第七章 假設(shè)檢驗

第七章假設(shè)檢驗1第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三一、假設(shè)檢驗的提出參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的一個主要方面假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的另一個主要方面參數(shù)估計：討論如何根據(jù)樣本去得到總體分布所含參數(shù)的優(yōu)良估計假設(shè)檢驗：討論怎樣在樣本的基礎(chǔ)上考察上面所得到的估計值與真實值之間在統(tǒng)計意義上相擬合，從而做出一個有較大把握的結(jié)論例如：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管，其壽命X~N(,40000),從過去較長一段時間的生產(chǎn)情況看，燈管的平均壽命為=1500小時，現(xiàn)在使用了新工藝后，在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只，測得的平均壽命為1675小時，問：采用新工藝后，燈管的壽命是否有顯著提高？拒絕H0(接受H1)--新產(chǎn)品壽命有顯著提高接受H0--新產(chǎn)品的壽命沒有顯著提高H1:新產(chǎn)品的壽命>1500考慮：為判別新產(chǎn)品的壽命是否提高,提出以下兩個假設(shè)(hypothesis)H0:新產(chǎn)品的壽命=1500備擇假設(shè)(H1)

(alternative

hypothesis)原假設(shè)（或零假設(shè)H0）(nullhypothesis)注意：一般情況下,我們選取可能或希望成立的假設(shè)作為備擇假設(shè)(H1)，而將其否定形式作為原假設(shè)(H0)有時，原假設(shè)的選定還要考慮數(shù)學(xué)上的處理方便假設(shè)檢驗問題的處理方法

1、對總體分布中的某些參數(shù)或?qū)傮w分布的類型做某種假設(shè)2、根據(jù)樣本值做出接受還是拒絕所做假設(shè)的結(jié)論2第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三【例】一種零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)是直徑應(yīng)為10cm，為對生產(chǎn)過程進行控制，質(zhì)量監(jiān)測人員定期對一臺加工機床檢查，確定這臺機床生產(chǎn)的零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產(chǎn)過程不正常，必須進行調(diào)整。試陳述用來檢驗生產(chǎn)過程是否正常的原假設(shè)和備擇假設(shè)提出假設(shè)(例題分析)解：研究者想收集證據(jù)予以證明的假設(shè)應(yīng)該是“生產(chǎn)過程不正?！薄＝⒌脑僭O(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

10cmH1：

10cm第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三【例】某品牌洗滌劑在它的產(chǎn)品說明書中聲稱：平均凈含量不少于500克。從消費者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過抽檢其中的一批產(chǎn)品來驗證該產(chǎn)品制造商的說明是否屬實。試陳述用于檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)提出假設(shè)(例題分析)解：研究者抽檢的意圖是傾向于證實這種洗滌劑的平均凈含量并不符合說明書中的陳述。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

500H1：

<500500g第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三【例】一家研究機構(gòu)估計，某城市中家庭擁有汽車的比例超過30%。為驗證這一估計是否正確，該研究機構(gòu)隨機抽取了一個樣本進行檢驗。試陳述用于檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)解：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是“該城市中家庭擁有汽車的比例超過30%”。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

30%H1：

30%提出假設(shè)(例題分析)第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗1、假設(shè)(hypothesis)

：在數(shù)理統(tǒng)計中，把對總體分布的各種論斷稱為統(tǒng)計假設(shè)，簡稱為假設(shè)(1)、參數(shù)假設(shè)：關(guān)于總體分布中的參數(shù)的假設(shè)。(2)、非參數(shù)假設(shè)：不是關(guān)于總體分布中的參數(shù)的假設(shè)如：H0：F(x){對數(shù)正態(tài)分布族}

H1：F(x){正態(tài)分布族}二、假設(shè)檢驗的基本概念2、假設(shè)檢驗(hypothesistest)

：在數(shù)理統(tǒng)計中，稱判斷假設(shè)是否成立的方法稱為假設(shè)檢驗.依據(jù)假設(shè)的類型假設(shè)檢驗可分為：以下我們主要研究參數(shù)假設(shè)檢驗問題6第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三3、假設(shè)檢驗問題a、對總體分布中的某些參數(shù)或?qū)傮w分布的類型做某種假設(shè)b、根據(jù)樣本值做出接受還是拒絕所做假設(shè)的結(jié)論具體地說：(1)如果一個檢驗問題只提出一個假設(shè)，而我們的目的也是為了判斷這一假設(shè)是否成立，并不同時研究其他假設(shè)問題，這類假設(shè)檢驗問題成為顯著性檢驗問題(2)一個檢驗問題可能提出兩個甚至更多個假設(shè)。如果一個檢驗問題提出兩個假設(shè)(設(shè)為H0--H1)，且二者必居其一，則稱其中一個為基本假設(shè)（零假設(shè)或原假設(shè)），另一個為它的對立假設(shè)（備擇假設(shè)）本章所討論的假設(shè)檢驗問題就是利用樣本的信息在原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1之間做出拒絕哪一個接受哪一個的判斷，這類假設(shè)檢驗問題成為H0對H1的檢驗問題7第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

§7.1.2假設(shè)檢驗的基本思想一、檢驗法1、從樣本(X1,

X2,

…

,

Xn)出發(fā)，構(gòu)造出一個是用于檢驗H0的統(tǒng)計量，并且，當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量T的分布或漸近分布是已知的，2、制定一個對每一樣本觀測值都可明確的決定拒絕還是接受H0的法則，在樣本值(x1,x2,…,xn)確定之后，按照這個法則做出判斷拒絕H0

，還是拒絕H1，這個法則稱為H0對H1的檢驗法則二、

檢驗法則-------------在樣本值(x1,x2,…,xn)確定之后，統(tǒng)計量的值T也確定了，把統(tǒng)計量的所有可能的取值分為兩個集合E與ē,其中P(TE)=(很小），根據(jù)小概率事件原理：如果TE,則拒絕原假設(shè)H0(即接受備擇假設(shè)H1)如果T

ē,則接受原假設(shè)H0(即拒絕備擇假設(shè)H1)注意：1、檢驗法則邏輯上運用反證法，統(tǒng)計上依據(jù)小概率原理

2、如果是要檢驗參數(shù)，統(tǒng)計量T常選為要檢驗的參數(shù)的點估計若樣本值(x1,x2,…,xn)

W若樣本值(x1,x2,…,xn)

稱為顯著性水平(Levelofsignificance)(或檢驗水平)，

W稱為拒絕域，稱為接受域P((X1,

X2,

…

,

Xn)

W)=(很?。颖局?x1,x2,…,xn)分為兩個集合W與8第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)檢驗的基本思想...因此我們拒絕假設(shè)

=50...如果這是總體的真實均值,那么會以較大的概率保證樣本均值距50較近樣本均值m=50抽樣分布H0這個值不像我們應(yīng)該得到的樣本均值...小概率事件發(fā)生了20第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三0臨界值顯著性水平a樣本統(tǒng)計量拒絕H0H0成立時的抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量三、假設(shè)檢驗問題的一般步驟

1、根據(jù)問題的要求提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H12、選取檢驗統(tǒng)計量T(X1,

X2,

…

,

Xn)，在H0成立的情形下，確定其分布。對于給定的顯著性水平a,找到H0的拒絕域W和接受域3、如果根據(jù)樣本值(x1,x2,…,xn)求出的檢驗統(tǒng)計值T，出現(xiàn)了(x1,x2,…,xn)W(小概率事件發(fā)生了),則拒絕

H0

,否則接受H0顯著性水平a和拒絕域

(右側(cè)檢驗)第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三顯著性水平a和拒絕域

(左側(cè)檢驗)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0H0成立時的抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0H0成立時的抽樣分布1-置信水平第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

§7.1.3假設(shè)檢驗中的兩類錯誤一、第一類錯誤：拒真

P(拒絕H0|H0為真)=----犯第一類錯誤的概率即P((

x1,x2,…,xn)

W|H0為真)=假如我們給出了H0對H1的某個檢驗法則,也有了樣本(x1,x2,…,xn)

的拒絕域

W，和接受域，但由于樣本的隨機性，在進行判斷時，還是有可能犯兩類錯誤：二、第二類錯誤：受偽

P(接受H0|H0為假)=----犯第二類錯誤的概率即P((

x1,x2,…,xn)

|H0為假)=

13第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三14第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三15第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三16第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三17第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三H0檢驗決策總體情況H0為真H0為假接受H0正確決策(1–a)第Ⅱ類錯誤(b)拒絕H0第Ⅰ類錯誤(a)正確決策(1-b)我們希望進行假設(shè)檢驗時，所找到的W能使犯第兩類錯誤的概率都很小，但在樣本容量給定后，要使a、b都很小是不可能的，否則將會導(dǎo)致樣本容量無限增大,這又是不切實際的?；谶@種考慮,奈曼與皮爾遜(Neyman-Pearson)提出一個原則即在控制犯第一類錯誤a的條件下，盡量使犯第二類錯誤b?。ㄈ藗兂３０丫苷姹仁軅?/p>

看的更重些）18第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§7.2一個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗§7.2.1均值的假設(shè)檢驗設(shè)總體X~N(,2),考慮參數(shù),2的假設(shè)檢驗,檢驗水平為樣本(X1,X2,…,Xn)來自總體X?？紤]均值的三種形式的假設(shè)(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<0其中

0是某個給定的數(shù)單邊檢驗雙邊假設(shè)單邊假設(shè)雙邊檢驗19第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三一、

2已知（U檢驗法）

設(shè)總體X~N(,2),2=02已知，是待檢參數(shù),檢驗水平為樣本(X1,X2,…,Xn)來自總體X。由于樣本均值是總體的好的估計量，是待檢參數(shù),檢驗水平為，(X1,X2,…,Xn)來自總體X。當(dāng)H0為真時，的取值應(yīng)在0

的附近，而所以對X~N(

,

2/n)

即當(dāng)H0為真時，U的取值應(yīng)在0的附近，這時，若一次抽樣所得樣本值使得U的值太大或太小，就應(yīng)該拒絕H00臨界值臨界值a/2

a/2

拒絕H0拒絕H01-置信水平檢驗水平為時，對雙側(cè)檢驗，拒絕域20第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三檢驗水平為時，拒絕域考慮

2已知時均值的三種形式的假設(shè)(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<0其中

0是某個給定的數(shù)O-UOUO/2U/2/2-U/221第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三求得U=1.08例1：某廠一車間生產(chǎn)一零件，其直徑據(jù)經(jīng)驗服從N(,5.2)，為了檢驗這一車床生產(chǎn)是否正常，現(xiàn)抽取容量為n=100的樣本，樣本均值x=26.56，要求在顯著性水平=0.05下檢驗雙邊假設(shè)H0：

=

26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U/2=U0.025=1.96可見|U|=1.08<1.96=U/2=U0.025O/2U/2/2-U/2所以不能拒絕原假設(shè)H0：

=

26因而認為生產(chǎn)是正常的22第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三求得U=1.08例2：某廠一車間生產(chǎn)一零件，其直徑據(jù)經(jīng)驗服從N(,5.2)，為了檢驗這一車床生產(chǎn)是否正常，現(xiàn)抽取容量為n=100的樣本，樣本均值x=26.56，要求在顯著性水平=0.05下檢驗右邊假設(shè)H0：

=

26H1：

>

26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U=U0.05=1.64可見U=1.08<1.64=U=U0.05OU所以不能拒絕原假設(shè)H0：

=

26因而認為生產(chǎn)是正常的23第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三求得U=1.08例3：某廠一車間生產(chǎn)一零件，其直徑據(jù)經(jīng)驗服從N(,5.2)，為了檢驗這一車床生產(chǎn)是否正常，現(xiàn)抽取容量為n=100的樣本，樣本均值x=26.56，要求在顯著性水平=0.05下檢驗左邊假設(shè)H0：

=

26H1：

<26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U=U0.05=1.64可見-U=-U0.05=-1.64<

1.08=U所以不能拒絕原假設(shè)H0：

=

26因而認為生產(chǎn)是正常的O-U24第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三二、

2未知（T檢驗法）

設(shè)總體X~N(,2),2=02未知，是待檢參數(shù),檢驗水平為樣本(X1,X2,…,Xn)來自總體X。由于樣本均值是總體的好的估計量，是待檢參數(shù),檢驗水平為，(X1,X2,…,Xn)來自總體X。當(dāng)H0為真時，的取值應(yīng)在0

的附近，而

2未知所以自然想到以S代替X~N(

,

2/n)即當(dāng)H0為真時，T的取值應(yīng)在0的附近，這時，若一次抽樣所得樣本值使得T的值太大或太小，就應(yīng)該拒絕H00臨界值臨界值a/2

a/2

拒絕H0拒絕H01-置信水平檢驗水平為時,對雙側(cè)檢驗,拒絕域25第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三檢驗水平為時，拒絕域考慮

2未知時均值的三種形式的假設(shè)(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<0其中

0是某個給定的數(shù)O-tOtO/2t/2/2-t/226第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例1：檢驗?zāi)撤N型號玻璃紙的橫向延伸率(%),測得100個數(shù)據(jù)如表所示假設(shè)總體服從正態(tài)分布，現(xiàn)在要檢驗假設(shè)在顯著性水平=0.05下檢驗雙邊假設(shè)H0：

=65延伸率32.537.539.541.543.545.547.549.5頻數(shù)781199121714延伸率51.553.555.557.559.561.563.5頻數(shù)5320201而由=0.05，查t-分布表得t/2(99)=t0.025(99)

=1.98求得T=34.27可見|T|=34.27>1.98=t/2=t0.025所以拒絕原假設(shè)H0：

=

65因而認為這種型號的玻璃紙沒有達到橫向延伸率的指標(biāo)解：方差

2未知，利用公式由樣本算出O/2t/2/2-t/227第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§7.2.2方差

2

的假設(shè)檢驗考慮方差

2的三種形式的假設(shè)(1)H0：

2

=

02

H1：

2

0

2(2)H0：

2

=

0

2

H1：

2

02(3)H0：

2

=

0

2

H1：

2

<

0

2其中

02是某個給定的數(shù)28第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三一、已知（2檢驗法）

設(shè)總體X~N(,2),

=

0已知，2是待檢參數(shù),檢驗水平為樣本(X1,X2,…,Xn)來自總體X。由于樣本方差是總體

2的好的估計量，當(dāng)H0:

2

=

02為真時，S2的取值應(yīng)在0

2

的附近，但

=

0已知，所以對S2中的樣本均值，用總體均值替代更加準(zhǔn)確，既有即當(dāng)H0為真時，2的取值應(yīng)在n的附近，這時，若一次抽樣所得樣本值使得2

的值太大或太小，對雙側(cè)檢驗，就應(yīng)該拒絕H0檢驗水平為時，對雙側(cè)檢驗，拒絕域W29第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三檢驗水平為時，拒絕域W考慮方差

2的三種形式的假設(shè)(1)H0:

2

=

02

H1：

2

0

2(2)H0:

2

=

0

2

H1：

2

02(3)H0:

2=

0

2

H1：

2

<

0

230第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三二、未知（2檢驗法）

設(shè)總體X~N(,2),

=

0未知，2是待檢參數(shù),檢驗水平為樣本(X1,X2,…,Xn)來自總體X。由于樣本方差S2是總體

2的好的估計量，當(dāng)H0:

2

=

02為真時，S2的取值應(yīng)在0

2

的附近，所以對即當(dāng)H0為真時，2的取值應(yīng)在n-1的附近，這時，若一次抽樣所得樣本值使得2

的值太大或太小，對雙側(cè)檢驗，就應(yīng)該拒絕H0檢驗水平為時，對雙側(cè)檢驗，拒絕域W31第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三檢驗水平為時，拒絕域W考慮方差

2的三種形式的假設(shè)(1)H0:

2

=

02

H1：

2

0

2(2)H0:

2

=

0

2

H1：

2

02(3)H0:

2=

0

2

H1：

2

<

0

232第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三求得2=44.5解：利用公式而由=0.05，查2分布表得2(n-1)=2

0.05(30)=43.8可見2=44.5>43.8=

2

0.05(30)所以拒絕原假設(shè)H0：

2

=

0.18說明自動機床工作一段時間后精度變差例1：一自動機床加工零件的長度服從N(,

2)，原來加工精度為02=0.18，經(jīng)過一段時間后，要檢驗一下這一車床生產(chǎn)是否保持原來加工精度，即檢驗H0:

2

=

0.18,H1:

2>0.18,為此抽取這車床所加工n=31個零件，測得數(shù)據(jù)如下表所示，要求在顯著性水平=0.05下檢驗右邊假設(shè)。1371063110.110.310.611.211.511.812.0頻數(shù)ni零件長度xi33第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§7.3兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗§7.3.1兩個正態(tài)總體均值的差異性檢驗設(shè)樣本(X1,X2,…,Xn1)

來自正態(tài)總體X~N(1,12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)來自正態(tài)總體Y~N(2,22)，并假定X與Y相互獨立,檢驗水平為考慮三種形式的假設(shè)(1)H0:

1=

2

H1:

1

2(2)H0:

1=

2H1:

1

2(3)H0:

1=

2H1:

1

<2若令=

1-2，則變?yōu)?1*)H0*:

=

0

H1*:

0(2*)H0*:

=

0

H1*:

0(3*)H0*:

=

0

H1*:

<034第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三1、

12,22都已知樣本(X1,X2,…,Xn1)

來自總體X~N(1,12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)來自總體Y~N(2,22)，并假定X與Y相互獨立由于令=

1-2，當(dāng)H0*:

=

0

成立時，有即即當(dāng)H0*:

=

0

為真時,U的取值在0附近，從而檢驗水平為時拒絕域W分別由下式得到35第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2、

12,,=22=2,但2未知

由定理（5.10）即當(dāng)H0*:

=

0

成立時,T的取值在0附近，從而檢驗水平為時拒絕域W分別見下式O-tOtO/2t/2/2-t/236第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三解：依題意提出假設(shè)H0:

1=

2

H1:

1

2例1：卷煙一廠向化驗室送去A,B兩種煙草，化驗?zāi)峁哦〉暮渴欠裣嗤瑥腁,B中各隨機抽取重量相同的5例進行化驗，測得尼古丁的含量(單位:毫克)，并由此得到:拒經(jīng)驗知,A的尼古丁含量服從N(1,5),B的尼古丁含量服從N(2,8).問兩種煙草的尼古丁平均含量

1、2是否有差異（

=0.05）由于

12,22都已知，故利用公式求出U=－1.612而

=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U/2=U0.025=1.96可見|U|=1.612<1.96=U0.025=U/2,所以接受原假設(shè)H0:

1=

2因而認為兩種煙草的尼古丁平均含量無差異。37第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三解：依題意提出假設(shè)H0:

1=

2

H1:

1

2例2：為比較A,B兩種型號燈泡的壽命差異，隨機抽取A型燈泡5只，測得，方差S12=965.2，隨機抽取B型燈泡5只，測得，方差S22=1076.2，設(shè)總體都是正態(tài)的，并且知它們的方差相等.問平均壽命

1、2是否有差異（

=0.05）利用公式求出T=－0.267而

=0.05，查t-分布表得t/2(8)=t0.025(8)=2.306可見|T|=0.267<2.306=t0.025=t/2,所以接受原假設(shè)H0:

1=

2因而認為A,B兩種型號燈泡的平均壽命無差異。O/2t/2/2-t/238第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§7.3.2兩個正態(tài)總體方差的差異性檢驗(F-檢驗法)設(shè)樣本(X1,X2,…,Xn1)

來自總體X~N(1,12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)來自總體Y~N(2,22)，并假定X與Y相互獨立,檢驗水平為考慮兩種形式的假設(shè)(1)H0:

12

=22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

39第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三1、1，2未知考慮兩種形式的假設(shè)(1)H0:

12

=22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

對假設(shè)(1)當(dāng)H0:

12

=22為真時F的值不能太大或太小從而檢驗水平為時拒絕域W總體方差的差異性可用樣本方差的比較體現(xiàn)40第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三考慮兩種形式的假設(shè)(1)H0:

12

=22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

對假設(shè)(2)當(dāng)H0:

12

22為真時F的值不能太大，從而檢驗水平為時拒絕域W41第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2、1，2已知考慮兩種形式的假設(shè)(1)H0:

12

=22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

對假設(shè)(1)當(dāng)H0:

12

=22為真時F的值不能太大或太小從而檢驗水平為時拒絕域W42第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三考慮兩種形式的假設(shè)(1)H0:

12

=22

H1:

12

22

(2)H0:

12

22

H1:

12

22

對假設(shè)(2)當(dāng)H0:

12

22為真時F的值不能太大，從而檢驗水平為時拒絕域W43第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例1：從兩處煤礦各抽樣數(shù)次,分析其含灰率(%)，假定各煤礦含灰率,都服從正態(tài)分布,依次取容量為5,4的兩獨立樣本，測得樣本方差S12=7.505，S22=2.593,問兩處煤礦的含灰率的方差是否有顯著差異（

=0.05）解：依題意提出假設(shè)H0:

12

=22

H1:

12

22

利用公式求出F2.894而

=0.05,查F分布表得F/2(4,3)=F0.025(4,3)=15.10可見0.10<2.894<15.10,所以接受原假設(shè)H0:

12

=22因而認為兩處煤礦的含灰率的方差無顯著差異F1-/2(4,3)=F0.975(4,3)=1/F0.025(3,4)=1/9.980.1044第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例2：有甲乙兩臺車床生產(chǎn)同一型號的滾珠，且這兩臺車床生產(chǎn)的滾珠的直徑服從正態(tài)分布,現(xiàn)從這兩臺車床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別8個和9個滾珠，測得直徑(單位：mm),并求得樣本方差S12=0.096,S22=0.026,問甲車床生產(chǎn)的滾珠的直徑的方差是否不超過乙車床（

=0.05）解：依題意提出假設(shè)H0:

12

22

H1:

12

22

利用公式求出F3.96而

=0.05,查F分布表得F(7,8)=F0.05(7,8)=3.50可見F3.96

>3.50=F0.05(7,8),所以拒絕原假設(shè)H0:

12

22，接受H1:

12

22，因而認為甲車床生產(chǎn)的滾珠的直徑的方差大于乙車床45第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三在上一講中，我們已經(jīng)了解了假設(shè)檢驗的基本思想，并討論了當(dāng)總體分布為正態(tài)時，關(guān)于其中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗問題.然而可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè).第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量，椐統(tǒng)計，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234

22314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三在概率論中，大家對泊松分布產(chǎn)生的一般條件已有所了解，容易想到，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)，可以用一個泊松隨機變量來近似描述.也就是說，我們可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布X近似泊松分布.上面的數(shù)據(jù)能否證實X具有泊松分布的假設(shè)是正確的？現(xiàn)在的問題是：第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三又如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進行精確性檢查，抽取100個鐘作試驗，撥準(zhǔn)后隔24小時以后進行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來.問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的.為檢驗骰子是否均勻,要把骰子實地投擲若干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與1/6的差距.也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1點，2點，…，6點的概率都應(yīng)是1/6.得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？問題是：第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三K.皮爾遜這是一項很重要的工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計學(xué)的開端.解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進的所謂

檢驗法.第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

檢驗法是在總體X的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗方法.第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)

然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè).使用

對總體分布進行檢驗時，我們先提出原假設(shè):檢驗法這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗，它是一種非參數(shù)檢驗.第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三在用

檢驗假設(shè)H0時，若在H0下分布類型已知，但其參數(shù)未知，這時需要先用極大似然估計法估計參數(shù)，然后作檢驗.檢驗法分布擬合的

的基本原理和步驟如下:檢驗法第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三3.根據(jù)所假設(shè)的理論分布,可以算出總體X的值落入每個Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù).1.將總體X的取值范圍分成k個互不重迭的小區(qū)間,記作A1,A2,…,Ak.2.把落入第i個小區(qū)間Ai的樣本值的個數(shù)記作fi，稱為實測頻數(shù).所有實測頻數(shù)之和f1+f2+…+fk等于樣本容量n.第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三標(biāo)志著經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異的大小.皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異:統(tǒng)計量的分布是什么?在理論分布已知的條件下,npi是常量實測頻數(shù)理論頻數(shù)第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三皮爾遜證明了如下定理:若原假設(shè)中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定，那么當(dāng)時，統(tǒng)計量的分布漸近(k-1)個自由度的分布.如果理論分布F(x)中有r個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計量來代替，那么當(dāng)時，統(tǒng)計量的分布漸近(k-r-1)個自由度的分布.第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三為了便于理解，我們對定理作一點直觀的說明.第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三是k個近似正態(tài)的變量的平方和.這些變量之間存在著一個制約關(guān)系：故統(tǒng)計量漸近(k-1)個自由度的分布.在理論分布F(x)完全給定的情況下，每個pi

都是確定的常數(shù).由棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理，當(dāng)n充分大時，實測頻數(shù)fi

漸近正態(tài)，因此第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三在F(x)尚未完全給定的情況下，每個未知參數(shù)用相應(yīng)的估計量代替，就相當(dāng)于增加一個制約條件，因此，自由度也隨之減少一個.若有r個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計量來代替，