第三章 控制系統(tǒng)的時域分析

第三章控制系統(tǒng)的時域分析第1頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

本章主要內(nèi)容及難點(diǎn)

自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)

一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

自動控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

穩(wěn)態(tài)誤差

小結(jié)第2頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三本章主要內(nèi)容

本章介紹了控制系統(tǒng)時域性能分析法的相關(guān)概念和原理。包括各種典型輸入信號的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標(biāo)、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點(diǎn)

通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握典型輸入信號的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的定義及計算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系數(shù)的求取等內(nèi)容。第3頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三控制系統(tǒng)的分析方法，有時域法和頻域法兩類。時域法控制系統(tǒng)的變量都是時間的函數(shù)。1得到控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2求解描述系統(tǒng)的微分方程3得到系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)曲線和函數(shù)4確定控制系統(tǒng)的性質(zhì)和特征目的控制系統(tǒng)分析控制系統(tǒng)的設(shè)計或綜合頻域法分析控制系統(tǒng)的另一種基本方法。在頻域法中，根據(jù)系統(tǒng)對各種頻率下正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究其頻域特性，并且根據(jù)頻域性能指標(biāo)推斷系統(tǒng)時域特性。根軌跡法第4頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.1自動控制系統(tǒng)的時域指標(biāo)

一、對控制性能的要求

（1）系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；（2）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；（3）系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。

第5頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三二、自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號

1．階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義是：第6頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三幅值為1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖3-1所示。圖3-1單位階躍函數(shù)第7頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三它表示為：單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：第8頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三2．斜坡函數(shù)這種函數(shù)的定義是：該函數(shù)的拉氏變換是：第9頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三圖3-2斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)如圖3-2所示。第10頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3．拋物線函數(shù)

這種函數(shù)的定義是：

該函數(shù)的拉氏變換是第11頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三圖3-3拋物線函數(shù)第12頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三4．脈沖函數(shù)

這種函數(shù)的定義是：這種函數(shù)的拉氏變換是：第13頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

圖3-4單位脈沖函數(shù)tδ（t）0第14頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

一階系統(tǒng)的微分方程為:

式中，xc(t)為輸出量，xr(t)為輸入量，T為時間常數(shù)。

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖3-5所示。第15頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

圖3-5一階控制系統(tǒng)第16頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

因?yàn)閱挝浑A躍輸入的拉氏變換為：可得：取Xc(s)的拉氏反變換，可得單位階躍響應(yīng)：第17頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖3-6所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。圖3-7一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

第18頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三一階系統(tǒng)的時間常數(shù)是決定系統(tǒng)動態(tài)特性的參數(shù)。判斷實(shí)驗(yàn)曲線調(diào)節(jié)時間第19頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.2.2一階系統(tǒng)單位斜坡（速度）響應(yīng)第20頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.2.3、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)第21頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.2.4一階系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)第22頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3．2．5控制系統(tǒng)在任意輸入函數(shù)下的響應(yīng)任何控制系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)任意輸入函數(shù)是理想脈沖函數(shù)的疊加第23頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三線性定常系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特性。我們可以根據(jù)這一特性，較方便地求出較復(fù)雜輸人信號的響應(yīng)。積分求導(dǎo)第24頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三一階系統(tǒng)響應(yīng)小結(jié)閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號時域

輸出響應(yīng)ess01(t)0t

T無窮大等價關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。第25頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.3二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式：－自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對阻尼系數(shù)）第26頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三T稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)第27頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖如圖3-9所示。

圖3-9二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖第28頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的特征方程為：可解出特征方程式的特征根，這些根與阻尼比有關(guān)系統(tǒng)的特征根為：二階系統(tǒng)的參數(shù)ξ，ωn是變化的，ξ取值不同，特征方程的根(即閉環(huán)極點(diǎn))可能是復(fù)數(shù)，也可能是實(shí)數(shù)。系統(tǒng)的響應(yīng)形式也因此會有較大的區(qū)別。第29頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三1．無阻尼（=0）的情況

特征方程式的根為：二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為：

圖3-12時二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

第30頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三2．欠阻尼（）的情況

特征方程的根為：系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：令：第31頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三若如ξωn越大，振幅衰減得就越快。從閉環(huán)極點(diǎn)分布上，可以看出閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，振幅衰減得越快。ωd是正弦振蕩的頻率，表明，閉環(huán)極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)，振蕩頻率就越高。第33頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3．臨界阻尼（=1）的情況

系統(tǒng)的特征方程式的根為：

圖3-11=1時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第34頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

4．過阻尼（>1）的情況

第35頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三式中，稱阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率；

圖3-10以參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)第36頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應(yīng)曲線綜合分析第37頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三1）。響應(yīng)曲線只和阻尼比有關(guān)。由圖可見，越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著增大到一定程度后，響應(yīng)特性變成單調(diào)上升的。從過渡過程持續(xù)的時間看，當(dāng)系統(tǒng)無振蕩時，以臨界阻尼時過渡過程的時間最短，此時，系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時，若阻尼比在0.4～0.8之間，則系統(tǒng)的過度過程時間比臨界阻尼時更短，而且此時的振蕩特性也并不嚴(yán)重。二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)第38頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

一般希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下，在工程實(shí)際中，通常選取作為設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。2）．二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)在實(shí)際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來表示的。為了定量地評價二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進(jìn)一步分析和對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響，并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評價系統(tǒng)的性能指標(biāo)。除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下。第39頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

此時，系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下，能有較短的過渡過程時間，因此下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)，主要是針對二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的?？刂葡到y(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一般來說是與初始條件有關(guān)的，為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量，通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為

第40頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)圖示第41頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三延遲時間td（DelayTime）：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。上升時間tr（RisingTime）:響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。對于震蕩系統(tǒng)，也可定義為由零開始，首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。峰值時間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需要的時間。

概念第42頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三調(diào)節(jié)時間ts（SettlingTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作，超調(diào)量（MaximumOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即⑥

穩(wěn)態(tài)誤差ess：期望值與實(shí)際值之差。第43頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

或評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)，從整體上反映系統(tǒng)的快速性。評價系統(tǒng)的阻尼程度。穩(wěn)定性能指標(biāo)和抗干擾能力。越小，系統(tǒng)精度越高。ess第44頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)

1．上升時間tr：

在暫態(tài)過程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間tr。

其計算公式為：由上式可以看出和n對上升時間的影響。當(dāng)n一定時，阻尼比越大，則上升時間tr越長；當(dāng)一定時，n越大，則tr越短。公式第45頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三2．最大超調(diào)量

%最大超調(diào)量發(fā)生在第一個周期中t=tm

時刻。根據(jù)超調(diào)量的定義得最大超調(diào)量的計算公式為：從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系，阻尼比越小，超調(diào)量越大。第46頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3．調(diào)節(jié)時間ts

調(diào)節(jié)時間ts是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取5%~2%）而不再超出的暫態(tài)過程時間。調(diào)節(jié)時間為：第47頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三調(diào)節(jié)時間ts近似與成反比關(guān)系。在設(shè)計系統(tǒng)時，通常由要求的最大調(diào)節(jié)量所決定，所以調(diào)節(jié)時間ts由自然振蕩角頻率所決定。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變的值可以改變調(diào)節(jié)時間。4．振蕩次數(shù)

振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi)，波動的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為式中為阻尼振蕩的周期時間。第48頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三三、二階工程最佳參數(shù)

目前，在某些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階工程最佳參數(shù)作為設(shè)計控制系統(tǒng)的依據(jù)。這種系統(tǒng)選擇的參數(shù)使這時。將這一參數(shù)代入二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式，得開環(huán)傳遞函數(shù)為：得閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第49頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)暫態(tài)特性指標(biāo)為：

最大超調(diào)量

上升時間

調(diào)節(jié)時間

ts（2%）=8.43T（用近似公式求得為8T）

ts（5%）=4.14T（用近似公式求得為6T）第50頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三例3-1有一位置隨動系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-13所示，其中Kk=4。求該系統(tǒng)的（1）自然振蕩角頻率；（2）系統(tǒng)的阻尼比；（3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；（4）如果要求，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk

值。第51頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

圖3-13例3-1隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第52頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式由此得自然振蕩角頻率阻尼比由得超調(diào)量調(diào)節(jié)時間

第53頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

當(dāng)要求時,

所以必須降低開環(huán)放大系數(shù)值，才能滿足二階工程最佳參數(shù)的要求。但應(yīng)注意到，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。

第54頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三例3-2為了改善圖3-13所示系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負(fù)反饋，如圖3-14所示。求微分時間常數(shù)。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第55頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

圖3-14例3-2隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

第56頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三為了使，令

由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為第57頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三例

設(shè)控制系統(tǒng)

如圖所示。其中（a）為無速度反饋系統(tǒng)，（b）為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為0.5時的值，并比較系統(tǒng)（a）和(b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--圖3-16例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第58頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三將上式與標(biāo)準(zhǔn)式相比較得解得,計算上升時間R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--圖3-16例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（秒）解系統(tǒng)（a）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第59頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三峰值時間

超調(diào)量調(diào)節(jié)時間振蕩次數(shù)系統(tǒng)（b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（秒）（秒）（次）第60頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三將上式與式（3-6）相比較得將代入，解得由和可求得通過上述計算可知，采用速度反饋后，可以明顯地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。（秒）（秒）（秒）第61頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三例設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為試確定參數(shù)K和a的值。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得第62頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三由題意即解得而即解得a=3所以

（秒）第63頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。

例解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。

0t(s)11.30.1c(t)第64頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系統(tǒng)的阻尼比。適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分時間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿意的階躍響應(yīng)性能。四、零極點(diǎn)對二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響

具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第65頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應(yīng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時，不用比例-微分控制。第66頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.4

高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時域響應(yīng)，然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分布計算比較困難，同時，在工程設(shè)計的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。因此，工程上通常把高階系統(tǒng)適當(dāng)?shù)睾喕傻碗A系統(tǒng)進(jìn)行分析。下面簡單地介紹高階系統(tǒng)時域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑。第67頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中q個實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r對復(fù)數(shù)極點(diǎn)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為式中n=q+2r第68頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三或?qū)懗墒街小到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

——系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)第69頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三將上式展開成部分分式，得

式中、、和都是進(jìn)行部分分式展開時所確定的常數(shù)。對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為

由此可見，高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成。第70頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)、的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)、、的大小。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在S平面的左半部分，即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng)t趨于無窮大時，式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。由式（3-27）可以看出，在瞬態(tài)過程中，某衰減項(xiàng)的指數(shù)或的值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然。而和就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離，因此，如果分布在S平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對應(yīng)的分量衰減越快。顯然，對系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。第71頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在S平面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這對零極點(diǎn)對系統(tǒng)過度過程的影響也將很小。因此，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來決定。如果高階系統(tǒng)有一個極點(diǎn)（或一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個（或這對）極點(diǎn)來確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計，這個（或這對）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。第72頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來估計。在設(shè)計高階系統(tǒng)時，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)。第73頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三單位階躍響應(yīng)為

從分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式還可以得出如下結(jié)論。（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部在s平面左側(cè)離虛軸越遠(yuǎn)，則相應(yīng)的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部越小，即在s平面左側(cè)離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢。

第74頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)，并且與零點(diǎn)的位置有關(guān)。（3）如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部小于其它極點(diǎn)的實(shí)部的1/5，并且附近不存在零點(diǎn)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)主要由這一極點(diǎn)決定。這些對暫態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，叫作主導(dǎo)極點(diǎn)，是所有閉環(huán)極點(diǎn)中最重要的極點(diǎn)。在設(shè)計一個高階控制系統(tǒng)時，我們常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)。

第75頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控制信號的準(zhǔn)確度或抑制擾動信號的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形成有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點(diǎn)漂移、老化及各種傳動機(jī)械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。本章只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）對于隨動系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。本章介紹穩(wěn)態(tài)誤差的概念和計算方法，研究穩(wěn)態(tài)誤差的規(guī)律性以及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的途徑。第76頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實(shí)際值之差。對圖3-22所示的典型系統(tǒng)，其誤差定義有兩種形式：（1）式中，

為系統(tǒng)輸出量的希望值，C(t)為輸出量的實(shí)際值。（2）其中，系統(tǒng)輸出量的希望值是給定輸入r(t)，而輸出量的實(shí)際值為系統(tǒng)主反饋信號b(t)。通常H（s）是測量裝置的傳遞函數(shù)，故此時誤差就是給定輸入與測量裝置的輸出量之差。第77頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

第一種形式的誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中無法測量，因而，一般只有數(shù)學(xué)意義。而第二種形式的誤差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實(shí)用性。對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律完全一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值，即。此時，上述兩種定義統(tǒng)一為

e(t)=r(t)-c(t)

R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖3-22反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第78頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三對于單位反饋系統(tǒng)，誤差的兩種定義形式是一致的。對于非單位反饋系統(tǒng)，若設(shè)第（1）種形式的誤差為E’(s),第（2）種形式的誤差為E(s)，則不難證明E(s)與E’(s)之間存在如下關(guān)系

可見，兩種定義對非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關(guān)系，即誤差E’(s)可以直接或間接地由E(s)來確定。從本質(zhì)上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。在下面的討論中，我們將采用第二種誤差定義。E(t)通常也稱為系統(tǒng)的誤差響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下整個工作過程中的精度。誤差響應(yīng)中也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩個部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時間t趨于無窮大時，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。

穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示。第79頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在圖所示系統(tǒng)中，如果不計擾動輸入的影響，可以求得系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化為圖3-23。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)給定輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖-第80頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三由圖3-23可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。應(yīng)用拉氏變換的終值定理可以方便地求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

第81頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三（3-33）

式（3-33）是確定給定穩(wěn)態(tài)誤差的一個基本公式。它表明，在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號的形式有關(guān)，對于一個給定的系統(tǒng)，當(dāng)給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。為了分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)來規(guī)定控制系統(tǒng)的類型。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)的傳遞函數(shù)為

（3-34）第82頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三式中稱為系統(tǒng)的開環(huán)放大環(huán)節(jié)或開環(huán)增益。式（3-34）分母中的表示開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處有重極點(diǎn)，或者說有個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)。當(dāng)……時，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型……系統(tǒng)。分類是以開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目為依據(jù)的，而C(s)H(s)中其它零、極點(diǎn)對分類沒有影響。下面分析系統(tǒng)在不同典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

第83頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

令

稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（3-35）因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差。對于0型系統(tǒng)，

1、

單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,由式（3-33）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為第84頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)），

可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。對實(shí)際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標(biāo)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。

第85頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三2、

單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位斜坡輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令

稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（3-36）因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。第86頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三對于0型系統(tǒng)，對于1型系統(tǒng)，

第87頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），上面的計算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或?yàn)榱?，必需，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。第88頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位拋物線輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為對于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

第89頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三對于1型系統(tǒng)，對于2型系統(tǒng)，

第90頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)），

以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。第91頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。

III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入III表3-1輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第92頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

若給定的輸入信號不是單位信號時，則將系統(tǒng)對單位信號的穩(wěn)態(tài)誤差成比例的增大，就可以得到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為綜上所述，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)、、和描述了系統(tǒng)對減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法。提高開環(huán)放大系數(shù)K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達(dá)到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。

第93頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三此外，由以上討論可知，當(dāng)時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng)時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當(dāng)時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有個串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時，稱系統(tǒng)對給定輸入r(t)是階無差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)的無差度。三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動輸入的作用。系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。第94頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。下面根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，以圖3-25所示系統(tǒng)來討論由擾動輸入所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。按照前面給出的誤差信號的定義可得擾動輸入引起的誤差為而此時系統(tǒng)的輸出為所以R(s)-B(s)+N(s)圖3-25擾動輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)第95頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三式中稱為擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（3-38）第96頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.8

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

一、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根分布在s復(fù)平面虛軸的左側(cè)。本節(jié)敘述的代數(shù)判據(jù)（勞斯判椐和赫爾維茨判椐）就是不用直接求解代數(shù)方程，就可判斷一個代數(shù)多項(xiàng)式有幾個零點(diǎn)位于復(fù)平面的右半面的方法。第97頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三式中稱為擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為例3-10設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中給定輸入，擾動輸入（和均為常數(shù)），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

（3-38）第98頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三解當(dāng)系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為R(s)-+N(s)圖3-26例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)第99頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點(diǎn)不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達(dá)式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點(diǎn)之前的環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（即），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。

第100頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖3-26中給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即第101頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為比較以上兩次計算的結(jié)果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點(diǎn)之前的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應(yīng)集中在前向通道中擾動輸入作用點(diǎn)之前。對于非單位反饋系統(tǒng)，當(dāng)H（s）為常數(shù)時，以上分析的有關(guān)結(jié)論同樣適用。前面定義了相對于給定輸入的無差度，同樣也可以定義相對于擾動輸入的無差度。當(dāng)系統(tǒng)的中含有個串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)時稱系統(tǒng)相對于擾動輸入是第102頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三階無差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)相對于擾動輸入的無差度。對本例中的前一種情況，系統(tǒng)對擾動輸入的無差度為0，而后一種情況，系統(tǒng)對擾動的無差度是1。顯然，當(dāng)談及一個系統(tǒng)的無差度時應(yīng)指明系統(tǒng)對哪一種輸入作用而言，否則，可能會得出錯誤的結(jié)論。第103頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法

前面的討論表明，為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)接分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2，而開環(huán)放大系數(shù)也不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定，為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用加前饋控制的復(fù)合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋控制量，加到系統(tǒng)中去，通過適當(dāng)選擇補(bǔ)償裝置和作用點(diǎn)，就可以達(dá)到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。第104頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三在圖3-27所示系統(tǒng)中，為了消除由r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從給定輸入處引出前饋量經(jīng)補(bǔ)償裝置對系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)控制。此時系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換式為經(jīng)整理得顯然，如果選擇補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。R(s)E(s)C(s)-+圖3-27按給定輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制第105頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

在圖3-28所示系統(tǒng)中，為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從擾動輸入引出前饋量經(jīng)補(bǔ)償裝置加到系統(tǒng)中，若設(shè)r(t)=0，則系統(tǒng)的輸出C(s)就是系統(tǒng)的誤差信號。系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為經(jīng)整理得顯然，如果選擇補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)為

R(s)N(s)E(s)--+C(s)A圖3-28按擾動輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制第106頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。從結(jié)構(gòu)上看，當(dāng)滿足時，擾動信號經(jīng)兩條通道到達(dá)A點(diǎn)，兩個分支信號正好大小相等，符號相反，因而實(shí)現(xiàn)了對擾動的全補(bǔ)償。由于物理上可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構(gòu)造出分子的階次大于或等于其分母階次的補(bǔ)償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時間的推移也會發(fā)生變化，這就使得全補(bǔ)償條件不可能成立。所以，實(shí)際上只能實(shí)現(xiàn)近似補(bǔ)償。可以證明，前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會發(fā)生變化。第107頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素擾動時，會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。一、穩(wěn)定的概念和定義在自動控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。第108頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例圖3-17擺運(yùn)動示意圖Af圖3-18不穩(wěn)定系統(tǒng)圖3-19小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA圖3－19中，小球超出了C、D范圍后系統(tǒng)就不再是線性的，故可以認(rèn)為該系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。圖3－17為穩(wěn)定的系統(tǒng)。圖3－18為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第109頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三二.穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（簡稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號的變化均不超出其線性范圍。此時，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。課本上p80講：李雅浦諾夫的定義（講的是狀態(tài)方程的表述形式，同學(xué)們能否給出其微分方程結(jié)構(gòu)的表達(dá)式呢？）？第110頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用函數(shù)作為擾動來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時，輸入一個理想單位脈沖，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個擾動信號的作用，如果當(dāng)t趨于時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。根據(jù)這個思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第111頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三特征方程為如果特征方程的所有根互不相同，且有q個實(shí)數(shù)根和r對共軛復(fù)數(shù)根,則在單位脈沖函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為將上式用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得

式中第112頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果特征根中有一個或一個以上具有正實(shí)部，則該根對應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征根中具有一個或一個以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則C（t）趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根據(jù)都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。

該式表明第113頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三二、勞斯判據(jù)

首先將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，將系統(tǒng)特征方程式中的s各次項(xiàng)系數(shù)排列成如下的勞斯表（RouthArray）。第114頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三勞斯表共n+1行；最下面的兩行各有1列，其上兩行各有2列，再上面兩行各有3列，依次類推。最高一行應(yīng)有(n+1)/2列（若n為奇數(shù)）或(n+2)/2列（若n為偶數(shù)）。表中的有關(guān)系數(shù)為第115頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三這一計算過程，一直進(jìn)行到行，計算到每行其余的系數(shù)全部等于零為止。為簡化數(shù)值運(yùn)算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，這時并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。

Routh判據(jù)：特征方程的全部根都在s左半平面的充分必要條件是勞斯表的第1列系數(shù)全部是正數(shù)。

勞斯判據(jù)還可以指出方程的右半平面根的個數(shù)。它等于勞斯表中第1列各元改變符號的次數(shù)。第116頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三例3-4系統(tǒng)的特征方程為計算勞斯表中各元的值，并排列成下表由于表中的第1列出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，根并非都在左半平面。因此，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第117頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三在應(yīng)用勞斯判據(jù)時，可能遇到如下的特殊情況：

1．勞斯表中第1列出現(xiàn)零如果勞斯表第1列中出現(xiàn)0，那么可以用一個小的正數(shù)代替它，而繼續(xù)計算其余各元。例如，方程第118頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)在觀察勞斯表第1列的各元。當(dāng)趨近于零時，的值是一個很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第1列中的各元的符號改變了兩次。由此得出結(jié)論，該系統(tǒng)特征方程式有兩個根具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果上面一行的首列和下面一行的首列符號相同，這表明有一對純虛根存在。例如對下列方程式的勞斯表為第119頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三可以看出，第1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號不變，故有一對虛根。將特征方程式分解，有解得根為第120頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三2．勞斯表的某一行中，所有元都等于零

如果在勞斯表的某一行中，所有元都等于0，則表明方程有一些大小相等且對稱于原點(diǎn)的根。在這種情況下，可利用全0行的上一行各元構(gòu)造一個輔助多項(xiàng)式（稱為輔助方程），式中均為偶次。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表中的這個全0行，然后繼續(xù)計算下去。這些大小相等而關(guān)于原點(diǎn)對稱的根也可以通過求解這個輔助方程得出。例3-5系統(tǒng)特征方程式為第121頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三勞斯表中得各元為由上表可以看出，行的各項(xiàng)全部為零。為了求出各項(xiàng)，將行的各元構(gòu)成輔助方程式，它的導(dǎo)函數(shù)為第122頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)4和12代替行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得勞斯表為可以看出，在新得到的勞斯表的第1列沒有變號，因此可以確定在右半平面沒有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程式求出。本例的輔助方程式是第123頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三由之求得特征方程式的大小相等符號相反的虛根為

應(yīng)用Routh判據(jù)分別研究一階、二階和三階微分方程

第124頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三

容易得到以下的簡單結(jié)論：（1）一階和二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正。（2）三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正，且。第125頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三三、赫爾維茨判據(jù)

設(shè)所研究的代數(shù)方程仍為構(gòu)造赫爾維茨行列式D：

第126頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根都在左半復(fù)平面的充分必要條件是上述行列式的各階主子式均大于0，即第127頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三四、參數(shù)對穩(wěn)定性的影響應(yīng)用代數(shù)穩(wěn)定判椐可以用來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以方便地用于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

第128頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三例如系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)特征方程為根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判椐，穩(wěn)定的充要條件得第129頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三3.6穩(wěn)態(tài)誤差

在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間存在的誤差，稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點(diǎn)漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。

本節(jié)將討論計算和減少穩(wěn)態(tài)誤差的方法。第130頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三一、擾動穩(wěn)態(tài)誤差如圖所示為有給定作用和擾動作用的系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。第131頁，共150頁，2023年，2月20日，星期三擾動誤差的傳遞函數(shù)為根據(jù)拉氏變換的終值定理，求得擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為由上式知，系統(tǒng)擾動誤差決定于系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)和擾動量。對于恒值系統(tǒng)，典型的擾動量為單位階躍函數(shù)，，則