件概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出AB的概率和B的概率，根據(jù)條件概率公式計(jì)算求解.11、B【解析】

利用向量共線的充要條件即可求出．【詳解】解：與為共線向量，存在實(shí)數(shù)使得，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】分析：根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個(gè)，這一個(gè)就是線性回歸方程．詳解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（4，5）把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有y=x+1成立，故選A．點(diǎn)睛：本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問題，解題時(shí)注意平均數(shù)的運(yùn)算不要出錯(cuò)，注意系數(shù)的求法，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，但是對于一個(gè)選擇題，還有它特殊的加法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在和分別保證對數(shù)型函數(shù)和一次函數(shù)單調(diào)遞增；根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，確定分段處函數(shù)值的大小關(guān)系；綜合所有要求可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，若原函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，若原函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得：；為上的單調(diào)遞增函數(shù)，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略函數(shù)在分段函數(shù)分段處函數(shù)值的大小關(guān)系，造成范圍求解錯(cuò)誤.14、[1，＋∞)【解析】函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間恒大于等于0，故15、360【解析】

先根據(jù)異面直線的概念，求得的表達(dá)式，由此求得的值.【詳解】棱錐共有個(gè)頂點(diǎn)，從這些點(diǎn)中任取兩個(gè)都可以確定一條直線．這些直線分成兩類：側(cè)棱所在直線與底面內(nèi)直線.顯然所有的側(cè)棱所在直線中，任意兩條都不可能成為異面直線，底面內(nèi)的所有直線中的任意兩條也不可能成為異面直線，而任意一條側(cè)棱所在直線，在底面的個(gè)頂點(diǎn)中，除去側(cè)棱所在直線用的那個(gè)點(diǎn)，還有）個(gè)點(diǎn)，那么由這個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的直線與該側(cè)棱所在直線都是異面直線，這個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的直線有條，故共有對異面直線，則．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線的概念，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先用中點(diǎn)公式的向量式求出，再用數(shù)量積的定義求出的值．【詳解】，【點(diǎn)睛】本題主要考查向量中的中點(diǎn)公式應(yīng)用以及數(shù)量積的定義．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)，取得極小值；當(dāng)時(shí)，取得極大值；（2）見解析.【解析】【試題分析】(1)當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得函數(shù)的極值.(2)當(dāng)時(shí),化簡原不等式得,分別利用導(dǎo)數(shù)求得左邊對應(yīng)函數(shù)的最小值,和右邊對應(yīng)函數(shù)的最大值,最小值大于最大值,即可證明原不等式成立.【試題解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以，當(dāng)，取得極小值；當(dāng)時(shí)，取得極大值．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，所以不等式可變?yōu)椋C明上述不等式成立，即證明．設(shè)，則，令，得，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以．令，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以，所以，即，即，由此可知．【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值的求法.考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問題.求函數(shù)極值的基本步驟是:首先求函數(shù)的定義域,其次對函數(shù)求導(dǎo),求導(dǎo)后一般需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分和因式分解,然后求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即原函數(shù)的極值點(diǎn),結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并得出是最大值還是最小值.18、（1）；（2）增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【解析】

⑴求出，并令其為得到方程，把與代入求出的值⑵求出，分別令，，求出的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【詳解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增區(qū)間是和，減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，較為基礎(chǔ)，只要運(yùn)用法則來求解即可。19、（1）1.5；（2）①4111；②在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.15的前提下不能認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’與性別有關(guān)”．【解析】試題分析：（1）由分層抽樣計(jì)算得男生抽70人，女生抽50人，故x=5,y=2，由此求得男生平均運(yùn)動(dòng)事件為1.5小時(shí)；（2）計(jì)算k=120(15×45-5×55)2試題解析：（1）由分層抽樣得：男生抽取的人數(shù)為120×1400014000+10000=70故x=5,y=2，則該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5故該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間約為1.5小時(shí)；（2）①樣本中“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”所占比例是20120=1②由表可知：故K2的觀測值故在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.15的前提下不能認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’與性別有關(guān)”考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.獨(dú)立性檢驗(yàn).20、解：（1），遞增區(qū)間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（，1）．（1）【解析】

（1）求出f（x），由題意得f（）＝0且f（1）＝0聯(lián)立解得與b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間；（1）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[﹣1，1]恒成立求出函數(shù)的最大值為f（1），代入求出最大值，然后令f（1）＜c1列出不等式，求出c的范圍即可．【詳解】（1），f（x）＝3x1+1ax+b由解得，f（x）＝3x1﹣x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（﹣∞,）（，1）1（1，+∞）f（x）+0﹣0+f（x）極大值極小值所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（，1）．（1）因?yàn)?，根?jù)（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得f（x）在（﹣1，）上遞增，在（，1）上遞減，在（1，1）上遞增，所以當(dāng)x時(shí)，f（x）為極大值，而f（1）＝，所以f（1）＝1+c為最大值．要使f（x）＜對x∈[﹣1，1]恒成立，須且只需＞f（1）＝1+c．解得c＜﹣1或c＞1．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題