積分求導順序可換

積分求導順序可換第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性。下面只對無窮限積分討論，無界函數(shù)的情況可類似處理。第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二設是定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱為含參量反常積分.第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二對于含參量反常積分和函數(shù)則稱含參量反常積分在上一致收斂于.第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

一致收斂的柯西準則:含參量反常積分在上一致收斂的充要第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

一致收斂的充要條件;含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數(shù)列(其中),函數(shù)項級數(shù)在一致收斂.第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

魏爾斯特拉斯M判別法:設有函數(shù),使得第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關(guān)于第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二從而所以關(guān)于一致收斂。第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關(guān)于第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二從而所以關(guān)于一致收斂。第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二例1在內(nèi)一致收斂解因為而積分收斂，所以在內(nèi)一致收斂第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

狄利克雷判別法;第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

阿貝耳判別法:第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二二、一致收斂積分的性質(zhì)1.連續(xù)性定理因為在內(nèi)一致收斂，所以證明因此，當時，設在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則一元函數(shù)在上連續(xù)。第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二又在上連續(xù)，所以作為的函數(shù)在連續(xù)，于是從而，當時，有定理證畢。第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二2.積分順序交換定理設在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則在可積，并且第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二3.積分號下求導的定理設在上連續(xù)，收斂，關(guān)于在上一致收斂，則在可導，且第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二證明因為在連續(xù)，由連續(xù)性定理在連續(xù)，

沿區(qū)間積分，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對求導，得定理證畢。第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

連續(xù)性即:第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

可微性可微性定理表明在定理條件下,求導運算和積分運算可以交換.即第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二

可積性第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二含參量反常積分在上一致收斂.證明反常積分在上一致收斂.第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二證明含參量反常積分在上一致收斂.在上一致收斂.第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二證明含參量反常積分在上一致收斂.含參量反常積分在上一致收斂.第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二例4證明證（1）用分段處理的方法.

第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二因為

第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二例4計算積分

解

第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二例5利用積分號下求導求積分

解因為

因為

故

第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二由數(shù)學歸納法易證于是

第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二例6計算積分

解

令

第32頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二在第二項積分中令

得故

第33頁，共35頁，2023年，2月20日，星期二(2),含參量反常積分一致收斂的定義;(1),含參量反常積分的定義;(3),含參量反常積分一致收斂的判別;