方程的根式解

方程的根式解一元一次和二次方程的解法關(guān)于三次方程的解法關(guān)于四次方程的解高于四次方程的解一元一次和二次方程的解法1.九世紀(jì)阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法2.韋達(dá)以文字代替方程系數(shù)，引入了代數(shù)的符號(hào)演算對(duì)代數(shù)方程解的性質(zhì)進(jìn)行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現(xiàn)；從代數(shù)方程導(dǎo)致復(fù)數(shù)、對(duì)稱函數(shù)等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創(chuàng)立。3中國古代數(shù)學(xué)致力于方程的具體求解一般致力于探究方程解的性質(zhì)韋達(dá)伽羅華關(guān)于三次方程的解關(guān)于三次方程，我國在公元七世紀(jì)，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學(xué)家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有敘述。直到十六世紀(jì)初的文藝復(fù)興時(shí)期，才由意大利的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當(dāng)公式?？栠_(dá)諾在《算術(shù)實(shí)踐與個(gè)體測量》書中列專題論述了多種方程的解法，甚至求得一些特殊三次方程的解．例如：對(duì)方程(用現(xiàn)代符號(hào)表示)6x3-4x2=34x+24，兩邊同時(shí)加上6x3+20x2，合并后得：4x2(3x＋4)=(2x2＋4x＋6)(3x＋4)，

兩邊同除以3x+4，則由二次方程解得原方程的一個(gè)正根x=3．(按當(dāng)時(shí)的習(xí)慣，一般不承認(rèn)方程有負(fù)根，解出一個(gè)正根就認(rèn)為是解完了方程．)拉格朗日在1770年發(fā)表長篇論文《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，發(fā)現(xiàn)三次方程有一個(gè)輔助方程，其解為原三次方程的函數(shù)并且根的置換下僅取兩個(gè)值拉格朗日卡爾達(dá)諾卡爾達(dá)諾，G．(Cardano，Girolamo)1501年9月24日生于意大利帕維亞(Pavia)；1576年9月21日卒于羅馬．?dāng)?shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、物理學(xué)、哲學(xué)、星占學(xué)．1545年，他出版的著作《ArsMagra》(大術(shù))，在代數(shù)學(xué)上具有相當(dāng)重要之地位。書中首次出現(xiàn)使用符號(hào)的雛形，例如："3.quad.quad.p.29.quad.p.57.aqualia36.pos.p.74."這相當(dāng)于"3X4+29X2+57=36X+74"；他對(duì)三次及四次方程式提出了系統(tǒng)性的解法，這是一個(gè)非常重要的成就?？栠_(dá)諾四次方程的解三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費(fèi)拉里(1522～1560)解出(1522～1560)解出。費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一樣，可以用一個(gè)坐標(biāo)平移來消去四次方程一般形式中的三次項(xiàng)。所以只要考慮下面形式的一元四次方程：

x4=px2+qx+r關(guān)鍵在于要利用參數(shù)把等式的兩邊配成完全平方形式。考慮一個(gè)參數(shù)a，我們有(x2+a)2=(p+2a)x2+qx+r+a2等式右邊是完全平方式當(dāng)且僅當(dāng)它的判別式為0，即

q2=4(p+2a)(r+a2)這是一個(gè)關(guān)于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我們可以解出參數(shù)a。這樣原方程兩邊都是完全平方式，開方后就是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。高于四次方程的解

在中國賈憲實(shí)現(xiàn)了從開平方、開立方到四次以上的開方的認(rèn)識(shí)，而把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益?！稐钶x算法》中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個(gè)二次方程和1個(gè)四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早的例子。到了十三世紀(jì)秦九韶在他所著的《數(shù)書九章》的“正負(fù)開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時(shí)候已得到了高次方程的一般解法。1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的結(jié)構(gòu)之后，提出了方程的預(yù)解式概念，并且還進(jìn)一步看出預(yù)解式和方程的各個(gè)根在排列置換下的形式不變性有關(guān)，這時(shí)他認(rèn)識(shí)到求