江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)揚(yáng)州中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．2．若隨機(jī)變量滿足，且，，則（）A． B． C． D．3．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲四次，設(shè)為正面向上的次數(shù)，則等于（）A． B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A． B． C． D．5．曲線在處的切線斜率是()A． B． C． D．6．、、、、、六名同學(xué)站成一排照相，其中、兩人相鄰的不同排法數(shù)是（）A．720種 B．360種 C．240種 D．120種7．在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．9．條件，條件，若是的必要不充分條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離是，則的值是（）A． B． C． D．11．在滿分為15分的中招信息技術(shù)考試中，初三學(xué)生的分?jǐn)?shù)，若某班共有54名學(xué)生，則這個(gè)班的學(xué)生該科考試中13分以上的人數(shù)大約為（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．1012．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)且f（2）=0，則使f（x）<0的x的取值范圍（）A．（－∞，2） B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞） D．（－2，2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為和，如果這時(shí)氣球的高是30米，則河流的寬度為______米.14．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則_______.15．已知定義在上的函數(shù)滿足（其中為的導(dǎo)函數(shù)）且，則不等式的解集是__________．16．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)恒有（且）成立.（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.18．（12分）如果球、正方體與等邊圓柱（底面直徑與母線相等）的體積相等，求它們的表面積的大小關(guān)系．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位．在該極坐標(biāo)系中圓的方程為．（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)、，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．20．（12分）設(shè)，，其中a，．Ⅰ求的極大值；Ⅱ設(shè)，，若對(duì)任意的，恒成立，求a的最大值；Ⅲ設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在三棱柱中，，，點(diǎn)在平而內(nèi)的射影為(1)證明：四邊形為矩形；(2)分別為與的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，已知平面，求的值.(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算．2、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差求解.【詳解】由題意得：解得：，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差求解，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】分析：先確定隨機(jī)變量得取法，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率.詳解：因?yàn)樗赃xC.點(diǎn)睛：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件A恰好發(fā)生次得概率為.其中為1次試驗(yàn)種A發(fā)生得概率.4、C【解析】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.5、C【解析】

根據(jù)已知對(duì)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴當(dāng)時(shí)，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率問題，已知切點(diǎn)求切線斜率問題，先求導(dǎo)再代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)即可，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先把、兩人捆綁在一起，然后再與其余四人全排列即可求出、兩人相鄰的不同排法數(shù).【詳解】首先把把、兩人捆綁在一起，有種不同的排法，最后與其余四人全排列有種不同的排法，根據(jù)分步計(jì)算原理，、兩人相鄰的不同排法數(shù)是，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了全排列和分步計(jì)算原理，運(yùn)用捆綁法是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

因?yàn)?可得時(shí)，的系數(shù)為，C正確.8、A【解析】

根據(jù)，成立，求得，再根據(jù)集合法，選其子集即可.【詳解】因?yàn)?，成立，所以，成立，所以，命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立及邏輯關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的必要不充分條件，可以推導(dǎo)出，但是不能推導(dǎo)出，若，則等價(jià)于無法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于滿足條件的為空集，無法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于，由題意可知，，，，的取值范圍是，故選B.10、B【解析】

利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式，求解即可得出的值.【詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5.所以解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，還結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解.11、C【解析】

分析：現(xiàn)利用正態(tài)分布的意義和原則結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，計(jì)算大于的概率，即可求解得到其人數(shù)．詳解：因?yàn)槠渲袛?shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分布，因?yàn)椋锤鶕?jù)正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性，可得，所以這個(gè)班級(jí)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)诜忠陨系娜藬?shù)大約為人，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對(duì)稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),求出函數(shù)在(－∞，0]上的解集,再根據(jù)對(duì)稱性即可得出答案.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù),所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在(－∞，0]是減函數(shù),所以函數(shù)在(－∞，0]上的解集為,由偶函數(shù)的性質(zhì)圖像關(guān)于軸對(duì)稱,可得在(0,+∞)上的解集為(0,2),綜上可得,的解集為(-2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,借助于偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意畫出圖形，利用特殊角的三角函數(shù)，可得答案．【詳解】解：由題意可知，，，，．故答案為.【點(diǎn)睛】本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，著重考查了三角函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)單題．14、49【解析】

.15、【解析】分析：根據(jù)題意，令g（x）=，對(duì)其求導(dǎo)可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；結(jié)合f（1）=e可得g（1）=，則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），借助函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，令g（x）=，則其導(dǎo)數(shù)g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），則有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；且g（1）=；則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，則有x＜1；則不等式f（x）＞ex的解集為（-∞,1）；故答案為：．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=求其單調(diào)性,再利用單調(diào)性解不等式g（x）＞g（1）.16、【解析】

構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).【解析】試題分析：（1）①，用替換①式中的有：②，由①②消去即可得結(jié)果；（2）討論兩種情況，分別利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結(jié)論.試題解析：（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有：①，用替換①式中的有：②，①×②—②得：，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù)，∴在上為單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù).證明：設(shè)任意且，則，∵，，①當(dāng)時(shí)，則，∴∴在上是減函數(shù).②當(dāng)時(shí)，則，∴∴在上是增函數(shù).綜上：當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).18、【解析】

分別用體積表示其面積，再比較大小。【詳解】解：設(shè)球的半徑為R、正方體的棱長(zhǎng)為a,等邊圓柱的底面半徑為r,且它們的體積都為V,則:V=,．,．【點(diǎn)睛】分別用體積表示其面積，再比較大小。19、（1）（2）【解析】試題分析:（1）由可將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先將直線的參數(shù)方程代入圓C方程，再根據(jù)參數(shù)幾何意義得，最后根據(jù)韋達(dá)定理求的值．試題解析：（1）；（2）直線的參數(shù)方程代入圓C方程得．點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0.20、（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

Ⅰ求出的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而求得的極大值；Ⅱ當(dāng)，時(shí)，求出的導(dǎo)數(shù)，以及的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，去掉絕對(duì)值可得，構(gòu)造函數(shù)，求得的導(dǎo)數(shù)，通過分離參數(shù)，求出右邊的最小值，即可得到a的范圍；Ⅲ求出的導(dǎo)數(shù)，通過單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)在上的值域?yàn)?，由題意分析時(shí)，結(jié)合的導(dǎo)數(shù)得到在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，再由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可得到所求范圍．【詳解】Ⅰ，當(dāng)時(shí)，，在遞增；當(dāng)時(shí)，，在遞減．則有的極大值為；Ⅱ當(dāng)，時(shí)，，，在恒成立，在遞增；由，在恒成立，在遞增．設(shè)，原不等式等價(jià)為，即，，在遞減，又，在恒成立，故在遞增，，令，，∴，在遞增，即有，即；Ⅲ，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．又因?yàn)?，，，所以，函?shù)在上的值域?yàn)椋深}意，當(dāng)取的每一個(gè)值時(shí)，在區(qū)間上存在，與該值對(duì)應(yīng)．時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，由題意，在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，0'/>所以，當(dāng)時(shí)，，由題意，只需滿足以下三個(gè)條件：，，使．，所以成立由，所以滿足，所以當(dāng)b滿足即時(shí)，符合題意，故b的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查不等式恒成立和存在性問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值，屬于難題．21、（1）；（2）【解析】分析：（1）利用零點(diǎn)分類討論法解不等式.(2)先利用分段函數(shù)求得，再解不等式得到實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，故有或或∴或或，∴或，∴的解集為或.（2）當(dāng)時(shí)∴由得∴∴的取值范圍為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分段函數(shù)的最值的求法，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分類討論的思想方法.(2)解題的關(guān)鍵是求的最小值，這里要利用分段函數(shù)的圖像求解.22、（1）詳見解析（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)投影分析線段長(zhǎng)度關(guān)系，由此得到長(zhǎng)度關(guān)系，由此去證明四邊形為矩形；（2）通過取中點(diǎn)，作出輔助線，利用線面平行確定點(diǎn)位置，從而完成的計(jì)算；（3）建立合適空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解銳二