第七章振動(dòng)與波動(dòng)

第七章振動(dòng)與波動(dòng)第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三2廣義：物理量在某一定值附近反復(fù)變化即為振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)：物體在某一位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)=若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成研究目的——利用、減弱或消除振動(dòng)頻率周期振動(dòng)：物理量每隔一固定的時(shí)間間隔其數(shù)值重復(fù)一次第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三3一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征X0

x令§7.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)量可忽略的彈簧，一端固定，一端系一有質(zhì)量的物體，稱此系統(tǒng)為彈簧振子。建立如圖的坐標(biāo)系物體質(zhì)量m,坐標(biāo)x所受回復(fù)力為F.此方程的通解為：第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三4物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律可以用正弦、余弦函數(shù)描述，稱之為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。上式稱之為簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式（簡(jiǎn)諧函數(shù)或振動(dòng)方程）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)條件第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三5一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，它的加速度a與它離開平衡位置的距離x恒成正比,而方向相反，那么此物體一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。物體離開平衡位置后，總是受到一個(gè)方向恒指向平衡位置，大小與物體離開平衡位置的距離x成正比的力的作用，則此物體一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。----線性恢復(fù)力運(yùn)動(dòng)學(xué)特征動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)特點(diǎn)：(1)等幅振動(dòng)；(2)周期振動(dòng)。第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三6A

振幅

T周期二描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量

初相位相位頻率1、2、圓頻率又稱固有圓頻率3、確定物體振動(dòng)狀態(tài)的物理量第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三7簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各階導(dǎo)數(shù)也都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度和加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征方程第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三8常數(shù)和的確定初始條件

對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三9周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)頻率為例如，心臟的跳動(dòng)80次/分周期為大象0.4~0.5馬0.7~0.8豬1~1.3兔1.7松鼠6.3鯨0.13動(dòng)物的心跳頻率(參考值,單位:Hz)

第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三10

昆蟲翅膀振動(dòng)的頻率（Hz）

雌性蚊子355~415雄性蚊子455~600蒼蠅330

黃蜂220第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三11建立如圖坐標(biāo)系，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體坐標(biāo)為x,所受的彈性回復(fù)力為f和重力mg例：xxmg物體的質(zhì)量為m,彈簧的勁度系數(shù)為k。其靜止變形手拉物體后無初速地釋放，確定物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在平衡位置處物體受的合力：第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三12例、單擺1、細(xì)線質(zhì)量不計(jì)3、阻力不計(jì)約定擺角在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)固有園頻率mgT0質(zhì)點(diǎn)m受力如圖重力矩：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量距定理設(shè)初始條件振幅和初相=？第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三13R

mkmgTTfx

O

xa例如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，物體的質(zhì)量為m，滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。開始時(shí)托住物體m，使得系統(tǒng)保持靜止，繩子剛好拉直而彈簧無形變，t=0時(shí)放開m。設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。(1)證明放開后m作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(2)求振動(dòng)周期；(3)寫出m的振動(dòng)表達(dá)式。第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三14解：第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三15第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三16例題：設(shè)想地球內(nèi)有一光滑隧道，如圖所示。證明質(zhì)點(diǎn)m在此隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。oyrR證明：質(zhì)點(diǎn)m受力分析建立oy坐標(biāo)系第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三17滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，故為簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期：第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三18簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程和特征（2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程（1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置（3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（4）加速度與位移成正比而方向相反第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三19三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖解法和復(fù)數(shù)解法t

A-AAttA21.振動(dòng)曲線第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三202.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法采用旋轉(zhuǎn)矢量法，可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。旋轉(zhuǎn)矢量:一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量在紙平面內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三21振動(dòng)相位逆時(shí)針方向ω

M

點(diǎn)在

x

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：的長(zhǎng)度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角XOMPx振幅A振動(dòng)圓頻率第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三22t0繞O點(diǎn)以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量，在x

軸上的投影正好描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振幅矢量t+

相位旋轉(zhuǎn)矢量

第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三23速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三24用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三25討論

相位差：表示兩個(gè)相位之差（1）對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間．第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三26第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三27（2）對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異（解決振動(dòng)合成問題）.第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三28同步為其它超前落后反相第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三29已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)

xA(0)A試畫出振動(dòng)曲線0tx例第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三303.復(fù)數(shù)解法其解為：復(fù)數(shù)指數(shù)表示與三角表示所以位移可以表示為：第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三31速度與加速度：實(shí)部：第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三32例1：第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三33例2：已知代入方程：第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三34（1）動(dòng)能(以彈簧振子為例)O

x

X四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三35（2）勢(shì)能線性回復(fù)力是保守力，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.OxX（3）機(jī)械能第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三36簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三37簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三38能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三39時(shí)動(dòng)力學(xué)分析：OAm例3單擺轉(zhuǎn)動(dòng)正向第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三40令OAm轉(zhuǎn)動(dòng)正向第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三41單擺系統(tǒng)機(jī)械能守恒：牛頓力學(xué)和機(jī)械能守恒都能導(dǎo)出方程，更深一層？更基本？第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三42復(fù)擺令*（C點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向第42頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三43角諧振動(dòng)*（C點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向第43頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三44復(fù)擺彈簧振子單擺第44頁，共47頁，2023年，2月20日，星期三45例質(zhì)量為的物體，以振幅作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振