2023年機械振動與機械波個題型分類

機械振動和機械波考點例析

一、夯實基礎(chǔ)知識

1、深刻理解簡諧運動、振幅、周期和頻率的概念

(1)簡諧運動：物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)

力的作用下的振動。

特性是：F=-kx,a=-kx/m

(2)簡諧運動的規(guī)律：

①在平衡位置：

速度最大、動能最大、動量最大；

位移最小、回復(fù)力最小、加速度最小。

②在離開平衡位置最遠時：

速度最小、動能最小、動量最??；

位移最大、回復(fù)力最大、加速度最大。

③振動中的位移x都是以平衡位置為起點的，方向從平衡位置指向末位置，大小為這兩位

置間的直線距離。

加速度與回復(fù)力、位移的變化一致,在兩個“端點”最大，在平衡位置為零，方向總是

指向平衡位置。

(3)振幅A：

振動物體離開平衡位置的最大距離稱為振幅。

它是描述振動強弱的物理量。

它是標(biāo)量。

(4)周期T和頻率f：

振動物體完畢一次全振動所需的時間稱為周期T,它是標(biāo)量，單位是秒;

單位時間內(nèi)完畢的全振動的次數(shù)稱為振動頻率，單位是赫茲(Hz)o

周期和頻率都是描述振動快慢的物理量，它們的關(guān)系是：T=l/f.

2、深刻理解單擺的概念

(1)單擺的概念：

在細(xì)線的一端拴一個小球，另一端固定在懸點上，線的伸縮和質(zhì)量可忽略，線長遠大于

球的直徑，這樣的裝置叫單擺。

(2)單擺的特點：

①單擺是實際擺的抱負(fù)化，是一個抱負(fù)模型；

②單擺的等時性，在振幅很小的情況下，單擺的振動周期與振幅、擺球的質(zhì)量等無關(guān)；

③單擺的回復(fù)力由重力沿圓弧方向的分力提供，當(dāng)最大擺角a〈10"時，單擺的振動是簡諧

442乙

(3)單擺的應(yīng)用：①計時器；②測定重力加速度g=——.

T2

3、深刻理解受迫振動和共振

(1)受迫振動：物體在周期性驅(qū)動力作用下的振動，其振動頻率和固有頻率無關(guān)，等于驅(qū)

動力的頻率；受迫振動是等幅振動，振動物體因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振動能量剛好

由周期性的驅(qū)動力做功給予補充，維持其做等幅振動。

(2)共振：①共振現(xiàn)象：在受迫振動中，驅(qū)動力的頻率和物體的固有頻率相等時，振幅最

大，這種現(xiàn)象稱為共振。②產(chǎn)生共振的條件：驅(qū)動力頻率等于物體固有頻率。③共振的應(yīng)用：

轉(zhuǎn)速計、共振篩。

4、純熟掌握波速、波長、周期和頻率之間的關(guān)系

(1)波長：在波動中，對平衡位置的位移總是相等的兩個相鄰質(zhì)點間的距離。

波長通常用；I表達。

(2)周期：波在介質(zhì)中傳播一個波長所用的時間。

波的周期與傳播的介質(zhì)無關(guān)，取決于波源，波從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)，周期不會改變。

周期用T表達。

(3)頻率：單位時間內(nèi)所傳播的完整波(即波長)的個數(shù)。

周期的倒數(shù)為波的頻率。波的頻率就是質(zhì)點的振動頻率。頻率用了表達。

(4)波速：波在單位時間傳播的距離。

機械波的波速取決于介質(zhì)，一般與頻率無關(guān)。波速用V表達。

(5)波速和波長、頻率、周期的關(guān)系:

2

①通過一個周期7,振動在介質(zhì)中傳播的距離等于一個波長/I,所以波速為V=

T

②由于周期7和頻率/互為倒數(shù)(即/=1/T),所以上式可寫成丫="

此式表達波速等于波長和頻率的乘積。

5、深刻理解簡諧運動的圖像和波動圖像的意義

(1)簡諧運動的圖象：

①定義：振動物體離開平衡位置的位移X隨時間t變化的函數(shù)圖象。不是運動軌跡，它只是

反映質(zhì)點的位移隨時間的變化規(guī)律。

②作法：以橫軸表達時間，縱軸表達位移，根據(jù)實際數(shù)據(jù)取單位，定標(biāo)度，描點，用平滑

線連接各點便得圖線。

③圖象特點：用演示實驗證明簡諧運動的圖象是一條正弦(或余弦)曲線。

(2)簡諧運動圖象的應(yīng)用：

①可求出任一時刻振動質(zhì)點的位移。

②可求振幅A：位移的正負(fù)最大值。

③可求周期T：兩相鄰的位移和速度完全相同的狀態(tài)的時間間隔。

④可擬定任一時刻加速度的方向。

⑤可求任一時刻速度的方向。

⑥可判斷某段時間內(nèi)位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況。

(3)波的圖象:

①波的圖象是描述在波的傳播方向上的介質(zhì)中各質(zhì)點在某時刻離開平衡位置的位移。

②簡諧波的圖象是一條正弦或余弦圖象。

③波的圖象的反復(fù)性：相隔時間為周期整數(shù)倍的兩個時刻的波形相同。

④波的圖象反映機械波的有關(guān)信息：質(zhì)點的振幅、波長、介質(zhì)中各質(zhì)點在該時刻的位置、

已知波的傳播方向后可擬定各質(zhì)點在該時刻的振動方向和通過一段時間后的波形圖。

(4)振動圖象和波動圖象的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：波動是振動在介質(zhì)中的傳播，兩者都是按正弦或余弦規(guī)律變化的曲線；振動圖象和

波的圖象中的縱坐標(biāo)均表達質(zhì)點的振動位移，它們中的最大值均表達質(zhì)點的振幅。

區(qū)別：①振動圖象描述的是某一質(zhì)點在不同時刻的振動情況，圖象上任意兩點表達同一質(zhì)

點在不同時刻偏離平衡位置的位移;波的圖象描述的是波在傳播方向上無數(shù)質(zhì)點在某一時刻的

振動情況，圖象上任意兩點表達不同的兩個質(zhì)點在同一時刻偏離平衡位置的位移。

②振動圖象中的橫坐標(biāo)表達時間，箭頭方向表達時間向后推移；波的圖象中的橫坐標(biāo)表達

離開振源的質(zhì)點的位置，箭頭的方向可以表達振動在介質(zhì)中的傳播方向，即波的傳播方向，也

可以表達波的傳播方向的反方向。

③振動圖象隨時間的延續(xù)將向著橫坐標(biāo)箭頭方向延伸，原圖象形狀不變：波的圖象隨著時

間的延續(xù)，原圖象的形狀將沿橫坐標(biāo)方向整個兒地平移，而不是原圖象的延伸。

④在不同時刻波的圖象是不同的；對于不同的質(zhì)點振動圖象是不同的。

6、對的理解波的干涉、衍射現(xiàn)象，了解多普勒效應(yīng)

(1)波的疊加原理：

在兩列波重疊的區(qū)域，任何一個質(zhì)點的總位移都等于兩列波分別引起的位移的矢量和。

(2)波的獨立傳播原理：

在兩列波重疊的區(qū)域，每一列波保持自己的特性互不干擾繼續(xù)前進。

(3)波的干涉:

①產(chǎn)生穩(wěn)定干涉現(xiàn)象的條件：頻率相同；振動方向相同；有固定的相位差。

②兩列相干波的波峰與波峰(或波谷與波谷)相遇處是振動最強的地方，波峰與波谷(或

波谷與波峰)相遇處是振動最弱的地方。

拓展一一駐波：是一種特殊的干涉現(xiàn)象。駐波的特點是兩波節(jié)間的各質(zhì)點均做同時向下或

同時向上，但振幅不同的同步調(diào)振動；波形隨時間變化，但并不在傳播方向上移動。

(4)波的衍射：

①波繞過障礙物的現(xiàn)象叫做波的衍射。

②可以發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象的條件是：障礙物或孔的尺寸比波長小，或者跟波長相差不多。

(5)多普勒效應(yīng)

當(dāng)波源或者接受者相對于介質(zhì)運動時，接受者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫多

普勒效應(yīng)。

(6)聲波：

①發(fā)聲體的振動在介質(zhì)中的傳播就是聲波。

人耳能聽到的聲波的頻率范圍在20Hz到20230Hz之間。

②頻率低于20Hz的聲波叫次聲波。

③頻率高于20230Hz的聲波叫超聲波。

④空氣中的聲波是縱波。

⑤可以把回聲與原聲區(qū)別開來的最小時間間隔為0.IS.

⑥聲波也能發(fā)生反射、干涉和衍射等現(xiàn)象。

聲波的共振現(xiàn)象稱為聲波的共鳴。

二、分析與解析典型問題

問題1：必須弄清簡諧運動的判斷方法。

要鑒定一個物體的運動是簡諧運動，一方面要鑒定這個物體的運動是機械振動，即看這

個物體是不是做的往復(fù)運動：看這個物體在運動過程中有沒有平衡位置；看當(dāng)物體離開平衡

位置時，會不會受到指向平衡位置的回復(fù)力作用，物體在運動中受到的阻力是不是足夠小。然

后再找出平衡位置并以平衡位置為原點建立坐標(biāo)系，再讓物體沿著X軸的正方向偏離平衡位

置，求出物體所受回復(fù)力的大小，若回復(fù)力為F=-kx,則該物體的運動是簡諧運動。

例1、兩根質(zhì)量均可不計的彈簧，勁度系數(shù)分別為K、它們與一個質(zhì)量為m的小球組成

的彈簧振子，如圖1所示。試證明彈簧振子做的運動是簡諧運動。

證明：以平衡位置o為原點建立坐標(biāo)軸，當(dāng)振子離開平衡位置o時，因兩彈簧發(fā)生形變而

使振子受到指向平衡位置的合力。設(shè)振子沿X正方向發(fā)生位移x,則物體受到的合力為

F=Fi+F2=-kix-k2X=-(ki+ki)x=-kx.

所以，彈簧振子做的運動是簡諧運動。

問題2:必須弄清簡諧運動中各物理量的變化特點

簡諧運動涉及到的物理量較多，但都與簡諧運動物體相對平衡位置的位移x存在直接或間

鈔V?->

向倡rTT—e?—擊八一wiz/>-?-?

*->_2EK

/TT工夕v<■*速度V=

一執(zhí)臺匕E<一斗臺匕E?.—r?i^2/<-><-

vtn

接關(guān)系：

假如弄清了上述關(guān)系，就很容易判斷各物理量的變化情況。

例2、彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動，在振子向平衡位置運動的過程中:

A.振子所受的回復(fù)力逐漸增大

B.振子的位移逐漸增大

C.振子的速度逐漸減小

D.振子的加速度逐漸減小。

分析與解：在振子向平衡位置運動的過程中，易知X減小，根據(jù)上述關(guān)系很容易判斷,

回復(fù)力F、加速度a減小；速度V增大。即D選項對的。

問題3：必須弄清簡諧運動的對稱性

簡諧運動的對稱性是指振子通過關(guān)于平衡位置對稱的兩位置時，振子的位移、回復(fù)力、加

速度、動能、勢能、速度、動量等均是等大的（位移、回復(fù)力、加速度的方向相反，速度動量

的方向不擬定）。運動時間也具有對稱性，即在平衡位置對稱兩段位移間運動的時間相等。

理解好對稱性這一點對解決有關(guān)問題很有幫助。

例3、如圖2所示。彈簧振子在振動過程中，振子經(jīng)a、b兩點的速度相同，若它從a到b

歷時0.2s,從b再回到a的最短時間為0.4s,則該振子的振動頻率為：

*\以

-----.----?--------?------------->

d---a--ob-----c

圖2

A、1Hz;B、1.25Hz;C、2Hz;I）、2.5Hz.

分析與解：振子經(jīng)a、b兩點速度相同，根據(jù)彈簧振子的運動特點，不難判斷a、b兩點對平衡

位置（0點）一定是對稱的，振子由b經(jīng)。到a所用的時間也是0.2s,由于“從b再回到a的

最短時間是0.4s”，說明振子運動到b后是第一次回到a點，且ob不是振子的最大位移。設(shè)

圖中的c、d為最大位移處，則振子從b經(jīng)c到b歷時0.2s,同理，振子從a

經(jīng)d到a,也歷時0.2s,故該振子的周期T=0.8S,根據(jù)周期和頻率互為倒數(shù)的

關(guān)系，不難擬定該振子的振動頻率為1.25Hz.故本題答B(yǎng).

例4、如圖3所示，一輕質(zhì)彈簧豎直放置，下端固定在水平面上，上端

A

nnnmu

圖3

處在a位置，當(dāng)一重球放在彈簧上端靜止時，彈簧上端被壓縮到b位置。

現(xiàn)將重球（視為質(zhì)點）從c位置沿彈簧中軸線自由下落，彈簧被重球壓縮到最低位置d.

以下關(guān)于重球運動過程的對的說法應(yīng)是

A、重球下落壓縮彈簧由a至d的過程中，重球做減速運動。

B、重球下落至b處獲得最大速度。

C、重球下落至d處獲得最大加速度。

D、由a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢能減少量。

解：重球由c至a的運動過程中，只受重力作用，做勻加速運動；由a至b

的運動過程中，受重力和彈力作用，但重力大于彈力，做加速度減小的加速運

動；由b至d的運動過程中，受重力和彈力作用，但重力小于彈力，做加速度

增大的減速運動。所以重球下落至b處獲得最大速度，由a至d過程中重球克

服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢能減少量，即可鑒定B、

D對的。

C選項很難擬定是否對的，但運用彈簧振子的特點就可非常容易解決這一

難題。重球接觸彈簧以后，以b點為平衡位置做簡諧運動，在b點下方取一點a,使ab=ab,

根據(jù)簡諧運動的對稱性，可知，重球在a、a?的加速度大小相等，方向相反，如圖4所示。而

在d點的加速度大于在a點的加速度，所以重球下落至d處獲得最大加速度，C選項對的。

問題4：必須弄清簡諧運動的周期性

簡諧運動具有周期性，其運動周期T的大小由振動系統(tǒng)自身的性質(zhì)決定。理解了這一點，

在解決相關(guān)問題時就不易犯錯。

例5、有人運用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來擬定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的

周期是T。。當(dāng)氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為T.求該氣球此時離海平面的高度h。把

地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體。

分析與解：設(shè)單擺的擺長為L,地球的質(zhì)量為M,則據(jù)萬有引力定律可得地面的重力加速

度和高山上的重力加速度分別為:

「M「M

g—G——,g/=Gr----------

R2(R+h)2

據(jù)單擺的周期公式可知”=2萬，仕,T=2萬、上

\g\gi,

由以上各式可求得/;=(--1)/?

例6、一彈簧振子作簡諧運動，周期為T,則下列說法中對的的是：

A、若t時亥IJ和(t+Zst)時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則At一定等于T的整數(shù)倍；

B、若t時刻和(t+At)時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則At一定等于T/2的整數(shù)倍;

C、若△t=T,則在t時刻和(t+4t)時刻振子運動的加速度一定相等；

D、若△t=T/2,則在t時刻和(t+Z\t)時刻彈簧的長度一定相等。

解：若t時刻和(t+Z\t)時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，表白兩時刻振子只是

在同一位置，其速度方向還也許相反，則At不一定是T的整數(shù)倍，故A選項錯誤。

若t時刻和(t+Z^t)時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，這時振子也許處在平衡位

置兩側(cè)的兩個對稱的位置上，也也許是兩次處在同一位置上，這都不能保證at一定是T/2的

整數(shù)倍。故選項B錯誤。

振子每通過一個周期，必然回到本來的位置，其相應(yīng)的加速度一定相等。故選項C對的。

通過半個周期，彈簧的長度變化大小相等、方向相反，即一個相應(yīng)彈簧被壓縮，另一個

相應(yīng)彈簧被拉伸，這兩種情況下彈簧的長度不相等，可見選項D錯誤。

綜上所述，本題對的答案為C。

//〈/(/

問題5：必須弄清簡諧運動圖象是分析簡諧運動情況的基本方法

簡諧運動圖象可以反映簡諧運動的運動規(guī)律，因此將簡諧運動圖象跟具體

AWB

厲1C

運動過程聯(lián)系起來是討論簡諧運動的一種好方法。

例7、如圖5中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面內(nèi)

向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開各自做簡諧運動，以ni、、nto分別表達擺球A、B

的質(zhì)量，則

A、假如mjnta,下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)；

B、假如?。拣В乱淮闻鲎矊l(fā)生在平衡位置左側(cè)；

C、無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞不也許在平衡位置右側(cè)；

D、無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞不也許在平衡位置左側(cè)。

分析與解：由于碰撞后兩擺球分開各自做簡諧運動的周期相同,

任作出B球的振動圖象如圖6所示，而A球碰撞后也許向右運動，也也

許向左運動，因此A球的振動圖象就有兩種情況，如圖6中M和AZ。從

圖中很容易看出無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞只能發(fā)

生在平衡位置。即CD選項對的。

從例7可以看出，運用振動圖象分析問題非常簡便。希望同學(xué)

們養(yǎng)成運用圖象分析問題的習(xí)慣。

問題6：會解機械振動與機械能等的綜合問題

例8、如圖7所示為一單擺的共振曲線，則該單擺的擺長約為多少？共振時擺球的最大速

度大小是多少？(g取lOm/sD

圖7

分析與解：這是一道共振曲線所給信息和單擺振動規(guī)律進行推理和綜合分析的題目o

由題意知，當(dāng)單擺共振時頻率f=0.5Hz,即=Q.5Hz,振幅A=8cm=0.08m.

由T=2凡怛得L=■f=1.0m

根據(jù)機械能守恒定律可得：

ie.2

-mV^=mgL(l-cos。),且(l-cos^,?)=2sin2=-r

解得匕,,=A怎=0.25根/s.

問題7：會根據(jù)共振的條件分析求解相關(guān)問題

例8、如圖8所示。曲軸上掛一個彈簧振子，轉(zhuǎn)動搖把，曲軸可帶動彈簧振子上下振動。

開始時不轉(zhuǎn)動搖把，讓振子自由振動，測得其頻率為2Hz.現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動搖把，轉(zhuǎn)速為240r/min。

(1)當(dāng)振子穩(wěn)定振動時，它的振動周期是多大？

(2)轉(zhuǎn)速多大時，彈簧振子的振幅最大？

分析與解：根據(jù)圖示裝置可知，當(dāng)曲轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動一周時，給彈簧

振子施加一次作用力，所以振子做受迫振動，當(dāng)振子振動穩(wěn)定期

其振動周期等于驅(qū)動力的周期(即曲軸的轉(zhuǎn)動周期)，即：

T=T?=60/240S=0.25S.

要使振子做受迫振動的振幅最大，即發(fā)生共振，必須滿足

f驅(qū)=f固=2Hz

所以轉(zhuǎn)速為217s(即120r/min)時,振子振動的振幅最大

問題8：波的波速、波長、頻率、周期和介質(zhì)的關(guān)系:

例9、簡諧機械波在給定的媒質(zhì)中傳播時，下列說法中對的的是（）

A.振幅越大，則波傳播的速度越快；

B.振幅越大，則波傳播的速度越慢；

C.在一個周期內(nèi)，振動質(zhì)點走過的路程等于一個波長；

D.振動的頻率越高，則波傳播一個波長的距離所用的時間越短。

分析與解：波在介質(zhì)中傳播的快慢限度稱為波速，波速的大小由介質(zhì)自身的性質(zhì)決定，與

振幅無關(guān)，所以A、B二選項錯。由于振動質(zhì)元做簡諧運動，在一個周期內(nèi)，振動質(zhì)元走過的

路程等于振幅的4倍，所以C選項錯誤；根據(jù)通過一個周期「，振動在介質(zhì)中傳播的距離等

于一個波長4,所以振動的頻率越高，則波傳播一個波長的距離所用的時間越短，即D選項

對的。

例10、關(guān)于機械波的概念，下列說法中對的的是（）

（A）質(zhì)點振動的方向總是垂直于波的傳播方向

（B）簡諧波沿長繩傳播，繩上相距半個波長的兩個質(zhì)點振動位移的大小相等

（C）任一振動質(zhì)點每通過一個周期沿波的傳播方向移動一個波長

（D）相隔一個周期的兩個時刻的波形相同

分析與解：質(zhì)點振動的方向可以與波的傳播方向垂直（橫波），也可以與波的傳播方向共

線（縱波），故A選項錯誤.

相距一個波長的兩個質(zhì)點振動位移大小相等、方向相同，相距半個波長的兩個質(zhì)點振動位

移大小相等、方向相反，B選項對的.這是由于相距半個波長的兩個質(zhì)點的振動狀態(tài)相差半

個周期，所以它們的位移大小相等、方向相反.

波每通過一個周期就要向前傳播一個波長，但介質(zhì)中的各個質(zhì)點并不隨波向前遷移，只是

在各自的平衡位置附近振動，向前傳播的是質(zhì)點的振動狀態(tài).所以C選項錯誤.

在波的傳播過程中，介質(zhì)中各點做周期性的振動，相隔一個周期，各質(zhì)點的振動又回到上

一周期的振動狀態(tài).因此，相隔一個周期的兩時刻波形相同.故D選項對的.

波動是振動的結(jié)果，波動問題中很多知識點與振動有關(guān)系，因此要搞清波動與振動的聯(lián)

系與區(qū)別，在解決問題時才干抓住關(guān)鍵.

問題9：鑒定波的傳播方向與質(zhì)點的振動方向

方法一：若知道某一時刻f的波形曲線，將波形曲線沿波的傳播方向平移一微小的距離（小

于l力），它便是什△/時刻的波形曲線，知道了各個質(zhì)點通過時間到達的位置，質(zhì)點的振

4

動方向就可以判斷出來了。

方法二：通過波的傳播方向判斷處波源的位置，在質(zhì)點A靠近波源一側(cè)附近（不超過!4）

4

圖象上找另一質(zhì)點B,若質(zhì)點B在A的上方，則A向上運動，若B在A的下方，則A向下運動。

即沿波的傳播方向，后振動的質(zhì)點總是追隨先振動的質(zhì)點來運動的。

同側(cè)法，上下坡法

例11、一簡諧橫波在x軸上傳播，在某時刻的波形如圖

9所示。已知此時質(zhì)點F的運動方向向下，則

A.此波朝x軸負(fù)方向傳播

B.質(zhì)點D此時向下運動

C.質(zhì)點B將比質(zhì)點C先回到平衡位置

D.質(zhì)點E的振幅為零

分析與解：本題重要考核對波的傳播方向與波上某質(zhì)點運動方向間的關(guān)系的推理判斷,

以及對波形圖的想像能力。

對于本題，己知質(zhì)點F向下振動，由上述方法可知，此列波向左傳播。質(zhì)點B此時向上

運動，質(zhì)點D向下運動，質(zhì)點C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振動質(zhì)點的振幅都是相

等的。故只有A、B選項對的。

例12、簡諧橫波某時刻的波形圖如圖10所示。由此圖可知（）

A.若質(zhì)點a向下運動，則波是從左向右傳播的

B.若質(zhì)點b向上運動，則波是從左向右傳播的

C.若波從右向左傳播，則質(zhì)點c向下運動

D.若波從右向左傳播，則質(zhì)點d向上運動

分析與解：運用上述逆向復(fù)描波形法可立即鑒定出B、D對的。

問題10：已知波的圖象，求某質(zhì)點的坐標(biāo)

例13、一列沿x方向傳播的橫波，其振幅為A,波長為X,某一時刻波的圖象如圖11

所示。在該時刻，某一質(zhì)點的坐標(biāo)為（入，0）,通過,周期后，該質(zhì)點的坐標(biāo)：

4

A.-A,0B.A,-AC.X,AI）.-Z,A

44

分析與解：如圖11所示，波上P質(zhì)點此刻的坐標(biāo)為（A,

0）,由于此列波向右傳播，據(jù)逆向復(fù)描波形法可知，此刻質(zhì)點

P向下運動。再過,周期，它運動到負(fù)向最大位移處，其坐標(biāo)

4

變?yōu)椋ㄈ耄?A）,顯然選項B對的。

問題11:已知波速V和波形，作出再經(jīng)At時間后的波形圖

方法一、平移法：先算出經(jīng)At時間波傳播的距離Ax=VAt,再把波形沿波的傳播方向平

移Ax即可。由于波動圖象的反復(fù)性，若已知波長入，則波形平移n個人時波形不變，當(dāng)Ax=n

A+x時，可采用去n入留零x的方法，只需平移x即可。

方法二、特殊點法：在波形上找兩特殊點，如過平衡位置的點和與它相鄰的峰（谷）點，

先擬定這兩點的振動方向，再看At=nT+t,由于經(jīng)nT波形不變，所以也采用去整nT留零t的

方法，分別作出兩特殊點經(jīng)t后的位置，然后按正弦規(guī)律

畫出新波形。

例14、如圖12所示，a圖中有一條均勻的繩，1、2、3、4…是繩上一系列等間隔的點。現(xiàn)有

一列簡諧橫波沿此繩傳播。某時刻，繩上9、10、11、12四點的位置和運動方向如圖b所示（其

他點的運動情況未畫出），其中點12的位移為零，向上運動，點9的位移達成最大值。試在圖

3

C中畫出再通過一周期時點3、4、5、6的位置和速度方向,

4

其他點不必畫（圖c的橫、縱坐標(biāo)與圖a、b完全相同）。

0

分析與解：作某一時刻的波形圖或通過作圖擬定波上某些質(zhì)點的位置和速度方向問題，是一個

難點問題，重要考察學(xué)生的空間想像能力和推理判斷能力。

根據(jù)圖12b9、10、11、12各質(zhì)點的振動情況，可畫出此時刻的波形圖，如圖13所示。

由逆向復(fù)描波形法可擬定各質(zhì)點的運動（速度）方向（見圖13）。

波上質(zhì)點3此時在負(fù)向最大位移處，再通過3T/4,它

到達平衡位置且向下運動；質(zhì)點6此時在平衡位置且向下

運動，再通過3T/4它將到達正的最大位移處。因此，質(zhì)點

圖14

3、4、5、6的位置和速度方向如圖14所示。

例15、一列簡諧橫波向右傳播，波速為v。沿波傳播方向上有相距為L的P、Q兩質(zhì)點,

如圖15所示。某時刻P、Q兩質(zhì)點都處在平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰，通過時間t,Q

質(zhì)點運動到波谷。

A.1個B.2個C.3個D.4個

分析與解:解答本題，必須做出在題設(shè)條件下也許的波的圖形，然后才干作出鑒定。

題中指出:“某時刻P、Q兩質(zhì)點都處在平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰”，符合這

一條件的波形圖有4個，如圖15所示。顯然，Q質(zhì)點第一次運動到波谷所需的時間t的也許

值有4個。故D選項對的。

問題12：已知波的圖象，求波速

例16、一根張緊的水平彈性長繩上的a、b兩點，相距14.Om,b點在a點的右方，如

圖16所示。當(dāng)一列簡諧橫波沿此長繩向右傳播時，若a點的位移達成正極大時，b點的位移

恰為零，且向下運動，通過1.00s后，a點的位移為零，且向下運動，而b點的位移達成負(fù)極

大，則這簡諧橫波的波速也許等于（）

A.4.67m/sB.6m/s

C.10m/sD.14m/s

分析與解：本題考察振動以及波動的傳播規(guī)律，只有理解波動（圖象）傳播的規(guī)律，準(zhǔn)確

把握波動過程中的圖象關(guān)于時間和空間的周期性，才干作出確切和完整的判斷。

由于波向右傳播，據(jù)“a點位移達正極大時，b點的位?人

-----------------------------------------------9-----------

移恰為零，且向下運動”，可畫出此時a、b間的最簡波形,

因16

如圖17所示。因未明確a、b距離與波長的約束關(guān)系，故a、

b間的距離存在“周期性”。即

3

（ni+—）A=ab=14/M（m=0,1,2,....）

4

因所給定期間與周期的關(guān)系未知，故運動時間也存在

“周期性”。即

(4+；)T=加=1.OOS(nz=0,1,2,,?,)

因此也許的波速為

V—@向S

T4%+3

當(dāng)二二。,ni=0時，V=4.67m/s;

當(dāng)n2=0,ni=l時，V=2m/s;

（n2=0,V隨m增大還將減小。）

當(dāng)ri2=l,n產(chǎn)0時,V=23.3m/s;（n1=0,V隨m的增大而增大.）

當(dāng)n2=l,m=l時,V=10m/s;

據(jù)以上計算數(shù)據(jù)，不也許出現(xiàn)B和D選項的結(jié)果，故選項A、C對的。

例17、一列橫波沿直線在空間傳播，某一-時刻直線上相距為d的M、N兩點均處在平衡位

置，且M、N之間僅有一個波峰，若通過時間t,N質(zhì)點恰好到達波峰位置，則該列波也許的波

速是多少？

分析與解：本題沒有給定波的傳播方向，僅告訴我們在某一時刻M、N兩點均處在平衡位

置，且M、N之間僅有一個波峰.由此我們可以推想，處在直線MN上的各個質(zhì)點在該時刻相對

平衡位置的位移也許會有以下四種情況，即波的圖像有以下四種圖形（如圖18中A、B、C、D

圖，各圖中均為左端為M,右端為N）：

圖18

若波的傳播方向由M到N,那么：

在A圖中，通過時間3/V恰好到達波峰，說明時間力內(nèi)波向右前進的距離5=4■=4

24

且”工，所以波速丫=4=旦

4T2t

在B圖中，通過時間t,波峰傳到N點，則波在時間t內(nèi)向右前進的距離S=—=—

44

?3T,Ad3d

且「=—,所rr以rl波速u=—=--=—

4T4r/34r

在C圖中，通過時間t,波向右前進的距離5=4=4,且「=二，所以波速v=2=4.

444T4/

在D圖中，通過時間t,波向右前進的距離S=q=上，且r=±T,所以波速

244

Ad

v=—=—.

T2t

若波的傳播方向從N到M那么:

在A圖中，質(zhì)點4此時要向下振動，通過時間力.M到達波峰，則時間，=——，在時間t

4

內(nèi)波向左前進的距離5=—=——，所以波速丫=——.

242t

在B圖中，通過時間t,N到達波峰，則時間，=工，在此時間內(nèi)波向左前進的距離

4

S=—=—,所以波速v=Z=?.

44T4f

在C圖中，波在時間t內(nèi)向左前進的距離5=2=2，且，=紅，所以波速

444

Ad3d

v=—=----=——.

T4t34t

在D圖中，質(zhì)點4通過‘T變?yōu)椴ǚ澹詅在時間t內(nèi)波向左前進的距離

44

S=-=~,所以波速丫=2=4.

64T6t

所以該列波也許的波速有五種口=&、v=—,v=—,v=—,v=—.

6t4fIt4tIt

其實上述解決問題的方法過于程序化，假如可以判斷出八種情況下該時刻波形圖上的波

峰在傳播方向上到N點的距離S,波速/就等于一.例如：最后一種情況中，波峰在傳播方向

上到M點的距離5=4,所以波速丫=,=4.

其它情況讀者可自行解決.

6t6t

問題13：已知某質(zhì)點的振動圖象和某

時刻的波動圖象進行分析計算

例18、圖19甲所示為一列簡諧波在

t=20s時的波形圖，圖19乙是這列波中P點的囪1C/田、

振動圖線，那么該波的傳播速度和傳播方向是：

A.V=25cm/s,向左傳播;

B.V=50cm/s,向左傳播;

C.V=25cm/s,向右傳播;

D.V=50cm/s,向右傳播。

分析與解：由圖19甲讀出A=100cm,由圖19乙讀出T=2S,據(jù)V=A/T得V=50cm/s.

將圖19乙之y-t圖延長到t=20s時刻，可以看出P點運動方向向上，再看圖19甲，波若

向右傳播，則P運動方向向下，波若向左傳播,

則P運動方向向上，故鑒定波是向左傳播的。

綜上所述，本題應(yīng)選B。

囪1C/7\

問題14：已知某兩質(zhì)點的振動圖象進行分析計算

例19、一列機械波沿直線ab向右傳播,

ab=2m,a、b兩點的振動情況如圖20所示，下列說法

中對的的是：

2

A.波速也許是一mis

43

Q

B.波長也許是2m

3

2

C.波長也許大于一加

3

Q

D.波長也許大于一〃2。

3閔”7

分析與解：t=o時刻，a質(zhì)點在波谷，b質(zhì)點在平衡位置且向y軸正方向運動，根據(jù)波由

_3

a傳向b(如圖20甲所不),可知波長人滿足一％+〃/1=2.(〃=0』,2???)

4

QQ2

這樣；I=-----(m)，由此可知波長不也許大于一〃2(相應(yīng)的波速也不也許大于一根/s)

4〃+333o

QO2

當(dāng)n=0時，2=-(ZM)；當(dāng)n=10時，2=一(機)，由V=入/T得相應(yīng)的波速V=—mls..故

34343

選項AB對的。

問題15：已知某兩時刻的波動圖象進行分析計算。

例20、一列橫波如圖21所示，波長/l=8m,實線表達

乙=0時刻的波形圖，虛線表達弓=。-005s時刻的波形y

圖.求：//\['\/,「

(1)波速多大？°

(2)若2T>J—4>T，波速又為多大？圖21

(3)若丁<，2一乙，并且波速為

3600m/s,則波沿哪個方向傳播？

分析與解：(1)由于題中沒有給出波的傳播方向，故需要對波沿x軸正方向和x軸負(fù)方向

傳播分別進行討論.又由于題中沒有給出41=12與周期T的關(guān)系，故需要考慮到波的反

復(fù)性.

若波沿x軸正方向傳播，則可看出是波形傳播的最小距離

S——A—2m

o4

波傳播的也許距離是S=So+〃/l=8〃+2(m)

rrQ1c

則也許的波速為V=-=——=1600/7+400(m/s),5=0、1、2、……,)

t0.005

若波沿*軸負(fù)方向傳播，則可看出是波形傳播的最小距離50=3/1=6m

°4

波傳播的也許距離是S=S0+/U=8〃+6(m)

則也許的波速為V=-==1600n+1200(m/s),"=0、1、2、……,)

t0.005

(2)當(dāng)2T>7時，根據(jù)波動與振動的相應(yīng)性可知22>5>4,這時波速的通

解表達式中爐1.

若波沿X軸正方向傳播，則波速為V=1600n+400=2000(m/s)

若波沿x軸負(fù)方向傳播，則波速為V=1600/?+1200=2800(m/s)

(3)當(dāng)TVJ—G，波速為3600m/s時，根據(jù)波動與振動的相應(yīng)性可知J一乙>T，所

以波向前傳播的距離大于波長S>A,并且可以計算出

S=V7=3600x0.005=18(m)

C1Q1

由于波長等于8m,這樣波向前傳播了士=匕=2上個波長.由波形圖不難判斷出波是

284

沿x軸向右傳播的.也可以由波速的通解表達式來判斷：

若波沿x軸正方向傳播，則波速為V=1600〃+400(m/s),當(dāng)上2時，V=3600

(m/s).

若波沿x軸負(fù)方向傳播，則波速為V7=1600/1+1200(m/s),當(dāng)上1時，V=2800

(m/s),當(dāng)爐2時，V=4400(m/s).

所以波是沿x軸向右傳播的.

問題16：能對的擬定振動加強和振動減弱位置。

例21、如圖22所示，在半徑為R=45m的圓心O和圓周A處，有兩個功率差不多的喇叭,

同時發(fā)出兩列完全相同的聲波，且波長2=10m。若人站在B處，正好聽不到聲音；若逆時針

方向從B走到A,則時而聽屆時而聽不到聲音。試問在到達A點之前，尚有幾處聽不到聲音？

分析與解：由于波源A、O到B點的波程差為Ar=n—r2=R=45m=414，所以B點發(fā)生干

2

涉相消現(xiàn)象。

在圓周任一點C上聽不到聲音的條件為：

Ar=n―T2=±(2k+1)—=±5(2k+l)

2

將r2=R=45m代入上式得：n=±5(2k+l)+迨

ran

所以：n=10k+50或r尸—10k+40

而0<ri<90m,所以有：0<(10k+50)<90m和0<(―10k+40)<90m

求得:-5<k<4

即卜=一4、一3、一2、一1、0、1、2、3,所以在到達A點之前有八處聽不到聲音。

問題17：能對的作出兩列波疊加后的波形圖。

擬定兩列波相遇后的波形問題的思緒是一方面根據(jù)波

的獨立傳播原理分別畫出給定期刻的兩列波的波形；再根

據(jù)波的疊加原理，對各個質(zhì)點的位移進行合成，畫出疊加

以后的波形圖。

例22、如圖23甲所示，兩列相

同的波相向傳播，當(dāng)它們相遇時.，圖

23乙中也許的波形是：

A.圖(a)和圖(b);閔”7

B.圖(b)和圖(c);

C.圖(c)和圖(d);

D.圖(a)和圖(d).

分析與解：當(dāng)兩列相遇時，達成圖24

囪0/1

反1

所示的狀態(tài)時，疊加以后的波形應(yīng)是圖23

乙(b).

當(dāng)兩列相遇時，達成圖25所示的狀態(tài)時，疊加以后的波形應(yīng)是圖23乙(c).

所以對的答案應(yīng)是B.

例23、A、B兩波相向而行，在某時刻的波形與位置如圖26所示，已知波的傳播速度為V,

圖中標(biāo)尺每格長度為L,在圖中畫出又通

過t=7L/V時的波形。（參考答案

分析與解：根據(jù)波的疊加原理很容易擬定通過t=7L/V時的波形如圖27所示。

問題18：擬定兩列頻率不相同的波疊加后的各質(zhì)點的運動情況。

不同頻率的兩列波相遇也可以疊加，也存在振動加強和振動減弱的點，但這些點不是固

定的，而是隨時變化的，因此看不到穩(wěn)定的干涉圖樣。

例24、如圖28所示，一波源在繩的左端發(fā)生半個波1,頻率為6,振幅為Ai；同時另一波

源在繩的右端發(fā)生半個波2,頻率為f2,振幅為A3圖中

AP=PB,由圖可知（）I!\人

A、兩列波同時到達P點；ApR

B、兩列波相遇時，P點的波峰可達（A1+A2）；

C、兩列波相遇后各自保持本來波形獨立傳播；

D、兩列波相遇時，繩上振幅可達（A1+A2）的質(zhì)點只有一點。

分析與解：1、2兩列波在同一條繩上傳播，波速相同，所以A、B的運動狀態(tài)傳播相同

距離歷時相同，兩列波應(yīng)同時到達P點，選項A是對的的；兩列波到達P點后，在彼此穿過

區(qū)間，P處質(zhì)點的位移為兩列波獨立引起的位移之和，由于兩波頻率不同，波長不同，相向傳

播時，兩波峰不會同時到達P點，故在P處兩列波疊加的位移峰值不會達成（A|+A2）,選項

B是錯誤的；兩波峰可同時到達的一點應(yīng)是與圖28中現(xiàn)正處在波峰的兩質(zhì)點的平衡位置等距

的一點:假如fl>f2,則九1<九2點！IP點右側(cè)某處質(zhì)點振幅可達成（A|+A2）,而假如fl<f2,則X1>X2）

則P點左側(cè)某處質(zhì)點振幅可達成（AI+A2）,選項D是對的的；根據(jù)波的疊加原理，兩列波相

遇后各自保持本來的波形，即如選項C所述。

綜上所述，本題對的答案為ACD.

問題19：擬定兩列波疊加后某質(zhì)點的振動方向

在兩列波相遇的區(qū)域里，任何一個質(zhì)點的振動

速度，都等于兩列波分別引起的振動速度的矢量4

和。

例25、.兩列沿相反方向傳播的振幅和波長都

相同的半波，如圖29（甲）所示，在相遇的某一

時刻兩列波“消失”，如圖29（乙），此時圖中a、b

質(zhì)點的振動方向是:

A.a向上，b向下;B.a向下，b向上;

C.a、b都靜止;D.a、b都向上。

分析與解：兩列波在相遇的某一時刻兩列波“消失”了，是由于兩列波分別引起各質(zhì)點的

位移矢量和為零。但兩列波分別引起各質(zhì)點總的振動速度的矢量和不為零。對于a點，波1

使其振動的速度為零，波2使其振動的速度也向下，故