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文檔簡介
第六節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面第1頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三建立yoz面上曲線C
繞
z
軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞
z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz
面上曲線
C:則有則有該點轉(zhuǎn)到機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三思考:當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時,方程如何?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三例3.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z
軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三例4.
求坐標面xoz
上的雙曲線分別繞
x軸和
z
軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞
x
軸旋轉(zhuǎn)繞
z
軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三二、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三1.橢球面(1)范圍:(2)與坐標面的交線:橢圓機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三與的交線為橢圓:(4)當a=b
時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a=b=c
時為球面.(3)截痕:為正數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q
同號)(2)雙曲拋物面(鞍形曲面)特別,當p=q時為繞
z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x
軸;虛軸平行于z軸)平面上的截痕情況:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束雙曲線:第10頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三虛軸平行于x軸)時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z
軸;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束相交直線:雙曲線:第11頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結(jié)束圖形第12頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三4.橢圓錐面橢圓在平面x=0或y=0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x
或y方向的伸縮變換得到,見書P316)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三5.柱面引例.
分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上,表示圓C,沿曲線C平行于
z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意
z,平行
z
軸的直線
l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三定義3.平行定直線并沿定曲線C
移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于
z
軸;準線為xoy
面上的拋物線.
z
軸的橢圓柱面.z
軸的平面.表示母線平行于(且z
軸在平面上)表示母線平行于C
叫做準線,l
叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x
軸;平行于
y
軸;平行于
z
軸;準線
xoz
面上的曲線l3.母線柱面,準線
xoy
面上的曲線l1.母線準線
yoz面上的曲線l2.母線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三內(nèi)容小結(jié)1.
空間曲面三元方程
球面
旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z
軸的旋轉(zhuǎn)曲面:
柱面如,曲面表示母線平行z
軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三2.二次曲面三元二次方程
橢球面
拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面
雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面
橢圓錐面:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁,共19頁,2023年,2月20日,星期三斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y
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